§2对偶空间 设V是数域P上一个n维线性空间.V上全体线性函数组成的集合记作 L(,P).可以用自然的方法在L(V,P)上定义加法和数量乘法 设∫,g是V的两个线性函数定义函数∫+g如下 (f+g)a=f(a)+g(a),a∈ f+g也是线性函数: ∫+g)a+β)=∫(a+β)+g(a+B) =f(a)+f(B)+g(a)+g(B) (∫+g)a)+(∫+gβ), C+gka)=f(ka)+g(ka)=kf(a)+kg(a)=k(f+ga) f+g称为∫与g的和 还可以定义数量乘法设∫是V上线性函数,对于P中任意数k,定义函数kf 如下 (ka)=k(f(a),a∈, k∫称为k与∫的数量乘积,易证k也是线性函数 容易检验,在这样定义的加法和数量乘法下,L(V,P)成为数域P上的线性 空间 取定V的一组基E1,E2,…En,作V上n个线性函数f1,2…,fn,使得 J≠l, 因为在基E1,62…,En上的值已确定,这样的线性函数是存在且唯一的对V中 向量a=>x51,有 即f(a)是a的第i个坐标的值
§2 对偶空间 设 V 是数域 P 上一个 n 维线性空间. V 上全体线性函数组成的集合记作 L(V,P) .可以用自然的方法在 L(V,P) 上定义加法和数量乘法. 设 f , g 是 V 的两个线性函数.定义函数 f + g 如下： ( f + g) = f () + g(), V . f + g 也是线性函数： ( )( ) ( )( ), ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) f g f g f f g g f g f g = + + + = + + + + + = + + + ( f + g)(k) = f (k) + g(k) = k f () + k g() = k( f + g)() . f + g 称为 f 与 g 的和. 还可以定义数量乘法.设 f 是 V 上线性函数，对于 P 中任意数 k ，定义函数 kf 如下： (kf )() = k( f ()) , V , kf 称为 k 与 f 的数量乘积，易证 kf 也是线性函数. 容易检验，在这样定义的加法和数量乘法下， L(V,P) 成为数域 P 上的线性 空间. 取定 V 的一组基 n , , , 1 2 ，作 V 上 n 个线性函数 n f , f , , f 1 2 ，使得 , 1, 2 , , . 0, , 1 , ; ( ) i j n j i j i f i j = = = (1) 因为 i f 在基 n , , , 1 2 上的值已确定，这样的线性函数是存在且唯一的.对 V 中 向量 = = n i i i x 1 ，有 i i f () = x , (2) 即 () i f 是 的第 i 个坐标的值
引理对V中任意向量a,有 f,(a)ei 而对L(V,P)中任意向量f,有 f=∑f(E,) 定理2L(,P)的维数等于V的维数,而且f1,2…,n是L(,P)的一组基 定义2L(P,)称为的对偶空间.由(1)决定L(V,P)的的基,称为 E1,E2,…En的对偶基 以后简单地把V的对偶空间记作V 例考虑实数域R上的n维线性空间V=Px]n,对任意取定的n个不同实数 an,根据拉格朗日插值公式,得到n个多项式 p,(r) (x-a1)…(x-a-1)x-a1)…(x-an) ,i=1,2,…,n. (a1-a1)…(a1-aaa1-a11)…(a1-an) 它们满足 P(a)=1J=1; j≠1,,/=1,2 l0 P(x),P2(x),…,Pn(x)是线性无关的,因为由 C1P,(x)+c2 P2(x)+.+c,P,(x)=0 用a代入,即得 ckP(a)=cP,(a) 又因V是n维的,所以P2(x),P2(x),…,pn(x)是V的一组基 设L∈V'(=1,2,…n)是在点a的取值函数 L(P(x)=p(a1),p(x)∈Hi=1,2,…,n
引理 对 V 中任意向量 ，有 = = n i i i f 1 () , (3) 而对 L(V,P) 中任意向量 f ，有 = = n i i i f f f 1 ( ) . (4) 定理 2 L(V,P) 的维数等于 V 的维数，而且 n f , f , , f 1 2 是 L(V,P) 的一组基. 定义 2 L(P,V) 称为 V 的对偶空间.由（1）决定 L(V,P) 的的基，称为 n , , , 1 2 的对偶基. 以后简单地把 V 的对偶空间记作 V . 例 考虑实数域 R 上的 n 维线性空间 n V = P[x] ，对任意取定的 n 个不同实数 a a an , , , 1 2 ，根据拉格朗日插值公式，得到 n 个多项式 , 1 , 2 , , . ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 i n a a a a a a a a x a x a x a x a p x i i i i i i n i i n i = − − − − − − − − = = + − + 它们满足 , 1, 2 , , . 0 , , 1, ; ( ) i j n j i j i pi a j = = = ( ), ( ), , ( ) 1 2 p x p x p x n 是线性无关的，因为由 c1 p1 (x) + c2 p2 (x)++ cn pn (x) = 0 用 i a 代入，即得 c p a ci pp ai ci i n n k k k i ( ) ( ) 0 , 1,2, , 1 = = = = = . 又因 V 是 n 维的，所以 ( ), ( ), , ( ) 1 2 p x p x p x n 是 V 的一组基. 设 L V (i 1, 2, ,n) i = 是在点 i a 的取值函数： L ( p(x)) p(a ), p(x) V .i 1,2, ,n. i = i =
则线性函数L满足 L(P/(x)=P(a)1,=/,,j=1,2,…n 0.i≠ 因此,L1,L2…,L是p(x),P2(x)…,Pn(x)的对偶基 下面讨论V的两组基的对偶基之间的关系 设V是数域P上一个n维线性空间E1E2…,En及n1,n2…7n是V的两组基 它们的对偶基分别是f1f2…,fn及g12…,gn再设 (1,n2,…n)=(61,E2,…,En)A (g1,g2…,8n)=(f1,J2,…,fn)B 其中 b1b2…b A B a 由假设 7=a1E1+a2E2+…+anEn,i=1,2,n, g=b,f1+b22+…+bnJ,J=1,2,…,n 因此 g(m)=∑bf(an51+a212+…+anFn) =b,a1+b2,a2+…+b J 0,1≠ 由矩阵乘法定义,即得 BA=E 即 B′=A 定理3设E1E2…En及n1,2…,7n是线性空间V的两组基,它们的对偶基
则线性函数 Li 满足 , , 1,2, , . 0 , , 1, ; ( ( )) ( ) i j n i j i j Li p j x p j ai = = = = 因此， L L Ln , , , 1 2 是 ( ), ( ), , ( ) 1 2 p x p x p x n 的对偶基. 下面讨论 V 的两组基的对偶基之间的关系. 设 V 是数域 P 上一个 n 维线性空间. n , , , 1 2 及 n , , , 1 2 是 V 的两组基. 它们的对偶基分别是 n f , f , , f 1 2 及 g g gn , , , 1 2 .再设 (1 ,2 , ,n ) = ( 1 , 2 , , n )A (g1 , g2 , , gn ) = ( f 1 , f 2 , , f n )B 其中 = n n nn n n a a a a a a a a a A 1 2 21 22 2 11 12 1 , = n n nn n n b b b b b b b b b B 1 2 21 22 2 11 12 1 由假设 i = a1i 1 + a2i 2 ++ ani n , i =1 , 2 , ,n , gi = b1 j f 1 + b2 j f 2 ++ bnj f n , j = 1, 2, ,n . 因此 i j n i j i j b a b a b a g b f a a a j i j i nj ni i i ni n n k j i kj k , 1 , 2 , , 0 , , 1 , ; ( ) ( ) 1 1 2 2 1 1 2 2 1 = = = = + + + = + + + = 由矩阵乘法定义，即得 BA = E 即 −1 B = A 定理 3 设 n , , , 1 2 及 n , , , 1 2 是线性空间 V 的两组基，它们的对偶基
分别为f1,f2…fn及g1,82…,8n如果由E1,E2…,En到m1,n2…,n的过渡矩阵 为A,那么由f,f2…到g182…,gn的过渡矩阵为(A) 设V是P上一个线性空间,是其对偶空间,取定V中一个向量x,定义V 的一个函数x“如下 x"(O)=f(x),f∈V 根据线性函数的定义,容易检验x”是V上的一个线性函数,因此是V的对偶空 间)=“中的一个元素 定理4V是一个线性空间,V“是V的对偶空间的对偶空间.V到V“的映 射 x→x 是一个同构映射 这个定理说明,线性空间V也可看成V的线性函数空间,V与V实际上是 互为线性函数空间的这就是对偶空间名词的来由由此可知,任一线性空间都可 看成某个线性空间的线性函数所成的空间,这个看法在多线性代数中是很重要 的
分别为 n f , f , , f 1 2 及 g g gn , , , 1 2 .如果由 n , , , 1 2 到 n , , , 1 2 的过渡矩阵 为 A ，那么由 n f , f , , f 1 2 到 g g gn , , , 1 2 的过渡矩阵为 1 ( ) − A . 设 V 是 P 上一个线性空间， V 是其对偶空间，取定 V 中一个向量 x ，定义 V 的一个函数 x 如下： x ( f ) = f (x), f V . 根据线性函数的定义，容易检验 x 是 V 上的一个线性函数，因此是 V 的对偶空 间 (V ) = V 中的一个元素. 定理 4 V 是一个线性空间， V 是 V 的对偶空间的对偶空间. V 到 V 的映 射 → x x 是一个同构映射. 这个定理说明，线性空间 V 也可看成 V 的线性函数空间， V 与 V 实际上是 互为线性函数空间的.这就是对偶空间名词的来由.由此可知，任一线性空间都可 看成某个线性空间的线性函数所成的空间，这个看法在多线性代数中是很重要 的