§3中值定理和 Taylor公式 中值定理 定义12.3.1设DcR"是区域。若连结D中任意两点的线段都完 全属于D,即对于任意两点x,x1∈D和一切λ∈0,恒有 x0+A(x1-x0)∈D, 则称D为凸区域 例如R2上的开圆盘 D={(x,y)∈R2(x-a)2+(y-b)2<r 就是凸区域
中值定理 定义 12.3.1 设 n D ⊂ R 是区域。若连结 D中任意两点的线段都完 全属于D，即对于任意两点 x0， 1 x ∈ D和一切λ ∈ ]1,0[ ，恒有 )( 0 + λ − xxx 01 ∈ D， 则称D为凸区域。 例如 2 R 上的开圆盘 2 2 22 D = ∈ − +− < {(, ) x y R | ( )( ) x a y b r } 就是凸区域。 §3 中值定理和Taylor公式
定理12.3.1(中值定理)设二元函数f(x,y)在凸区域DcR2上 可微,则对于D内任意两点(x2y3)和(x0+Ax,y+4y),至少存在一个0 (0<0<1),使得 f(x+Ax,y+△y)-f(x,y) =f(x0+6Ax,y0+的y)Ax+f,(x+Mx,y+的Ay)y 证因为D是凸区域,所以 (x+1Ax,y+1△y)∈D,t∈[0, 作辅助函数 0()=f(x+1Ax,yo+1△y), 这是定义在[0上的一元函数,由已知条件,g()在[01连续,在(0.1)可 导,且 p(t)=f(xo+tAx, yo+tAy)Ax+f,(o+tAx, yo+ tAy)Ay 由 Lagrange中值定理,可知存在θ(0<0<1),使得 0(1)-0(0)=()。 注意g()=f(x0+△x,y+Ay),9(0)=f(xny3),并将g()的表达式代入上 式,即得到定理的结论
定理 12.3.1 (中值定理) 设二元函数 yxf ),( 在凸区域 2 D ⊂ R 上 可微，则对于D内任意两点 ),( 00 yx 和 ),( 0 0 Δ+ + Δyyxx ，至少存在一个θ （ < θ < 10 ），使得 .),(),( ),(),( 0 0 0 0 0 0 00 yyyxxfxyyxxf yxfyyxxf x y ΔΔ+Δ++ΔΔ+Δ+= + Δ + Δ − θθ θθ 证 因为D是凸区域，所以 0 0 (, ) x t xy t y + Δ +Δ ∈ D ，t ∈ ]1,0[ 。 作辅助函数 ),()( 0 0 ϕ = + Δ Δ+ ytyxtxft ， 这是定义在 ]1,0[ 上的一元函数，由已知条件，ϕ t)( 在 ]1,0[ 连续，在 )1,0( 可 导，且 yytyxtxfxytyxtxft ϕ′ = x 0 + Δ 0 + Δ Δ + y 0 + Δ 0 + Δ ),(),()( Δ 。 由 Lagrange 中值定理，可知存在θ （ < θ < 10 ），使得 ϕ −ϕ = ϕ′ θ )()0()1( 。 注意 ),()1( 0 0 ϕ += Δ + Δyyxxf ， ),()0( 00 ϕ = yxf ，并将ϕ′ t)( 的表达式代入上 式，即得到定理的结论
推论12.3.1如果函数f(x,y)在区域DcR2上的偏导数恒为零 那么它在D上必是常值函数 证设(x,y)是区域D上任意一点,则存在r>0,使得点(xy)的 邻域O(x,y)r)cD。由定理12.3.1,对任意的(x,y)∈O(x,y)r),存 在(0<θ<1),使得 f(x,y)-f(x,y)=f(x+的x,y+的y)Ax+f,(x+Ax,y+的Ay)Ay=0, 其中Ax=x-x,4y=y-y。因此 f(x,y)=f(x’,y),(x,y)∈O(x,y),r), 即f(x,y)在O(x,y),r)上是常值函数。 现设(xn,y)为区域D上一定点,(x,y)为区域D上任意一点,则存 在连续映射y:[0,]→D,满足(0,1)cD,y(0)=(x0,yb),y()=(x,y), 即y是区域D中以(x02y)为起点,以(x,y)为终点的道路。于是函数 f(y()在[0连续,且满足 f((0)=f(x,y),f((1)=f(x,y)
推论 12.3.1 如果函数 yxf ),( 在区域 2 D ⊂ R 上的偏导数恒为零， 那么它在D上必是常值函数。 证 设 yx ′′ ),( 是区域D上任意一点，则存在r′ > 0，使得点 ′ yx ′),( 的 邻域 ryxO ′′′ )),,(( ⊂ D 。由定理 12.3.1，对任意的 yx ),( ∈ ′ ′ ryxO ′)),,(( ，存 在θ （ θ << 10 ），使得 − ′ ′ = ′ + Δ ′ + Δ Δ + ′ + Δ ′ + Δ Δyyyxxfxyyxxfyxfyxf = 0),(),(),(),( x θ θ y θ θ ， 其中Δ −= xxx ′，Δ = − yyy ′。因此 = ′ yxfyxf ′),(),( ， yx ),( ∈ ′ ′ ryxO ′)),,(( ， 即 yxf ),( 在 ′ ′ ryxO ′)),,(( 上是常值函数。 现设 ),( 00 yx 为区域D上一定点， yx ),( 为区域D上任意一点，则存 在连续映射γ ]1,0[: → D，满足γ ])1,0([ ⊂ D，γ )0( = ),( 00 yx ，γ )1( = yx ),( ， 即γ 是区域 D 中以 ),( 00 yx 为起点，以 yx ),( 为终点的道路。于是函数 γ tf ))(( 在 ]1,0[ 连续，且满足 ),())0(( 00 γ = yxff ， γ = yxff ),())1((
to=Sup{s∈[01(()=f((0)=f(x0,y0,t∈[0,s]} 则to>0,且由f(y(t)的连续性,有f(y(t0)=f(x0,y)。 由于y(a)∈D,根据上面的证明,存在y(t)的邻域O(y(t)),使 得O((0)cD,且对于一切(xy)∈Oy(a),r),成立 f(x,y)=f(y(t0)=f(x0,y0) 如果t00,有t+M<1 及y(t0+△A)∈O(n),r),从而又成立f((+△)=f(y(t0)=f(x2,y), 这与t的定义矛盾,于是必有t=1。所以 f(x,y)=f((1)=f((0)=f(x0,y0), 即f(x,y)在D上是常值函数
记 ]},0[),,())0(())((|]1,0[sup{ 0 00 = ∈ γ = γ = ∈ styxfftfst ， 则 0 t0 > ，且由 γ tf ))(( 的连续性，有 ),())(( 0 00 γ = yxftf 。 由于 0 γ ( ) t ∈ D ，根据上面的证明，存在 )( 0 γ t 的邻域 )),(( 00 γ rtO ，使 得 γ rtO 00 )),(( ⊂ D，且对于一切 yx ),( ∈ )),(( 00 γ rtO ，成立 yxf ),( = ),())(( 0 00 γ = yxftf 。 如果 1 t0 0，有 1 0 + Δtt < 及 )),(()( 0 00 γ + ∈Δ γ rtOtt ，从而又成立 ))(( 0 γ + Δttf ),())(( 0 00 = γ = yxftf ， 这与 0t 的定义矛盾，于是必有 1 t0 = 。所以 ),())0(())1((),( 00 = γ = γ = yxfffyxf ， 即 yxf ),( 在D上是常值函数
下面是一般n元函数的中值定理 定理12.3.2设n元函数f(x,x2,…x)在凸区域DcR上连续, 且在D上可微,则对于D内任意两点(x,x2,…,x)和 (x+△x2x2+△x2…,x0+Axn),至少存在一个(0<0<1),使得 f(x3+△x1,x2+△x2…,x0+△xn)-f(x,x2,…,x) =∑/1(x+Ax1,x2+0Ax2,…x2+Nxn)Ax
下面是一般n元函数的中值定理。 定理 12.3.2 设n元函数 ),,,( 21 n " xxxf 在凸区域 n D ⊂ R 上连续， 且 在 D 上可微，则对于 D 内任意两点 ),,,( 0 0 2 01 n " xxx 和 ),,,( 0 2 021 01 nn " Δ+Δ+Δ+ xxxxxx ，至少存在一个θ （ < θ < 10 ），使得 ),,,(),,,( 0 0 2 01 0 2 021 01 nn n " −Δ+Δ+Δ+ " xxxfxxxxxxf n in n i x xxxxxxxf i = ∑ ΔΔ+Δ+Δ+ = ),,,( 0 2 021 01 1 θθ " θ
Taylor公式 定理12.3.3(1ayor公式)设f(x,y)在点(x,y)的邻域U 0(xo,y)r)上具有k+1阶连续偏导数,那么对于U内每一点 (x0+△x,y0+4y)都成立 f(x+△x,y+△y) f(x,y)+△xx+4O f(xo, yo)+Ax+Ay f(xo, yo) av kl- oxt ayo f(xo,yo)+R k+1 其中K-(k+1 Ax-+△ f(x+x,y+y)(0<6<1)称为 Lagrange余项
Taylor 公式 定理 12.3.3 （Taylor 公式 ） 设 yxf ),( 在 点 ),( 00 yx 的邻域 U = )),,(( 00 ryxO 上具有 k + 1 阶连续偏导数 ， 那么对于 U 内每一点 ),( 0 0 + Δ Δ+ yyxx 都成立 ),( 0 0 Δ+ + Δyyxxf = ⎟ ⎟ + " ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ Δ+ ∂ ∂ Δ+ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ Δ+ ∂ ∂ Δ+ ),( !2 1 ),( ),( 00 2 00 00 yxf y y x xyxf y y x xyxf ),( ! 1 00 yxf y y x x k k ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ Δ+ ∂ ∂ Δ+ + R k , 其 中 ),( )!1( 1 0 0 1 yyxxf y y x x k R k k Δ+Δ+ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ Δ+ ∂ ∂ Δ + = + θθ （ < θ < 10 ） 称 为 Lagrange 余项
注 Ax+y0f(x,y)=∑ ,)△x)2(△y)(p≥1) 证对于给定点(x+Ax,y+4y)∈U,构造辅助函数 ()=f(x+1Ax 则由定理条件,一元函数(1)在t|≤1上具有k+1阶连续导数,因此 在t=0处成立 Taylor公式 (1)=0(0)+(0)n+”(0)t (k d+(m)r+,0 <b<1 (k+1) 特别当t=1时,有 如(1)=(0)+d(0)+g"(0)+…+06(0)+,g1(0,0<0<1 k
注 0 0 0 0 0 ( , ) C ( , )( ) ( ) p p p i p i i p pi i i f x y fx y xy x y x y x y − − = ⎛ ⎞ ∂ ∂ ∂ ⎜ ⎟ Δ + Δ = Δ Δ ⎝ ⎠ ∂ ∂ ∂ ∂ ∑ （ p ≥ 1）。 证 对于给定点 ),( 0 0 + Δ + Δyyxx ∈ U ，构造辅助函数 ),()( 0 0 φ = + Δ Δ+ ytyxtxft ， 则由定理条件，一元函数φ t)( 在 t || ≤1 上具有k +1阶连续导数，因此 在 t = 0 处成立 Taylor 公式 10,)( )!1( 1 )0( !1 )0( !21 )0()0()( 2 )( )1( 1 << + += ′ + ′′ ++ + + + φφφφ φ θφ θ kk k k tt k t k t tt " 。 特别当t = 1时，有 10),( )!1( 1 )0( !1 )0( !21 )0()0()1( )( )1( << + += ′ + ′′ ++ + + φφφφ φ θθφ k k k k "
应用复合函数求导的链式规则易算出 o'()=Ax+Ayf(xo +tAx, yo + tAy) 0"()=4xx+4y-f(x0△x,y0+1Ay) g(=Ax0+Ayf(ro+(Ax, yo +tAy), 代入上面d(1)的表示式即得定理结论 当k=0时,就得到在U=O(x,y30)r)上的中值公式 f(o+Ax, yo+Ay)-f(ro, yo) f(x+Ax,y+的Ay)Ax+J,(x+Ax,y+的Ay)y,0<6<1
应用复合函数求导的链式规则易算出 )( ),,( )( ),,( 0 0 2 0 0 ytyxtxf y y x xt ytyxtxf y y x xt Δ+Δ+ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ Δ+ ∂ ∂ ′′ Δ= Δ+Δ+ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ Δ+ ∂ ∂ ′ Δ= φ φ …… )( ),,( 0 0 )( ytyxtxf y y x xt k k Δ+Δ+ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ Δ+ ∂ ∂ φ Δ= 代入上面 φ (1)的表示式即得定理结论。 当 k = 0时，就得到在 U = )),,(( 00 ryxO 上的中值公式 0 0 00 f ( , ) (, ) x xy y f x y +Δ +Δ − 0 0 0 0 ( , ) ( , ) ,0 1 x y = f x xy y x f x xy y y +Δ +Δ Δ+ +Δ +Δ Δ < < θ θ θθ θ
推论12.3.2设∫(x,y在点(xy)的某个邻域上具有k+1阶连续 偏导数,那么在点(x0,yn)附近成立 f(x+Ax,y+△y) f(xy)+4x+yx,/(x、ary f(x,y0)+ Ax+Ay f(o,yo)+ol NAx+Ay
推论 12.3.2 设 yxf ),( 在点 ),( 00 yx 的某个邻域上具有k +1阶连续 偏导数，那么在点 ),( 00 yx 附近成立 ),( 0 0 Δ+ + Δyyxxf = ⎟⎟ +" ⎠⎞ ⎜⎜⎝⎛ ∂∂ Δ+ ∂∂ Δ+ ⎟⎟⎠⎞ ⎜⎜⎝⎛ ∂∂ Δ+ ∂∂ Δ+ ),( !21 ),( ),( 00 2 00 00 yxf y y x xyxf y y x xyxf ),( !1 00 yxf y y x x k k ⎟⎟⎠⎞ ⎜⎜⎝⎛ ∂∂ Δ+ ∂∂ Δ+ + ( ) ⎟⎠⎞ ⎜⎝⎛ Δ+Δ k yxo 22
例1231在计算机上求在点(xy)的值,通常选取一个很小的 h,然后用中心差商 f(x+ 2)-1(x h h 近似代替(xy)。对(xy)作同样处理,即有 h 02(x,y)≈[(x+n,y)-0(x-n,y)] h f(x+h,y-f(x,y) f(x,y)-f(x-h,y) h f(x+h, y)-2f(x,y)+f(x-h, y)
例 12.3.1 在计算机上求 x f ∂ ∂ 在点 yx ),( 的值，通常选取一个很小的 h，然后用中心差商 h y h xfy h xf ), 2 (), 2 ( −−+ 近似代替 x f ∂ ∂ yx ),( 。对 ),( 2 2 yx x f ∂ ∂ 作同样处理，即有 ),( 2 2 yx x f ∂ ∂ ≈ h 1 [ x f ∂ ∂ ), 2 ( y h x + - xf ∂∂ ), 2 ( y h x − ] ≈ h h yhxfyxf h yxfyhxf − − ),(),(),(),( − + − = 2 ),(),(2),( h + − + − yhxfyxfyhxf