§2一致收敛级数的判别与性质 一致收敛的判别 定理10.2.1(函数项级数一致收敛的 Cauchy收敛原理)函数 项级数∑un(x)在D上一致收敛的充分必要条件是:对于任意给定的 >0,存在正整数N=N(),使 un(x)+un2(x)++um(x)|n>N与一切x∈D成立
一致收敛的判别 定理 10.2.1（函数项级数一致收敛的 Cauchy 收敛原理） 函数 项级数∑ ∞ =1 )( n n xu 在 D 上一致收敛的充分必要条件是：对于任意给定的 ε >0，存在正整数 N = N(ε )，使 │ )(1 xun+ + )( 2 xun+ +"+ um (x)│n >N 与一切 x∈D 成立。 §2 一致收敛级数的判别与性质
证必要性。设∑un(x)在D上一致收敛,记和函数为S(x),则 对任意给定的E>0,存在正整数N=N(E),使得对一切n>N与一切 x∈D,成立 ∑n(x)-S(x)n>N与一切x∈D,成立 1an1(x)+n2(x)+…+m()|=∑n()-∑a k=1 k=1 ∑1(x)-S(x)+>n(x)-S(x)< k=1
证 必要性。设 ∑ ∞ =1 )( n n xu 在 D 上一致收敛，记和函数为 S(x)，则 对任意给定的ε > 0，存在正整数 N = N( ) ε ， 使得对一切 n >N 与一切 x∈D，成立 )()( 1 xSxu n k ∑ k − = n >N 与一切 x∈D，成立 │ )(1 xun+ + )( 2 xun+ +"+ um (x)│= ∑ − = m k k xu 1 )( ∑ = n k k xu 1 )( ≤ ∑ +− = )()( 1 xSxu m k k )()( 1 xSxu n k ∑ k − = < ε
充分性。设任意给定的E>0,存在正整数N=M(E),使得对一切 m>n>N与一切x∈D,成立 n(x)+an2(x)+…+mx)l=∑a(x)-∑(x)< 固定x∈D,则数项级数∑un(x)满足 Cauchy收敛原理,因而收敛。设 n=1 x)=∑un(x),xED =1 在∑n()-∑(x)<中固定n,令m→,则得到 k=1 k=1 ∑u(x)-S(x) <f 2 对一切xD成立,因而∑u(x)在D上一致收敛于Sx)
充分性。设任意给定的ε >0，存在正整数 N = N(ε )，使得对一切 m>n >N 与一切 x∈D，成立 │ )(1 xun+ + )( 2 xun+ +"+ um (x)│= ∑ − = m k k xu 1 )( ∑ = n k k xu 1 )( < 2ε 固定 x∈D，则数项级数∑ ∞ =1 )( n n xu 满足 Cauchy 收敛原理，因而收敛。设 S(x) =∑ ∞ =1 )( n n xu ， x∈D， 在 ∑ − = m k k xu 1 )( ∑ = n k k xu 1 )( < 2ε 中固定 n， 令m ∞→ ，则得到 )()( 1 xSxu n k ∑ k − = ≤ 2 ε < ε 对一切 x∈D 成立，因而∑ ∞ =1 )( n n xu 在 D 上一致收敛于 S(x)
函数序列一致收敛的 Cauchy收敛原理: 函数序列{S(x)}在D上一致收敛的充分必要条件是: V>0,彐N,m>n>N,x∈D Sm(x)-S(x)|<E
函数序列一致收敛的 Cauchy 收敛原理： 函数序列{Sn(x)}在 D 上一致收敛的充分必要条件是： ∀ε >0，∃ N，∀m >n >N，∀x∈D ： │Sm(x) - Sn(x)│< ε
函数序列一致收敛的 Cauchy收敛原理: 函数序列{S(x)}在D上一致收敛的充分必要条件是: V>0,彐N,m>n>N,x∈D Sm(x)-S(x)|<E。 定理1022 Weierstrass判别法)设函数项级数∑un(x)(x∈D) 的每一项l1(x)满足 (x)|≤an,x∈D 并且数项级数∑an收敛,则∑un(x)在D上一致收敛。 n=1
定理 10.2.2 (Weierstrass 判别法) 设函数项级数∑ ∞ =1 )( n n xu （x∈D） 的每一项 un (x)满足 │un (x)│≤ an， x∈D ， 并且数项级数∑ ∞ n=1 an 收敛，则∑ ∞ =1 )( n n xu 在 D 上一致收敛。 函数序列一致收敛的 Cauchy 收敛原理： 函数序列{Sn(x)}在 D 上一致收敛的充分必要条件是： ∀ε >0，∃ N，∀m >n >N，∀x∈D ： │Sm(x) - Sn(x)│< ε
证由于对一切x∈D和正整数m>n,有 l11(x)+ln2(x) l21(x)+un-2(x)|+ un (x)I ≤an+an2+…+an m y 由定理10.21和数项级数的 Cauchy收敛原理,即得到∑n(x)在D 上一致收敛。 注此时不仅∑un(x)在D上一致收敛,并且∑n(x)也在D上 n=1 致收敛
证 由于对一切 x∈D 和正整数 m>n，有 │ )(1 xun+ + )( 2 xun+ +"+ um (x)│ ≤│ )(1 n+ xu │+ │ )( 2 n+ xu │+"+│um (x)│ ≤ an+1 + an+2 +"+ am ， 由定理 10.2.1 和数项级数的 Cauchy 收敛原理，即得到∑ ∞ =1 )( n n xu 在 D 上一致收敛。 注 此时不仅∑ ∞ =1 )( n n xu 在 D 上一致收敛，并且∑ ∞ =1 |)(| n n xu 也在 D 上 一致收敛
例10.2.1若∑an绝对收敛,则∑ a. cos nx与∑ a. sin nx在 n=1 (+)上一致收敛。如:∑(p>1),∑(等函数项级 数都在(-∞,+∞)上一致收敛
例 10.2.1 若 ∑ ∞ n=1 n a 绝对收敛，则 ∑ ∞ =1 cos n n nxa 与 ∑ ∞ =1 sin n n nxa 在 +∞−∞ ),( 上一致收敛。如：∑ ∞ =1 cos n p n nx （p > 1），∑ ∞ = + − 1 2 1 sin)1( n n n nx 等函数项级 数都在 +∞−∞ ),( 上一致收敛
例10.2.2函数项级数∑xe(a>1)在0+∞)上一致收敛。 证记 u (x=x e 则=xm,可知(在x=处达到最大倒()n,即 0≤x)s/a)1 ,x∈[0,+∞) 由于a>1,正项级数∑ 收敛,由 Weierstrass判别法, ∑xe-(a>1)在0+∞)上一致收敛
例 10.2.2 函数项级数 1 e nx n xα ∞ − = ∑ α > )1( 在 +∞),0[ 上一致收敛。 证 记 () e nx n ux xα − = ， 则 1 () e ( ) nx n u x x nx α α − − ′ = − 。可知 xu )( n 在 n x α = 处达到最大值 1 e n α α ⎛ ⎞ α⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ，即 1 0 () e n u x n α α ⎛ ⎞ α ≤ ≤ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ， x +∞∈ ),0[ 。 由 于 α > 1 ，正项级数 1 1 n e n α α α ∞ = ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∑ 收敛，由 Weierstrass 判别法， 1 e nx n xα ∞ − = ∑ α > )1( 在 +∞),0[ 上一致收敛
例10.2.3函数项级数∑xe(00,对于任意的自然数N,可取m=2n(n>M)与 xn=1∈+∞),由于a≤1,于是成立 ∑u4(xn) -2nx ≥e=E0 由定理10.21,函数项级数∑n(x)在D+∞)上非一致收敛
例 10.2.3 函数项级数 1 e nx n xα ∞ − = ∑ (0 1) ，对于任意的自然数 N ，可取 = > Nnnm )(2 与 [ ,0 +∞∈= ) 1 n xn ，由于α ≤ 1，于是成立 ∑ ≥ += n nk nk xu 2 1 )( 2 e n nx n nxα − 2 0 e ε − ≥ = 。 由定理 10.2.1，函数项级数∑ ∞ =1 )( n n xu 在 +∞),0[ 上非一致收敛
定理10.23设函数项级数∑an(xb(x)(x∈D)满足如下两个条 件之一,则∑a1(x)(x)在D上一致收敛 (1)(Abel判别法)函数序列{a(x)}对每一固定的x∈D关于n 是单调的,且{an(x)}在D上一致有界: lax)|≤M,x∈D,ne 同时,∑b(x)在D上一致收敛。 (2)( Dirichlet判别法)函数序列{an(x)}对每一固定的x∈D关于 n是单调的,且{an(x)}在D上一致收敛于0;同时,函数项级数∑bx) 的部分和序列在D上一致有界 b(x)≤M,x∈D,n
定理 10.2.3 设函数项级数∑ ∞ =1 )()( n nn xbxa （x∈D）满足如下两个条 件之一，则∑ ∞ =1 )()( n nn xbxa 在 D 上一致收敛。 ⑴ （Abel 判别法）函数序列{an(x)}对每一固定的 x∈D 关于 n 是单调的，且{an(x)}在 D 上一致有界： │an(x)│≤M， x∈D，n∈N+ ； 同时，∑ ∞ =1 )( n n xb 在 D 上一致收敛。 ⑵ （Dirichlet 判别法）函数序列{an(x)}对每一固定的 x∈D 关于 n 是单调的，且{an(x)}在 D 上一致收敛于 0；同时，函数项级数∑ ∞ =1 )( n n xb 的部分和序列在 D 上一致有界： ∑ = n k k xb 1 )( ≤M， x∈D，n∈N+