北京大学：《高等代数》课程（第三版）教学资源（讲义）第八章 λ－矩阵（8.7）矩阵的有理标准形

§7矩阵的有理标准形 前一节中证明了复数域上任一矩阵A可相似于一个若尔当形矩阵这一节将 对任意数域P来讨论类似的问题我们证明了P上任一矩阵必相似于一个有理标 准形矩阵 定义8对数域P上的一个多项式 d()=2n+a12n1 称矩阵 A=01 0 为多项式d(4)的伴侣阵 容易证明,A的不变因子(即E-A的不变因子)是 1,1…,1,d(4).(见习题3 定义9下列准对角矩阵 A2 其中A1分别是数域P上某些多项式d(λ)(=1,2…,s)的伴侣阵,且满足 d1(4)d2(4)|…d、(A),A就称为P上的一个有理标准形矩阵 引理(2)中矩阵A的不变因子为1,1,…1,d1(4),d2(1)…,d(4),其中1的个 数等于d1(A),d2(4),…,d,()的次数之和n减去s 定理14数域P上n×n方阵A在上相似于唯一的一个有理标准形,称为A的 有理标准形 把定理14的结论变成线性变换形式的结论就成为 定理15设A是数域P上n维线性空间V的线性变换,则在V中存在一组基

§7 矩阵的有理标准形 前一节中证明了复数域上任一矩阵 A 可相似于一个若尔当形矩阵.这一节将 对任意数域 P 来讨论类似的问题.我们证明了 P 上任一矩阵必相似于一个有理标 准形矩阵. 定义 8 对数域 P 上的一个多项式 n n n d = + a + + a ()  1 −1  称矩阵                 − − − − = − − 1 2 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 a a a a A n n n         (1) 为多项式 d() 的伴侣阵. 容易证明， A 的不变因子(即 E − A 的不变因子)是 1,1, ,1, ( ) 1 d  n   − 个 .（见习题 3） 定义 9 下列准对角矩阵               = As A A A  2 1 , (2) 其中 Ai 分别是数 域 P 上某些多项 式 d ( )(i 1,2, ,s) i  =  的伴侣阵 ，且满足 ( ) | ( ) | | ( ) d1  d2   ds  ， A 就称为 P 上的一个有理标准形矩阵. 引理 (2)中矩阵 A 的不变因子为 1,1, ,1, ( ), ( ), , ( )  d1  d2   ds  ，其中 1 的个 数等于 ( ), ( ), , ( ) d1  d2   ds  的次数之和 n 减去 s. 定理 14 数域 P 上 nn 方阵 A 在上相似于唯一的一个有理标准形，称为 A 的 有理标准形. 把定理 14 的结论变成线性变换形式的结论就成为 定理 15 设 A 是数域 P 上 n 维线性空间 V 的线性变换，则在 V 中存在一组基

使在该基下的矩阵是有理标准形,并且这个有理标准形由星唯一决定的,称 为的有理标准形 例设3×3矩阵A的初等因子为(A-1)2,(-1),则它的不变因子是1, (-1),(4-1)2,它的有理标准形为 00-1 012

使 A 在该基下的矩阵是有理标准形，并且这个有理标准形由 A 唯一决定的，称 为 A 的有理标准形. 例 设 33 矩阵 A 的初等因子为 ( 1) ,( 1) 2  −  − ，则它的不变因子是 1， 2 ( −1),( −1) ，它的有理标准形为 .           − 0 1 2 0 0 1 1 0 0