北京大学：《高等代数》课程（第三版）教学资源（讲义）第六章 线性空间（6.4）基变换与坐标变换

§4基变换与坐标变换 在n维线性空间中,任意n个线性无关的向量都可以取作空间的基.对于不 同的基,同一个向量的坐标一般是不同的.随着基的改变,向量的坐标是怎样变 化的 设1,2…,En与1,2,…,En是n维线性空间V中两组基,它们的关系是 1=a1E1+a2E2+…+anEn, E2=a12E1+a22E2+…+an2E 设向量在这两组基下的坐标分别是(x1,x2,…,xn)与(x1,x2,…,x),即 5=x1E1+x252 +nEn=x, 1+x2E2+.trna 现在的问题就是找出(x1,x2…,xn)与(x2x2…x)的关系 首先指出,(1)中各式的系数 ),j=1,2,…,n 实际上就是第二组基向量s(=1,2,…n)在第一组基下的坐标.向量 s1,2…e的线性无关性就保证了(1)中系数矩阵的行列式不为零.换句话说,这 个矩阵是可逆的 为了写起来方便,引入一种形式的写法.把向量 5=xE1+x2E2+…+xnEn 写成 也就是把基写成一个1×n矩阵,把向量的坐标写成一个n×1矩阵,而把向量看作 是这两个矩阵的乘积所以说这种写法是”形式的”,在于这里是以向量作为矩 阵的元素,一般说来没有意义.不过在这个特殊的情况下,这种约定的用法是不 会出毛病的

§4 基变换与坐标变换 在 n 维线性空间中，任意 n 个线性无关的向量都可以取作空间的基.对于不 同的基，同一个向量的坐标一般是不同的.随着基的改变，向量的坐标是怎样变 化的. 设 n  , , , 1 2  与 n   ,  , ,  1 2  是 n 维线性空间 V 中两组基，它们的关系是         = + + +  = + + +  = + + + . , , 1 1 2 2 2 12 1 22 2 2 1 11 1 21 2 1 n n n nn n n n n n a a a a a a a a a                 (1) 设向量  在这两组基下的坐标分别是 ( , , , ) 1 2 n x x  x 与 ( , , , ) 1 2 n x  x   x  ，即 . 1 1 2 2 n n 1 1 2 2 n n  = x  + x  ++ x  = x  + x  ++ x  (2) 现在的问题就是找出 ( , , , ) 1 2 n x x  x 与 ( , , , ) 1 2 n x  x   x  的关系. 首先指出，(1)中各式的系数 (a1 j ,a2 j ,  ,anj) , j = 1,2,  ,n 实际上就是第二组基向量 ( j 1 ,2 , ,n)   j =  在第一组基下的坐标.向量 n   ,  , ,  1 2  的线性无关性就保证了(1)中系数矩阵的行列式不为零.换句话说，这 个矩阵是可逆的. 为了写起来方便，引入一种形式的写法.把向量 . 1 1 2 2 n n  = x  + x  ++ x  写成               = n n x x x   2 1 1 2  ( , , , ) , (3) 也就是把基写成一个 1n 矩阵，把向量的坐标写成一个 n1 矩阵，而把向量看作 是这两个矩阵的乘积.所以说这种写法是”形式的”，在于这里是以向量作为矩 阵的元素，一般说来没有意义.不过在这个特殊的情况下，这种约定的用法是不 会出毛病的

相仿地,(1)可以写成 (61,2,…,bn)=(1,E2,…5n 矩阵 1 A 称为由基s1,E2,…,En到s1,E2,…,En的过渡矩阵,它是可逆的 在利用形式写法来作计算之前,首先指出这种写法所具有的一些运算规律 设a1a2…;an和B,月2…B是V中两个向量组,A=(an)B=(b)是两个nxn 矩阵,那么 (GC12a2,…,an)A)B=(a1,a2,…,an)(AB); a )A+(a (a a,X(A+B) (a1,a2,…,an)4+(B1,B2,…Bn)A=(a1+B1,a2+B2,…,an+Bn)A 现在回到本节所要解决的问题上来.由(2)有 5=(6,e2,…,En 用(4)代入,得 =(E1,E2,…,En nIn a 与(3)比较,由基向量的线性无关性,得

相仿地，(1)可以写成                  = n n nn n n n n a a a a a a a a a         1 2 21 22 2 11 12 1 1 2 1 2 ( , , , ) ( , , , ) . (4) 矩阵               = n n nn n n a a a a a a a a a A       1 2 21 22 2 11 12 1 称为由基 n  , , , 1 2  到 n   ,  , ,  1 2  的过渡矩阵，它是可逆的. 在利用形式写法来作计算之前，首先指出这种写法所具有的一些运算规律. 设    n , , , 1 2  和    n , , , 1 2  是 V 中两个向量组， ( ) ( ) A = aij B = bij , 是两个 nn 矩阵，那么 (( , , , ) ) ( , , , )( ) ; 1  2   n A B = 1  2   n AB ( , , , ) ( , , , ) ( , , , )( ) ; 1  2   n A+ 1  2   n B = 1  2   n A+ B ( , , , ) ( , , , ) ( , , , ) . 1  2   n A+ 1  2   n A = 1 + 1  2 +  2   n +  n A 现在回到本节所要解决的问题上来.由(2)有                  =    n n x x x   2 1 1 2  ( , , , ) . 用(4)代入，得                                = n n nn n n n n x x x a a a a a a a a a         2 1 1 2 21 22 2 11 12 1 1 2  ( , , , ) . 与(3)比较，由基向量的线性无关性，得

a2n‖x (5) am八xn 或者 x a21 a22 (5)与(6)给出了在基变换(4)下,向量的坐标变换公式 例1在§3例2中有 ()(210 11 0 就是过渡矩阵.不难得出 00 000:1 因此 100 100 000 x 0-10 000 也就是 x=x1,x=x1-x1-1(i=2,…,m) 与§3所得出的结果是一致的

                               =               n n nn n n n n x x x a a a a a a a a a x x x         2 1 1 2 21 22 2 11 12 1 2 1 , (5) 或者                             =                  − n n nn n n n n x x x a a a a a a a a a x x x         2 1 1 1 2 21 22 2 11 12 1 2 1 . (6) (5)与(6)给出了在基变换(4)下，向量的坐标变换公式. 例 1 在§3 例 2 中有                  = 1 1 1 1 1 0 1 0 0 ( , , , ) ( , , , ) 1 2 1 2        n  n                     = 1 1 1 1 1 0 1 0 0       A 就是过渡矩阵.不难得出                 − − = − 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1         A . 因此                               − − =                  n n x x x x x x           2 1 2 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 也就是 , ( 2 ) x1  = x1 xi  = xi − xi−1 i = ，，n . 与§3 所得出的结果是一致的

例2取V2的两个彼此正交的单位向量1,62它们作成V2的一个基令c1,E2 分别是由E1,E2旋转角所得的向量,则cs1,E2也是V2的一个基,有 EI =81 6+82 sin 6 E2=-E, sin 6+82 sin 6 所以{c1,62}到{s1,E2}的过渡矩阵是 sin 6 cose 设V2的一个向量关于基{1,E2}和{cE2}的坐标分别为(x1x2)与(x2x2) 于是由5)得 s6 -sin e x2)( sin 0 cos0人x x,=x sin 8 x 2=x sm 8+x2 8 这正是平面解析几何里,旋转坐标轴的坐标变换公式

例 2 取 V2 的两个彼此正交的单位向量 1 2  , 它们作成 V2 的一个基.令 1 2   ,  分别是由 1 2  , 旋转角  所得的向量，则 1 2   ,  也是 V2 的一个基，有           sin sin cos sin 2 1 2 1 1 2 = − +  = +  所以｛ 1 2  , ｝到｛ 1 2   ,  ｝的过渡矩阵是         −     sin cos cos sin . 设 V2 的一个向量  关于基｛ 1 2  , ｝和｛ 1 2   ,  ｝的坐标分别为 ( , ) 1 2 x x 与( 1 2 x  , x  ). 于是由(5)得 , sin cos cos sin 2 1 2 1                   − =        x x x x     即 sin cos . cos sin , 2 1 2 1 1 2     x x x x x x  =  +  =  −  这正是平面解析几何里，旋转坐标轴的坐标变换公式