北京大学：《高等代数》课程（第三版）教学资源（讲义）第五章 二次型（5.2）标准形

§2标准形 、二次型的标准型 次型中最简单的一种是只包含平方项的二次型 dx2+d2x2+…+dnx2 定理1数域P上任意一个二次型都可以经过非化线性替换变成平方和(1) 的形式 易知,二次型(1)的矩阵是对角矩阵, xi +dx dx d10 o d 0 00 反过来,矩阵为对角形的二次型就只包含平方项按上一节的讨论,经过非退化 的线性替换,二次型的矩阵变到一个合同的矩阵,因此用矩阵的语言,定理1 可以叙述为: 定理2在数域P上,任意一个对称矩阵都合同于一对角矩阵 定理2也就是说,对于任意一个对称矩阵A都可以找到一个可逆矩阵C使 成对角矩阵 二次型∫(x,x2…x)经过非退化线性替换所变成的平方和称为 f(x,x2,…,x)的标准形 例化二次型 xn)=2x x2+2x, x3-6x2 为标准形 二、配方法 1.a1≠0,这时的变量替换为

§2 标准形 一、二次型的标准型 二次型中最简单的一种是只包含平方项的二次型 2 2 2 2 2 1 1 n n d x + d x ++ d x . （1） 定理 1 数域 P 上任意一个二次型都可以经过非化线性替换变成平方和（1） 的形式. 易知，二次型（1）的矩阵是对角矩阵， ( ) . 0 0 0 0 0 0 , , , 2 1 2 1 1 2 2 2 2 2 2 1 1                             = + + + n n n n n x x x d d d x x x d x d x d x           反过来，矩阵为对角形的二次型就只包含平方项.按上一节的讨论，经过非退化 的线性替换，二次型的矩阵变到一个合同的矩阵，因此用矩阵的语言，定理 1 可以叙述为： 定理 2 在数域 P 上，任意一个对称矩阵都合同于一对角矩阵. 定理 2 也就是说，对于任意一个对称矩阵 A 都可以找到一个可逆矩阵 C 使 CAC 成对角矩阵. 二次型 ( , , , ) 1 2 n f x x  x 经过非退化线性替换所变成的平方和称为 ( , , , ) 1 2 n f x x  x 的标准形. 例 化二次型 1 2 2 1 2 2 1 3 6 2 3 f (x , x , , x ) x x x x x x  n = + − 为标准形. 二、配方法 1. 0, a11  这时的变量替换为

x1=y1-∑a1ayy y x,=y 令 au a 0 C 则上述变量替换相应于合同变换 A→C1AC1 为计算c1AC1,可令 于是A和C可写成分块矩阵 au A O E 这里a'为a的转置,E1为n-1级单位矩阵这样 aa e n-1人a A O E 11 0 A,-ailaalo Eno A-a,la'a 矩阵A1-aiaa是一个(n-1)x(n-1)对称矩阵,由归纳法假定,有 (n-1)×(n-1)可逆矩阵G使 G(A-aua'a)o 为对角形,令 O G

         = = = −= − . , , 2 2 2 1 1 1 1 11 n n n j j j x y x y x y a a y  令               − − = − − 0 0 1 0 1 0 1 1 1 12 11 1 11 1       a a  a a n C , 则上述变量替换相应于合同变换 A C1 AC1  → 为计算 C1 AC1  ，可令 ( )           = = n nn n n a a a a a a A       2 22 2 12 1 1  , , , . 于是 A 和 C1 可写成分块矩阵         − =          = − − 1 1 11 1 1 11 1 , O En a C A a A    , 这里  为  的转置， En−1 为 n −1 级单位矩阵.这样 . 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1         −  =         −         −  =         −                  −  =  − − − − − − − −          O A a a O O E a O A a a O E a A a a E O C AC n n n 矩 阵 −  −1 A1 a11 是一个 (n −1) (n −1) 对称矩阵，由归纳法假定，有 (n −1) (n −1) 可逆矩阵 G 使 G A − a  G = D − ( ) 1 1 11  为对角形，令         = O G O C 1 2

于是 I O C CACC,= OG人oA-aaa人oG)(OD 这是一个对角矩阵,我们所要的可逆矩阵就是 C=CC 2.a1=0但只有一个an≠0 这时,只要把A的第一行与第i行互换,再把第一列与第i列互换,就归结 成上面的情形,根据初等矩阵与初等变换的关系,取 00…010…0 01….000…0 00…100…0 C1=P(1,i)= 0…000…0i行 00∴0010 00∴000…1 列 显然 P(1,)’=P(1,n) 矩阵 就是把A的第一行与第i行互换,再把第一列与第i列互换因此,C1AC1左上角 第一个元素就是an,这样就归结到第一种情形 3.an=0,i=1,2,…,n,但有一a1≠0,j≠1 与上一情形类似,作合同变换 P(2,j)’AP(2,j) 可以把a1,搬到第一行第二列的位置,这样就变成了配方法中的第二种情形与那 里的变量替换相对应,取

于是         =                −           =   − O D a O O G O O A a a O O G O C C AC C 11 1 1 11 11 2 1 1 2 1 1   , 这是一个对角矩阵，我们所要的可逆矩阵就是 C = C1C2 . 2. a11 = 0 但只有一个 aii  0 . 这时，只要把 A 的第一行与第 i 行互换，再把第一列与第 i 列互换，就归结 成上面的情形，根据初等矩阵与初等变换的关系，取 i列 C P i                           = = 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 (1, ) 1               i 行 显然 P(1,i) = P(1,i). 矩阵 (1, ) (1, ) 1 1 C AC = P i AP i  就是把 A 的第一行与第 i 行互换，再把第一列与第 i 列互换.因此， C1 AC1  左上角 第一个元素就是 ii a ，这样就归结到第一种情形. 3. a 0,i 1,2, ,n, ii = =  但有一 0, 1. a1 j  j  与上一情形类似，作合同变换 P(2, j)AP(2, j) 可以把 j a1 搬到第一行第二列的位置，这样就变成了配方法中的第二种情形.与那 里的变量替换相对应，取

C1=001 000…1 于是C1AC1的左上角就是 2a120 2a1 也就归结到第一种情形 4.a1=0,j=1,2,…,n 由对称性,an,j=12…,n也全为零于是 O A A是n-1级对称矩阵由归纳法假定,有(n-1)×(n-1)可逆矩阵G使 GAG=D 成对角形取 C‘AC就成对角形 例化二次型 f(x1,x2,x3)=2x1x2+2x1x3-6x2x3 成标准形

                − = 0 0 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1      C , 于是 C1 AC1  的左上角就是         − 12 12 0 2 2 0 a a , 也就归结到第一种情形. 4. 0, 1,2, , . a1 j = j =  n 由对称性， , 1,2, , . a j1 j =  n 也全为零.于是         = 1 0 O A O A , A1 是 n −1 级对称矩阵.由归纳法假定，有 (n −1) (n −1) 可逆矩阵 G 使 GA1G = D 成对角形.取         = O G O C 1 ， C AC  就成对角形. 例 化二次型 1 2 3 2 1 2 2 1 3 6 2 3 f (x , x , x ) = x x + x x − x x 成标准形