s4n级行列式的性质 行列式的计算是一个重要的问题,也是一个很复杂的问题.n级行列式一共 有n项,计算它就需做个乘法当n较大时,m是一个相当在的数字直接从定义 来计算行列式几乎是不可能的事因此有必要进一步讨论行列式的性质利用这些 性质可以化简行列式的计算. 在行列式的定义中,虽然每一项是n个元素的乘积,但是由于这n个元素是 取自不同的行与列,所以对于某一确定的行中n个元素(譬如an,a2…,an)来说, 每一项都含有其中的一个且只含有其中的一个元素因之,n级行列式的n项可以 分成n组,第一组的项都含有an1,第二组的项都含有a2等等再分别把i行的元 素提出来,就有 =an1A1+a12A2+…+amnm (1) 其中A代表那些含有a的项在提出公因子a之后的代数和至于A4究竟是哪 些项的和暂且不管,到§6再来讨论从以上讨论可以知道,A,中不再含有第i行 的元素,也就是A1,A2…,A全与行列式中第i行的元素无关由此即得. 性质2 这就是说,一行的公因子可以提出去,或者说以一数乘行列式的一行相当于用这 个数乘此行列式 令k=0,就有如果行列式中一行为零,那么行列式为零 性质3
§4 n 级行列式的性质 行列式的计算是一个重要的问题，也是一个很复杂的问题. n 级行列式一共 有 n! 项，计算它就需做个乘法.当 n 较大时， n! 是一个相当在的数字.直接从定义 来计算行列式几乎是不可能的事.因此有必要进一步讨论行列式的性质.利用这些 性质可以化简行列式的计算. 在行列式的定义中，虽然每一项是 n 个元素的乘积，但是由于这 n 个元素是 取自不同的行与列，所以对于某一确定的行中 n 个元素(譬如 ai ai ain , , , 1 2 )来说， 每一项都含有其中的一个且只含有其中的一个元素.因之， n 级行列式的 n! 项可以 分成 n 组，第一组的项都含有 i1 a ，第二组的项都含有 i2 a 等等.再分别把 i 行的元 素提出来，就有 i i i i i n i n n n n n n n a A a A a A a a a a a a a a a = + ++ 1 1 2 2 1 2 21 22 2 11 12 1 (1) 其中 Aij 代表那些含有 ij a 的项在提出公因子 ij a 之后的代数和.至于 Aij 究竟是哪一 些项的和暂且不管，到§6 再来讨论.从以上讨论可以知道， Aij 中不再含有第 i 行 的元素，也就是 Ai Ai Ain , , , 1 2 全与行列式中第 i 行的元素无关.由此即得. 性质 2 n n n n i i i n n n n n n i i i n n a a a a a a a a a k a a a k a k a k a a a a 1 2 1 2 11 12 1 1 2 1 2 11 12 1 = 这就是说，一行的公因子可以提出去，或者说以一数乘行列式的一行相当于用这 个数乘此行列式. 令 k = 0 ，就有如果行列式中一行为零，那么行列式为零. 性质 3
aIm a1 al C, b, b, +c= b, b2 这就是说,如果某一行是两组数的和,那么这个行列式就等于两个行列式的和, 而这两个行列式除这一行以外全与原来行列式的对应的行一样 性质3显然可以推广到某一行为多组数的和的情形 性质4如果行列式中有两行相同,那么行列式为零所谓两行相同就是说两 行的对应元素都相等 性质5如果行列式中两行成比例,那么行列式为零 性质6把一行的倍数加到另一行,行列式不变 性质7对换行列式中两行的位置,行列式反号 例1计算n级行列式 b b bbb 例2计算行列式 503201298 由于行列戒,上(下)三角形行列式容易计算,因此计算行列式的一个基本方法是利用行 列式的性质,把行列式化成上(下)三角形行列式进行计算 例3一个n级行列式,假设它的元素满足 证明,当n为奇数时,此行列式为零
n n n n n n n n n n n n n n n n n n n a a a c c c a a a a a a b b b a a a a a a b c b c b c a a a 1 2 1 2 1 1 1 2 1 1 2 1 2 1 1 1 2 1 1 2 1 1 2 2 1 1 1 2 1 + + + = + . 这就是说，如果某一行是两组数的和，那么这个行列式就等于两个行列式的和， 而这两个行列式除这一行以外全与原来行列式的对应的行一样. 性质 3 显然可以推广到某一行为多组数的和的情形. 性质 4 如果行列式中有两行相同，那么行列式为零.所谓两行相同就是说两 行的对应元素都相等. 性质 5 如果行列式中两行成比例，那么行列式为零. 性质 6 把一行的倍数加到另一行，行列式不变. 性质 7 对换行列式中两行的位置，行列式反号. 例 1 计算 n 级行列式 b b b a b b a b b a b b a b b b d = 例 2 计算行列式 5 2 3 503 201 298 − 2 3 1 . 由于行列戒，上(下)三角形行列式容易计算，因此计算行列式的一个基本方法是利用行 列式的性质，把行列式化成上(下)三角形行列式进行计算. 例 3 一个 n 级行列式，假设它的元素满足 aij = −a ji , i , j = 1,2, ,n , (4) 证明，当 n 为奇数时，此行列式为零