§2一元多项式 教学目的:使学生掌握多项式和多项式环的概念,并能用多项式的性质解题 教学重点:多项式的运算和次数公式 教学难点:多项式的运算和次数公式 教学过程 一、定义2设n是一非负整数,x是一个符号(或称文字)。形式表达式 ax+a, +ax+a 其中an,a1,…an全属于数域P,称为系数在数域P中的一元多项式,或者简称 为数域P上的一元多项式。其中,a1x称为次项,a1称为次项的系数 以后,用f(x),g(x),…或∫,g,…等来表示多项式 注:1、这里定义的多项式是符号或文字的形式表达式,随需要而定。当x代 表未知数时,就是中学数学中的多项式 、定义3如果在多项式与g(x)中,除去系数为零的项外,同次项的系数全相 等,那么f(x)与g(x)就称为相等,记为f(x)=g(x) 系数全为零的多项式称为零多项式,记为0。 在(1)中,如果an≠0,那么ax"称为多项式(1)的首项,an称为首项 系数,n称为多项式(1)的次数,记为a(f(x)。 零多项式是唯一不定义次数的多项式。 注:1、若f(x)=c≠0为常数,则a(f(x)=0。 三、多项式的运算 设 f(r)=a,x"+a-x"+.+a,x+a g(x)=bmx"+bm-x+.+b,x+bo 是数域P上两个多项式,那么可以写成 f(x)=∑ax, g(x)=∑ 在定义多项式f(x)与g(x)的和之前,为了方便起见,如n≥m,在g(x)中
§2 一元多项式 教学目的：使学生掌握多项式和多项式环的概念，并能用多项式的性质解题 教学重点：多项式的运算和次数公式 教学难点：多项式的运算和次数公式 教学过程 一、定义 2 设 n 是一非负整数， x 是一个符号（或称文字）。形式表达式 1 0 1 a x a 1 x a x a n n n n + + + + − − ， （1） 其中 0 1 , , , n a a a 全属于数域 P ，称为系数在数域 P 中的一元多项式，或者简称 为数域 P 上的一元多项式。其中， i i a x 称为 i 次项， i a 称为 i 次项的系数。 以后，用 f x g x ( ), ( ), 或 f g , , 等来表示多项式。 注：1、这里定义的多项式是符号或文字的形式表达式，随需要而定。当 x 代 表未知数时，就是中学数学中的多项式。 二、定义 3 如果在多项式与 g(x) 中，除去系数为零的项外，同次项的系数全相 等，那么 f (x) 与 g(x) 就称为相等，记为 f (x) = g(x) 。 系数全为零的多项式称为零多项式，记为 0。 在（1）中，如果 an 0 ，那么 n n a x 称为多项式（1）的首项， n a 称为首项 系数，n 称为多项式（1）的次数，记为 ( f (x))。 零多项式是唯一不定义次数的多项式。 注：1、若 f x c ( ) 0 = 为常数，则 = ( ( )) 0 f x 。 三、多项式的运算 设 1 0 1 1 f (x) a x a x a x a n n n = n + + + + − − 1 0 1 1 g(x) b x b x b x b m m m = m + + + + − − 是数域 P 上两个多项式，那么可以写成 = = n i i i f x a x 0 ( ) ， = = m j j j g x b x 0 ( ) 。 在定义多项式 f (x) 与 g(x) 的和之前，为了方便起见，如 n m ，在 g(x) 中
令bn=bn1=…=bm=0,那么f(x)与g(x)的和为 f(x)+g(x=(a,+b bn)x"+…+(a1+b1)x+(a0+bo ∑(a+bx 而f(x)与g(x)的乘积为 f(xg(x)=a, bx"m+(a, bm,+a,b)x"m-+.+(a, bo +aob,x+ab 其中s次项的系数是 a, bo ab,=∑ab 所以f(x)g(x)可表成 f(x)g(x)=∑(∑ab)x2。 注:1、数域P上的两个多项式经过加、减、乘运算后,所得结果仍然是数 域P上的多项式。 2、次数公式 (1)a(f(x)±g(x)≤max((f(x),a(g(x))。 (2)若f(x)≠0,g(x)≠0,则f(x)g(x)≠0,并且 a((x)g(x))=a((x)+O(g(x)。 3、多项式乘积的首项系数就等于因子首项系数的乘积 四、多项式的运算律: 1、加法交换律:f(x)+g(x)=g(x)+f(x)。 2、加法结合律:(f(x)+g(x)+h(x)=f(x)+(g(x)+h(x) 3、乘法交换律:f(x)g(x)=g(x)f(x) 4、乘法结合律:(f(x)g(x)h(x)=f(x)(g(x)h(x)。 5、乘法对加法的分配律:f(x)(g(x)+h(x)=f(x)g(x)+f(x)h(x)。 6、乘法消去律:若f(x)g(x)=f(x)h(x),且f(x)≠0,则g(x)=h(x) 证明:只证明乘法结合律和乘法消去律。设 f(x)=∑ax,g(x)=∑bx1,Mx)=∑cx 则 n+n+l (x)g(x)M(x)=C(∑abx)x)=∑(∑(∑abcx=∑(∑abc)x) t=0 i+j+k=
令 bn = bn−1 == bm+1 = 0 ，那么 f (x) 与 g(x) 的和为 = − − − = + + = + + + + + + + + n i i i i n n n n n n a b x f x g x a b x a b x a b x a b 0 1 1 0 0 1 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 而 f (x) 与 g(x) 的乘积为 1 0 0 1 0 0 1 1 1 f (x)g(x) a b x (a b a b )x (a b a b )x a b n m n m n m n m = n m + + + + + + + − − − + 其中 s 次项的系数是 + = + − + + − + = i j s asb0 as 1b1 a1bs 1 a0bs aibj 所以 f (x) g(x) 可表成 s n m s i j s i j f (x)g(x) ( a b )x 0 + = + = = 。 注：1、数域 P 上的两个多项式经过加、减、乘运算后，所得结果仍然是数 域 P 上的多项式。 2、次数公式： （1） ( ( ) ( )) max( ( ( )), ( ( ))) f x g x f x g x 。 （2）若 f (x) 0, g(x) 0 ，则 f (x)g(x) 0 ，并且 ( f (x)g(x)) = ( f (x)) + (g(x)) 。 3、多项式乘积的首项系数就等于因子首项系数的乘积. 四、多项式的运算律： 1、加法交换律： f (x) + g(x) = g(x) + f (x) 。 2、加法结合律：( f (x) + g(x)) + h(x) = f (x) + (g(x) + h(x))。 3、乘法交换律： f (x)g(x) = g(x) f (x)。 4、乘法结合律：( f (x)g(x))h(x) = f (x)(g(x)h(x)) 。 5、乘法对加法的分配律： f (x)(g(x) + h(x)) = f (x)g(x) + f (x)h(x) 。 6、乘法消去律：若 f (x)g(x) = f (x)h(x) ，且 f (x) 0 ，则 g(x) = h(x)。 证明：只证明乘法结合律和乘法消去律。设 0 0 0 ( ) , ( ) , ( ) n m l i j k i j k i j k f x a x g x b x h x c x = = = = = = ， 则 0 0 0 ( ( ) ( )) ( ) ( ( ) ) ( ) ( ( ) ) (( ) ) n m n m l n m l s t t i j i j k i j k s i j s t s k t i j s t i j k t f x g x h x a b x h x a b c x a b c x + + + + + = + = = + = + = = + + = = = = 而
f(xg(x)M(x)=(x)2(∑bex)=∑(∑a(∑be)x=∑(∑ab=:)x) 1=0 itr=t j+k=r 故(f(x)g(x)h(x)=f(x)(g(x)h(x)。 若f(x)g(x)=f(x)h(x),且f(x)≠0,则f(x)g(x)-h(x)=0,由次数公式, 得g(x)-h(x)=0?,即g(x)=h(x)。 五、定义4所有系数在数域P中的一元多项式的全体,称为数域P上的一元多 项式环,记为P[x],P称为P[x]的系数域。 课程小结:1、多项式的运算及其次数公式 2、连加号的灵活应用
0 0 0 ( )( ( ) ( )) ( )( ( ) ) ( ( )) (( ) ) m l n m l n m l r t t j k i j k i j k r j k r t i r t j k r t i j k t f x g x h x f x b c x a b c x a b c x + + + + + = + = = + = + = = + + = = = = 故 ( f (x)g(x))h(x) = f (x)(g(x)h(x))。 若 f (x)g(x) = f (x)h(x) ，且 f (x) 0 ，则 f x g x h x ( )( ( ) ( )) 0 − = ，由次数公式， 得 g x h x ( ) ( ) 0 − = ？，即 g(x) = h(x)。 五、定义 4 所有系数在数域 P 中的一元多项式的全体，称为数域 P 上的一元多 项式环，记为 P[x]， P 称为 P[x] 的系数域。 课程小结：1、多项式的运算及其次数公式。 2、连加号的灵活应用
