北京大学：《高等代数》课程（第三版）教学资源（讲义）第八章 λ－矩阵（8.6）若尔当（Jordan）标准形的理论推导

§6若尔当( Jordan)标准形的理论推导 我们用初等因子的理论来解决若尔当标准形的计算问题首先计算若尔当标 准形的初等因子 不难算出若尔当块 00 10…00 J0=01 00 1A0 的初等因子是(A-40)” 事实上,考虑它的特征矩阵 100 0 1-A NE-Jo= 1元-0 显然|E-J=(2-1)”,这就是E-的n级行列式因子由于AE-J有一个 级子式是 1克-A0 00 0 所以它的n-1级行列式因子是1,从而它以下各级的行列式因子全是1因此它的 不变因子 dn-1()=1,dn(A)=(-) 由此即得,AE-J0的初等因子是(2-10) 再利用§5的定理9,若尔当形矩阵的初等因子也很容易算出. 设

§6 若尔当(Jordan)标准形的理论推导 我们用初等因子的理论来解决若尔当标准形的计算问题.首先计算若尔当标 准形的初等因子. 不难算出若尔当块 n n J                  = 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0            的初等因子是 n ( )  − 0 . 事实上，考虑它的特征矩阵                 − − − − − − − = 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0                E J 显然 n E J ( )  − 0 =  − 0 ，这就是 0 E − J 的 n 级行列式因子.由于 0 E − J 有一个 n −1 级子式是 1 0 0 ( 1) 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 − = − − − − − − − n             , 所以它的 n −1 级行列式因子是 1，从而它以下各级的行列式因子全是 1.因此它的 不变因子 n d dn dn ( ) ( ) 1, ( ) ( ) 1  = = −1  =  =  − 0 . 由此即得， 0 E − J 的初等因子是 n ( )  − 0 . 再利用§5 的定理 9，若尔当形矩阵的初等因子也很容易算出. 设

是一个若尔当形矩阵,其中 A:0 00 J=0 00 (i=1 既然J的初等因子是(A-1)(=1,2,…,),所以AE-与 (-2) 等价于是 LE (λ-1) (A-42) (A-4,) 等价因此,J的全部初等因子是

              = s J J J J  2 1 是一个若尔当形矩阵，其中 ( 1,2, , ) 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 J i s i i k k i i i i          =                 =     . 既然 i J 的初等因子是 ( ) (i 1,2, ,s) i k  − i =  ，所以 i E − J 与               − i k i ( ) 1 1    等价.于是               − − − − = k s k k E J E J E J E J s      2 1 2 1 与                                       − − − s k s k k ( ) 1 1 ( ) 1 1 ( ) 1 1 2 1 2 1          等价.因此， J 的全部初等因子是：

),(4-2)2…,(-2,) 这就是说,每个若尔当形矩阵的全部初等因子就是由它的全部若尔当形矩阵 的初等因子构成的由于每个若尔当块完全由它的级数n与主对角线上元素A所 刻划,而这两个数都反映在它的初等因子(-40)”中因此,若尔当块被它的初 等因子唯一决定.由此可见,若尔当形矩阵除去其中若尔当块排列的次序外被它 的初等因子唯一决定 定理10每个n级的复数矩阵A都与一个若尔当形矩阵相似,这个若尔当形 矩阵除去其中若尔当块的排列次序外是被矩阵A唯一决定的,它称为A的若尔当 标准形 例1§5的例中,12级矩阵的若尔当标准形就是 例2求矩阵 A 的若尔当标准形 定理10换成线性变换的语言来说就是: 定理11设A是复数域上n维线性空间V的线性变换,在V中必定存在一组 基,使A在这组基下的矩阵是若尔当形,并且这个若尔当形矩阵除去其中若尔 当块的排列次序外是被A唯一决定的

s k s k k ( ) , ( ) , ,( ) 1 2  − 1  − 2   −  . 这就是说，每个若尔当形矩阵的全部初等因子就是由它的全部若尔当形矩阵 的初等因子构成的.由于每个若尔当块完全由它的级数 n 与主对角线上元素 0 所 刻划，而这两个数都反映在它的初等因子 n ( )  − 0 中.因此，若尔当块被它的初 等因子唯一决定.由此可见，若尔当形矩阵除去其中若尔当块排列的次序外被它 的初等因子唯一决定. 定理 10 每个 n 级的复数矩阵 A 都与一个若尔当形矩阵相似，这个若尔当形 矩阵除去其中若尔当块的排列次序外是被矩阵 A 唯一决定的，它称为 A 的若尔当 标准形. 例 1 §5 的例中，12 级矩阵的若尔当标准形就是 1 2 1 2 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0                                        − − − − i i i i 例 2 求矩阵           − − − − − = 1 1 4 1 0 3 1 2 6 A 的若尔当标准形. 定理 10 换成线性变换的语言来说就是： 定理 11 设 A 是复数域上 n 维线性空间 V 的线性变换，在 V 中必定存在一组 基，使 A 在这组基下的矩阵是若尔当形，并且这个若尔当形矩阵除去其中若尔 当块的排列次序外是被 A 唯一决定的

应该指出,若尔当形矩阵包括对角矩阵作为特殊情形,那就是由一级若尔当 块构成的若尔当形矩阵,由此即得 定理12复数矩阵A与对角矩阵相似的充要条件是A的初等因子全为一次 根据若尔当形的作法,可以看出矩阵A的最小多项式就是A的最后一个不变 因子因此有 定理13复数矩阵A与对角矩阵相似的充要条件是A的不变因子都没有重 根 虽然我们证明了每个复数矩阵A都与一个若尔当形矩阵相似,并且有了具体 求矩阵A的若尔当标准形的方法,但是并没有谈到如何确定过渡矩阵T,使 AT成若尔当标准形的问题.T的确定牵涉到比较复杂的计算问题 最后指出,如果规定上三角形矩阵 00 00 000 10 000 为若尔当块,应用完全类似的方法,可以证明相应于定理10,定理11的结论也 成立

应该指出，若尔当形矩阵包括对角矩阵作为特殊情形，那就是由一级若尔当 块构成的若尔当形矩阵，由此即得 定理 12 复数矩阵 A 与对角矩阵相似的充要条件是 A 的初等因子全为一次 的. 根据若尔当形的作法，可以看出矩阵 A 的最小多项式就是 A 的最后一个不变 因子.因此有 定理 13 复数矩阵 A 与对角矩阵相似的充要条件是 A 的不变因子都没有重 根. 虽然我们证明了每个复数矩阵 A 都与一个若尔当形矩阵相似，并且有了具体 求矩阵 A 的若尔当标准形的方法，但是并没有谈到如何确定过渡矩阵 T ，使 T AT −1 成若尔当标准形的问题. T 的确定牵涉到比较复杂的计算问题. 最后指出，如果规定上三角形矩阵                 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0              为若尔当块，应用完全类似的方法，可以证明相应于定理 10，定理 11 的结论也 成立