§5高阶导数和高阶微分 高阶导数的实际背景及定义 物体在时刻t的瞬时加速度为当t→0时,它的平均加速度的 △t 极限值,即 a(t)= lim=lim v(t+At)-v(t) △→0△t1→0 △t =v(t), 也就是说,加速度函数a(t)是速度函数v(t)的导函数,是位移函数s(t) 的导函数的导函数,称为s(t)的二阶导数
高阶导数的实际背景及定义 物体在时刻 t 的瞬时加速度为当 Δ t → 0时，它的平均加速度 Δ Δ v t 的 极限值，即 a t v t vt t vt t v t t t ( ) lim lim ( ) () = = ( ) + − = ′ Δ Δ → → Δ Δ Δ 0 0 Δ ， 也就是说，加速度函数a t( )是速度函数v t( )的导函数，是位移函数s t( ) 的导函数的导函数，称为s t( ) 的二阶导数。 §5 高阶导数和高阶微分
定义 y,)仍是个 设y=f(x)可导,若它的导数f(x)(或y(x),ddx 可导函数,则称f(x)的导数f(x)(或[y(x d df d d )为 f(x)的二阶导数,记为 f"(x)(或yx),2 y dx 并称f(x)是二阶可导函数(简称f(x)二阶可导)或者说f(x)的二阶导 数存在
定义 设 y fx = ( )可导，若它的导数 f x ′( )（或 ′ xy )( ， f x d d ， y x d d ）仍是个 可导函数，则称 f x ′( )的导数 ′ xf ])([ ′（或[ ]′ ′ xy )( ， f x x ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ d d d d ， y x x ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ d d d d ）为 f x( )的二阶导数，记为 ′′ xf )( （或 ′′ xy )( ， 2 2 f x d d ， 2 2 y x d d ）， 并称 f x( )是二阶可导函数（简称 f x( )二阶可导）或者说 f x( )的二阶导 数存在
定义 y,)仍是个 设y=f(x)可导,若它的导数f(x)(或y(x),ddx 可导函数,则称f(x)的导数f(x)(或[y(x d df d d )为 f(x)的二阶导数,记为 f(x)(或y"(x), d y dx 并称f(x)是二阶可导函数(简称f(x)二阶可导)或者说f(x)的二阶导 数存在。 若f"(x)仍是个可导函数,则称f"(x)的导数为f(x)的三阶导数, 记为 x)(或y"(x), dx dx 并称f(x)三阶可导或者说f(x)的三阶导数存在
若 f x ′′( )仍是个可导函数，则称 f x ′′( )的导数为 f x( )的三阶导数， 记为 ′′′ xf )( （或 ′′′ xy )( ， 3 3 d d f x ， 3 3 d d y x ）， 并称 f x( )三阶可导或者说 f x( )的三阶导数存在。 定义 设 y fx = ( )可导，若它的导数 f x ′( )（或 ′ xy )( ， f x d d ， y x d d ）仍是个 可导函数，则称 f x ′( )的导数 ′ xf ])([ ′（或[ ]′ ′ xy )( ， f x x ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ d d d d ， y x x ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ d d d d ）为 f x( )的二阶导数，记为 ′′ xf )( （或 ′′ xy )( ， 2 2 f x d d ， 2 2 y x d d ）， 并称 f x( )是二阶可导函数（简称 f x( )二阶可导）或者说 f x( )的二阶导 数存在
以此类推,可以定义n阶导数: 定义4.5.1设函数y=f(x)的n-1阶导数f(m(x)(或y(x), d"f.dy)(n=2,3…)仍是个可导函数,则称它的导数[/"(x) d r-1, d d" d d (或[(对),d(drd(d4)为()的n阶导数,记为 f(x)(或y0(x) d dx 并称f(x)是n阶可导函数(简称f(x)n阶可导)或者说f(x)的n阶导数 存在
以此类推，可以定义n阶导数： 定义 4.5.1 设函数 = xfy )( 的n −1阶导数 )()1( xf n− （或 )()1( xy n− ， 1 1 d d n n f x − − ， 1 1 d d n n y x − − ）（n = ,3,2 "）仍是个可导函数，则称它的导数 ])([ )1( ′ − xf n （或[ ]′ − )()1( xy n ， 1 1 d d d dn n f x x− − ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠， 1 1 d d d dn n y x x− − ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠）为 f x( )的n阶导数，记为 )()( xf n （或 )()( xy n ， ddn nf x ， ddn nyx ）， 并称 f x( )是n阶可导函数（简称 f x( ) n阶可导）或者说 f x( )的n阶导数 存在
以此类推,可以定义n阶导数: 定义4.5.1设函数y=f(x)的n-1阶导数f(m(x)(或ym"(x), d"f,当y)(n=23…)仍是个可导函数,则称它的导数[n(x) (或[m(), d d dx(dx)d(d)为(x)的n阶导数,记为 (x)(或 d dx 并称f(x)是n阶可导函数(简称f(x)n阶可导)或者说f(x)的n阶导数 存在 利用上述记号,加速度函数可以写成 ()=s"(t) Newton第二运动定律可以写成
利用上述记号，加速度函数可以写成 2 2 )()( t s tsta d d = ′′ = ， Newton 第二运动定律可以写成 2 2 t s mF d d = 。 以此类推，可以定义 n阶导数： 定义 4.5.1 设函数 = xfy )( 的 n − 1阶导数 )()1( xf n − （ 或 )()1( xy n − ， 1 1 d d n n f x − − ， 1 1 d d n n y x − − ）（ n = ,3,2 " ）仍是个可导函数，则称它的导数 ])([ )1( ′ − xf n （ 或[ ] ′ − )()1( xy n ， 1 1 d d d d n n f x x − − ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ， 1 1 d d d d n n y x x − − ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ） 为 f x( ) 的 n阶导数，记为 )()( xf n （或 )()( xy n ， d d n n f x ， d d n n y x ）， 并称 f x( ) 是 n阶可导函数 （简称 f x( ) n阶可导 ）或者说 f x( ) 的 n阶导 数 存在
例4.5.1求y=e的n阶导函数。 解由 可知 e)=(e2)"=(e e 类似可以得到 )n)=(lna)
例 4.5.1 求 y x = e 的n阶导函数。 解 由 (e ) e x x ′ = ， 可知 x x x xnx e)(e)(e)(e)(e )( ′ = ′′ = ′′′ " === 。 类似可以得到 ( ) (ln ) ( ) a aa xn nx =
例4.5.2求y=sinx和y=cosx的n阶导函数 解因为 (sin x )=cos x=sin x+ 利用复合函数的求导法则 (sin x)=sin(x+ cosIx+ 2/sin+ r 以此类推,由数学归纳法容易证明 (sin x)m)=sin x+ 同理,y=cosx的n阶导数为 coS x) n) =coSx+
例 4.5.2 求 y x = sin 和 y = cos x 的 n阶导函数。 解 因为 π (sin ) cos sin 2 x xx ⎛ ⎞ ′ == + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠， 利用复合函数的求导法则 π π 2 π (sin ) sin( ) cos sin 2 22 xx x x ′ ⎛ ⎞ ⎛⎞⎛ ⎞ ′′ = + = += + ⎜ ⎟ ⎜⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝⎠⎝ ⎠， 以此类推，由数学归纳法容易证明 ( ) π (sin ) sin 2 n n x x ⎛ ⎞ = + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠。 同理， y x = cos 的 n阶导数为 ( ) π (cos ) cos 2 n n x x ⎛ ⎞ = + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠
例4.5.3求幂函数y=xm(m是正整数)的n阶导函数。 解由幂函数的导函数形式,有 nx (x")"=m(m-1)(m-2)xn3 因此它的n阶导函数的一般形式为 (x")(m)=/m1(m m-n …(m-n+1)x ,n≤m2 n>m 特别地 x
例 4.5.3 求幂函数 y x m = （m是正整数）的n阶导函数。 解 由幂函数的导函数形式，有 ( ) x mx m m ′ = −1， () ( ) x mm x m m ′′ = − − 1 2 ， ( ) ( )( ) x mm m x m m ′′′ =−− − 1 2 3， …… 因此它的n阶导函数的一般形式为 ⎩⎨⎧ > +−− ≤ = − ,0 ,,,)1()1( )( )( mn mnxnmmm x nm nm " 特别地 () ! ( ) x m m m =
例4.5.4求y=hnx的的n阶导函数。 解因为 nx 于是 (lnx)"=(x) nx )=2x (n x) (2 x x 以此类推就可以导出它的一般规律 (n) 1)·(n-2)……3·2 (n-1)! (-1) n-1 附带地还得到 =(nx (n+l) n x
例 4.5.4 求 y x = ln 的的n阶导函数。 解 因为 (ln ) x x ′ = = x − 1 1 ， 于是 (ln ) ( ) xx x ′′ = ′ = − − − 1 2， (ln ) ( ) xxx ′′′ = − ′ = − − 2 3 2 ， (ln ) ( ) ( ) xx x 43 4 = 2 32 ′ =− ⋅ − − ， …… 以此类推就可以导出它的一般规律 (ln ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )! ( ) x nn x n x n n n n n =− − ⋅ − ⋅ ⋅⋅ = − − − − − 1 1 2 32 1 1 1 1 " 。 附带地还得到 1 )1( )( ! )1()(ln 1 + + ⎟ = −= ⎠⎞ ⎜⎝⎛ n n n n xn x x
高阶导数的运算法则 定理4.5.1设f(x)和g(x)都是n次可导的,则对任意常数c1和 C2,它们的线性组合cf(x)+c2g(x)也是n次可导的,且满足如下的线 性运算关系 [c1f(x)+c28(x)(=c1f"(x)+c2g"(x)。 这个结论可以推广到多个函数线性组合的情况: ∑c(x=∑/(对
高阶导数的运算法则 定理 4.5.1 设 f x( )和 g x( )都是 n 次可导的,则对任意常数c1 和 c2，它们的线性组合cf x cgx 1 2 () ) + ( 也是n次可导的，且满足如下的线 性运算关系 [ ( ) )] ( ) ) () () ( ) cf x cgx cf x cg x nn n 12 1 2 +( = + ( 。 这个结论可以推广到多个函数线性组合的情况： ∑ ∑ = = = ⎥⎦⎤ ⎢⎣⎡ ni n ii n ni ii xfcxfc 1 )( )( 1 )( )(