第九章数项级数 早在大约公元前450年,古希腊有一位名叫Zeno的学者,曾提 出过若干个在数学发展史上产生过重大影响的悖论,“ achilles(希腊 神话中的英雄)追赶乌龟”即是其中较为著名的一个。 设乌龟在 achilles前面S米处向前爬行, achilles在后面追赶, 当 Achilles化了t秒时间,跑完S1米时,乌龟已向前爬了S2米;当 Achilles再化2秒时间,跑完S2米时,乌龟又向前爬了S3米;…,这 样的过程可以一直继续下去,因此 achilles永远也追不上乌龟
早在大约公元前 450 年，古希腊有一位名叫 Zeno 的学者，曾提 出过若干个在数学发展史上产生过重大影响的悖论，“Achilles（希腊 神话中的英雄）追赶乌龟”即是其中较为著名的一个。 设乌龟在 Achilles 前面S1米处向前爬行，Achilles 在后面追赶， 当 Achilles 化了 1t 秒时间，跑完 S1米时，乌龟已向前爬了 S2 米；当 Achilles 再化 2t 秒时间，跑完S2 米时，乌龟又向前爬了S3米；…，这 样的过程可以一直继续下去，因此 Achilles 永远也追不上乌龟。 第九章 数项级数
显然,这一结论完全有悖于常识,是绝对荒谬的。没有人会怀疑, achilles必将在T秒时间内,跑了S米后追上乌龟(T和S是常数)。 Zeno的诡辩之处就在于把有限的时间T(或距离S)分割成无穷段t, t2,…(或S,S2,…),然后一段一段地加以叙述,从而造成一种 假像:这样“追爬-追-爬”的过程将随时间的流逝而永无止境。事 实上,如果将花掉的时间t,t2,…(或跑过的距离S,S2,…)加 起来,即 t1+t2+…+tn+…(或S+S2+…+Sn+…) 尽管相加的项有无限个,但它们的和却是有限数T(或S)。换言之, 经过时间T秒, achilles跑完S米后,他已经追上乌龟了。 这里的无限个数相加的概念,就是本章要讨论的级数问题
显然，这一结论完全有悖于常识，是绝对荒谬的。没有人会怀疑， Achilles 必将在 T 秒时间内，跑了 S 米后追上乌龟（T 和 S 是常数）。 Zeno 的诡辩之处就在于把有限的时间 T（或距离 S）分割成无穷段 1t ， 2t ，…（或S1，S2 ，…），然后一段一段地加以叙述，从而造成一种 假像：这样“追-爬-追-爬”的过程将随时间的流逝而永无止境。事 实上，如果将花掉的时间 1t ， 2t ，…（或跑过的距离S1，S2 ，…）加 起来，即 t1 + t2 +"+ tn +" （或 S1 + S2 +"+ n S + …）， 尽管相加的项有无限个，但它们的和却是有限数 T（或 S）。换言之， 经过时间 T 秒，Achilles 跑完 S 米后，他已经追上乌龟了。 这里的无限个数相加的概念，就是本章要讨论的级数问题
§1数项级数的收敛性 数项级数 设x,x2,…xn,…是无穷可列个实数,我们称它们的“和” x1+x2+…+x 为无穷数项级数(简称级数),记为∑x,其中x,称为级数的通项或 般项
数项级数 设 1 x ， 2 x ，…, n x ，…是无穷可列个实数，我们称它们的“和” 1 x + 2 x +"+ xn +" 为无穷数项级数(简称级数)，记为∑ ∞ n=1 n x ，其中 n x 称为级数的通项或一 般项。 §1 数项级数的收敛性
为了对上述的级数求和给出合理的定义,为此构作级数∑xn的 n=1 “部分和数列”{Sn}: xI s=x,tx S3=x1+x2+ Sn=x+x2+…+xn=∑
为了对上述的级数求和给出合理的定义，为此构作级数 ∑ ∞ n =1 n x 的 “部分和数列 ” { n S }： S1 = 1 x ， S 2 = 1 x + 2 x ， S3 = 1 x + 2 x + 3 x ， …… n S = 1 x + 2 x + " + n x = ∑= n k k x 1 ， ……
定义9.1.1如果部分和数列{Sn}收敛于有限数S,则称无穷级 数∑x收敛,且称它的和为S,记为 S=∑x 如果部分和数列{Sn}发散,则称无穷级数∑xn发散
定义 9.1.1 如果部分和数列{ Sn }收敛于有限数S ，则称无穷级 数∑ ∞ n=1 n x 收敛，且称它的和为S ，记为 S =∑ ∞ n=1 n x ； 如果部分和数列{ Sn }发散,则称无穷级数∑ ∞ n=1 n x 发散
由上述定义可知,只有当无穷级数收敛时,无穷多个实数的加法 才是有意义的,并且它们的和就是级数的部分和数列的极限。所以 级数的收敛与数列的收敛本质上是一回事。 例9.1.1设qk<1,则几何级数(即等比级数) ∑q"=1+q+q2+…+q"+ 是收敛的。它的部分和数列的通项为 显然
由上述定义可知，只有当无穷级数收敛时，无穷多个实数的加法 才是有意义的，并且它们的和就是级数的部分和数列的极限。所以， 级数的收敛与数列的收敛本质上是一回事。 例 9.1.1 设 q < 1|| ，则几何级数（即等比级数 ） ∑ ∞ = − 1 1 n n q = 1 2 qqq n +++++ "" 是收敛的。它的部分和数列的通项为 S n = q q q n n k k − − ∑ = = − 1 1 1 1 ， 显然， limn→∞ S n = 1 − q 1
现在来回答本章开头提出的 achilles追赶乌龟的问题。 设乌龟的速度n(米/秒)与 achilles的速度n2(米/秒)之比为 ,0<q<1。 Achilles在乌龟后面S(米)处开始追赶乌龟。当 Achilles 跑完S1(米)时,乌龟已向前爬了S2=qS1(米);当 Achilles继续跑 完S2(米)时,乌龟又向前爬了S3=q2S1(米);…当 achilles继续跑 完Sn(米)时,乌龟又向前爬了Sn1=q"S1(米);…显然 Achilles 要追赶上乌龟,必须跑完上述无限段路程S,S2…,Sn…,由于 S1+S2 S (1+q+ 所以当 achilles跑完路程S=S米(即经过了时间7=S秒), (1-q)y2 他已经追上了乌龟
现在来回答本章开头提出的 Achilles 追赶乌龟的问题。 设乌龟的速度 1 v (米／秒 ) 与 Achilles 的速度 2 v （米／秒）之比为 q = 2 1 v v , 0< q<1 。Achilles 在乌龟后面 S（米） 1 处开始追赶乌龟。 当 Achilles 跑完 S1（米）时，乌龟已向前爬了 = qSS 12 （米）；当 Achilles 继续跑 完 S 2（米）时，乌龟又向前爬了 1 2 3 = SqS （米）；",当 Achilles 继续跑 完 S n （米）时，乌龟又向前爬了 1 SqS 1 n n + = （米）；". 显然 Achilles 要追赶上乌龟，必须跑完上述无限段路程 ,,,,, 21 SSS n "" 由于 + 21 + + SSS n +"" = 1( ) 2 1 1 " qqqS n − +++++ " = , 1 1 q S − 所以当 Achilles 跑完路程 S = q S 1 − 1 米（即经过了时间 T = 2 1 )1( vq S − 秒）， 他已经追上了乌龟
例9.1.2级数 ∑(-1) 是发散的。这是因为它的部分和数列的通项为 S≤0,n为偶数, 1,m为奇数, 显然{Sn}是发散的
例 9.1.2 级数 ∑ ∞ = − − 1 1 )1( n n = " )1(111 n−1 +−+−+− " 是发散的。这是因为它的部分和数列的通项为 n S = 0, 1, nn ⎧⎨⎩ 为偶数, 为奇数, 显然{ n S }是发散的
例9.1.2级数 ∑(-1)=1-1+1-…+(-1) 是发散的。这是因为它的部分和数列的通项为 S≤0,n为偶数, 1,m为奇数, 显然{Sn}是发散的。 例9.1.3根据第二章的例24.7,级数 1 1+—+—+…+ (p>0) h11 当p>1时收敛;当0<p≤1时发散到正无穷大。 ∑,称为P级数(p=1时又称∑三为调和级数 n=1
例 9.1.3 根据第二章的例 2.4.7，级数 ∑ ∞ =1 1 n p n = pp " p +++++ " n 1 3 1 2 1 1 ( p >0) 当 p >1 时收敛；当 0< p ≤ 1 时发散到正无穷大。 ∑ ∞ =1 1 n p n 称为 p 级数（ p = 1 时又称∑ ∞ =1 1 n n 为调和级数）。 例 9.1.2 级数 ∑ ∞ = − − 1 1 )1( n n = " )1(111 n−1 +−+−+− " 是发散的。这是因为它的部分和数列的通项为 n S = 0, 1, nn ⎧⎨⎩ 为偶数, 为奇数, 显然{ n S }是发散的
级数的基本性质 定理9.1.1(级数收敛的必要条件)设级数∑xn收敛,则其通 项所构成的数列{xn}是无穷小量,即 m x n→)∞n 证设∑xn=S,则对S,=∑x,成立 lim S=lim s, =s, n→0 于是得到 lim x,=lim(Sn-Sm-=lim Sm,- lim Sn-=0o n→0 n→)0
级数的基本性质 定理 9.1.1（级数收敛的必要条件） 设级数∑ ∞ n=1 n x 收敛，则其通 项所构成的数列{ n x }是无穷小量，即 lim n→∞ xn = 0 。 证 设∑ ∞ n=1 n x = S ，则对Sn =∑ = n k k x 1 ，成立 lim n→∞ Sn = lim n→∞ Sn−1= S ， 于是得到 lim n→∞ xn = lim n→∞ ( Sn - Sn−1 )=lim n→∞ Sn - lim n→∞ Sn−1= 0