§2多元复合函数的求导法则 链式规则 设z=f(x,y)(x,y)∈D,是区域D,cR2上的二元函数,而 D→R (u,v)>(x(u,v).y(l,v) 是区域DcR2上的二元二维向量值函数。如果g的值域g(D)cD 那么可以构造复合函数 2=f°g=f[x(,.y(,y)(u,v)∈D 复合函数有如下求偏导数的法则
链式规则 设 z = f (x, y), (x, y) Df 是区域 Df 2 R 上的二元函数，而 : g g D → 2 R , (u,v) (x(u,v), y(u,v)) 是区域 Dg 2 R 上的二元二维向量值函数。如果 g 的值域 g D( ) g Df ， 那么可以构造复合函数 z = f g = f [x(u, v), y(u, v)], (u, v) Dg 。 复合函数有如下求偏导数的法则。 §2 多元复合函数的求导法则
定理12.2.1(链式规则)设g在(u1,v)∈D点可导,即x=x(,1), y=y(uν)在(u”)点可偏导。记xn=x(un,n),y=(n,n),如果∫在 点可微,那么 (l2V0) a+(x0,%) (60,v)+(x2,y)-(,v) az y (l0,v0)+ 证只证明第一式。由于∫在(xny3)点可微,因此 f(xo+Ax, yo +Ay)-f(xo,yo) (x0,y)Ax+(x0,y0)y+a(△x,△y)y△x2+△y 其中a(Ax,4y)满足mna(Ax,4y)=0。定义a(0,0)=0,那么上式当 (Ax,△y)=(00)时也成立
定理 12.2.1（链式规则） 设 g 在(u0 , v0 ) Dg 点可导，即x = x(u, v)， y = y(u,v) 在 ( , ) 0 0 u v 点可偏导。记 ( , ), ( , ) 0 0 0 0 0 0 x = x u v y = u v ，如 果 f 在 ( , ) 0 0 x y 点可微，那么 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) z z x z y u v x y u v x y u v u x u y u = + ； 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) z z x z y u v x y u v x y u v v x v y v = + 。 证 只证明第一式。由于 f 在( , ) 0 0 x y 点可微，因此 ( , ) ( , ) ( , ) , ( , ) ( , ) 2 2 0 0 0 0 0 0 0 0 x y y x y x y y f x y x x f f x x y y f x y + + + = + + − 其 中 (x,y) 满 足 lim ( , ) 0 ( , ) 0 = → x y x y 。定义(0,0) = 0 ，那么上式当 (x,y) = (0,0)时也成立
ix Ax=x(uo+Au, vo)-x(uo, vo), Ay=y(uo+Au, vo)-y(uo, vo), 由于x=x(u,0),y=y(u,)在(un,n)点可偏导,所以成立 lim (0,v),im lo Vo), 0△ △→>0 并且有mAx2+4y2=0。于是当AMn趋于0时, a(△x,△y)√△x2+△ △x =a(△x,Ay) △ △L 炒39(1的n(x+△M)yn+M0)(x(a,n)y(an 也 于0,所以 △ lim f(xo+Ax, Jo +Ay)-f(xo, yo) △l x0,y0)+(x,y0)-|+mn a(△x,△y) +△ =Im At→0 yo) ou
设 ( , ) ( , ) 0 0 0 0 x = x u + u v − x u v ， ( , ) ( , ) 0 0 0 0 y = y u + u v − y u v ， 由于x = x(u, v)， y = y(u,v) 在( , ) 0 0 u v 点可偏导，所以成立 lim ( , ), lim ( , ) 0 0 0 0 0 0 u v u y u y u v u x u x u u = = → → ， 并且有 lim 0 2 2 0 + = → x y u 。于是当u 趋于 0 时， 2 2 2 2 ( , ) ( , ) + = + u y u x u u x y u x y x y 也趋于 0，所以 u f x u u v y u u v f x u v y u v u v u z u + + − = → ( ( , ), ( , )) ( ( , ), ( , )) ( , ) lim 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 u f x x y y f x y u + + − = → ( , ) ( , ) lim 0 0 0 0 0 u x y x y u y x y y f u x x y x f u u + + + = → → 2 2 0 0 0 0 0 0 ( , ) lim ( , ) ( , ) lim 0 0 0 0 0 0 0 0 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) f x f y x y u v x y u v x u y u = +
注意,定理条件“∫可微”不能减弱为“∫可偏导” 例12.2.1从上节已经知道, 2x z=f(x,y)=x2+y x2+y2≠0, 0 x2+y2=0 在(00)点可偏导,且f(0)=f,(00)=0,但它在(00)点不可微。 现在设x,y分别是自变量t的函数 y=t, 直接代入就知这个复合函数实质上是z=t,因此在t=0点的导数为 d d t 但若贸然套用链式规则,就会导出 dz ∥<0)=n(2)21+f、(txN J2(0.0)·2.0+f,(00)1]=0 的错误结果
注意，定理条件“ f 可微”不能减弱为“ f 可偏导”。 例 12.2.1 从上节已经知道， + = + = = + 0, 0 , 0, 2 ( , ) 2 2 2 2 2 4 3 x y x y x y x y z f x y 在(0,0) 点可偏导，且 f x (0,0) = f y (0,0) = 0 ，但它在(0,0) 点不可微。 现在设 x, y分别是自变量 t 的函数 = = , , 2 y t x t 直接代入就知这个复合函数实质上是 z = t ，因此在t = 0点的导数为 (0) 1 d d = t z 。 但若贸然套用链式规则，就会导出 0 2 2 (0) [ ( , ) 2 ( , ) 1] d d = = + t x y f t t t f t t t z = [ f x (0,0) 2 0 + f y (0,0)1] = 0 的错误结果
下面不加证明地把链式规则推至一般情况 设 f(v1,y2…,ymn),(y1,y )∈D 为区域D,cR"上的m元函数。又设 g R X1.x xn)>(y,y2,…,yn) 为区域D2cR"上的n元m维向量值函数。如果g的值域g(D)cD, 那么可以构造复合函数 z=fog=y(x12x2,…,xn)y2(x1,x2…xn)…,yn(x1,x2…,xn)
下面不加证明地把链式规则推至一般情况。 设 z = f (y1 , y2 , , ym ), (y1 , y2 , , ym ) Df 为区域Df m R 上的m元函数。又设 : g g D → m R ， ( , , , ) ( , , , ) 1 2 n 1 2 m x x x y y y 为区域 Dg n R 上的n元m维向量值函数。如果 g 的值域 g D( ) g Df ， 那么可以构造复合函数 z = f g = [ ( , , , ), ( , , , ), , ( , , , )] 1 1 2 n 2 1 2 n m 1 2 n f y x x x y x x x y x x x , 1 2 ( , , , ) n x x x Dg
定理12.22(链式规则)设g在x∈D点可导,即y,y2…,yn在 °点可偏导,且f在y0=g(x9)点可微,则 (y9)1(x)+(y9)02( az x)+… ay 上式可以用矩阵表示为 ay, ay ax Ox ax ay2 ay2 Oy az az az ax. ax ax ax. a y=y ay ax. ax X=x 或用向量值函数的导数记号表为 (f°g)(x0)=f(y)g(x0)
定理 12.2.2（链式规则） 设 g 在 0 x Dg 点可导，即 m y , y , , y 1 2 在 0 x 点可偏导，且 f 在 ( ) 0 0 y = g x 点可微，则 ( ) 0 x i x z ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 2 0 0 0 2 0 1 0 1 y x y x y x i m i i m x y y z x y y z x y y z + + + = ， i = 1,2, , n。 上式可以用矩阵表示为 0 , , , 1 2 n x x x z x z x z = 0 0 1 2 2 2 2 1 2 1 2 1 1 1 1 2 , , , n x x m m m n n m y y x y x y x y x y x y x y x y x y x y y z y z y z = = = ， 或用向量值函数的导数记号表为 ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 g x0 f g x = f y
例122.2设z= arctan((xy),y=e,求 d z 解由链式规则 dz az d x az d y e(1+x) dx axdx odx 1+x y 1+x2 1+xe 于是 d dx x=0
例 12.2.2 设 z = arctan( xy), x y = e ，求 d 0 d x= x z 。 解 由链式规则 2 2 2 2 2 2 d d d e (1 ) 1 e d d d 1 1 1 e x x x z z x z y y x x x x x y x x y x y x + = + = + = + + + 。 于是 1 d d 0 = x= x z
例1223设==x,而x=n-2,y=2+1y,计算2,。 解 az az Ox az ay 2x x 2 Ou Ox au ay ou y 2(u-2v)2(l4-2v)22(u-2v)+3v) 2u+y(2+v)2 (2+) az a ax az ay 2x 4(l-2v)(al-2)2(2v-)(9+2v) 2+(2a+v) (2+y)
例 12.2.3 设 y x z 2 = ，而x = u − 2v, y = 2u + v ，计算 v z u z , 。 解 2 2 2 1 2 z z x z y x x u x u y u y y = + = + − 2 2 2 2( 2 ) 2( 2 ) 2( 2 )( 3 ) 2 (2 ) (2 ) u v u v u v u v u v u v u v − − − + = − = + + + 。 2 2 2 ( 2) 1 z z x z y x x v x v y v y y = + = − + − 2 2 2 4( 2 ) ( 2 ) (2 )(9 2 ) 2 (2 ) (2 ) u v u v v u u v u v u v u v − − − + = − − = + + +
例122.4设==(2x+y)2,计算 解设u=2x+y,v=x+2y,则 于是 azaz au az a vu 2 +u nu ax au a 2(x+2y)(2x+y)+4-+(2x+y)+yln(2x+y) (2x+y) 2(x+2y) +n(2x+y) 2x+y az az au az au @…-.1+u"hu.2 =(x+2y)(2x+y)x+2y-+2(2x+y)x2yhn(2x+y) =(2x+y)2/(x+2y) +2ln(2x+y)。 2x+y
例 12.2.4 设 x y z x y 2 (2 ) + = + ，计算 y z x z , 。 解 设u = 2x + y, v = x + 2y，则 v z = u 。于是 1 2 ln 1 z z u z v v v vu u u x u x v x − = + = + 2 1 2 2 2( 2 )(2 ) (2 ) ln(2 ) 2( 2 ) (2 ) ln(2 ) 2 x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y + − + + = + + + + + + = + + + + 。 1 ln 2 1 = + + = − v u u u y v v z y u u z y z v v ( 2 )(2 ) 2(2 ) ln( 2 ) 2 1 2 x y x y x y x y x y x y = + + + + + + − + 2 ( 2 ) (2 ) 2ln(2 ) 2 x y x y x y x y x y + + = + + + +
例12.2.5设w=f(x2+y2+x2,xyz),f具有二阶连续偏导数,计 算 ow a1 ax azax 解将W=f(x2+y2+2,xyz)看成复合函数 =x2+y2+z2 v=f(,v)2 v=xyz. 显然 2x ax 由链式规则, aw 2x-+ ax au ax
例 12.2.5 设 ( , ) 2 2 2 w = f x + y + z xyz ， f 具有二阶连续偏导数，计 算 z x w x w 2 , 。 解 将 ( , ) 2 2 2 w = f x + y + z xyz 看成复合函数 = = + + = . , ( , ), 2 2 2 v xyz u x y z w f u v 显然 yz x v x x u = = 2 , 。 由链式规则， v w yz u w x x v v w x u u w x w + = + = 2