第十五章含参变量积分 §1含参变量的常义积分 含参变量常义积分的定义 设f(x,y)是定义在闭矩形[a,b×c,4上的连续函数,对于任意固 定的y∈e,d],f(x,y)是[a,b上关于x的一元连续函数,因此它在[a,b 上的积分存在,且积分值∫f(x,y)d由y唯一确定。也就是说, (y)=(xy,y∈ll 确定了一个关于y的一元函数。由于式中的y可以看成一个参变量, 所以称它为含参变量y的积分。同理可定义含参变量x的积分 八(x)=f(x,y)d,x∈ab。它们统称含参变量常义积分,一般就称 为含参变量积分
含参变量常义积分的定义 设 f (x, y)是定义在闭矩形[a,b][c,d]上的连续函数，对于任意固 定的 y [c, d]， f (x, y)是[a,b]上关于x的一元连续函数，因此它在[a,b] 上的积分存在，且积分值 ( , )d b a f x y x 由 y 唯一确定。也就是说， ( ) ( , )d , [ , ] b a I y f x y x y c d = 确定了一个关于 y 的一元函数。由于式中的 y 可以看成一个参变量， 所以称它为含参变量 y 的积分。同理可定义含参变量 x 的积分 ( ) ( , )d d c J x f x y y = ， x [a,b]。它们统称含参变量常义积分，一般就称 为含参变量积分。 第十五章 含参变量积分 §1 含参变量的常义积分
例如计算椭圆x+),=1(b>a>0)的周长时,利用椭圆的参数方程 x= a cos t,y=bsnt,记L为椭圆在第一象限的部分,则所求周长的四 分之一为 a sin+b2 cos tdt af sin t+6(1-sin *)dt 62Sin tdt=b VI-k sin tdt L 这里k=6a。[-ksmd就是含参变量k b 的积分,称为第二类完全椭圆积分。遗憾的是, 被积函数√1-k2sim2t的原函数不能用初等函数 表示。因此计算这个积分,通常只能采用数值计 算的方法。 图151.1
例如计算椭圆 1( 0) 2 2 2 2 + = b a b y a x 的周长时，利用椭圆的参数方程 x = a cost, y = bsin t ，记 L 为椭圆在第一象限的部分，则所求周长的四 分之一为 π π 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 0 π 2 2 π 2 2 2 2 2 2 0 0 d sin cos d sin (1 sin )d 1 sin d 1 sin d , s a t b t t a t b t t b a b t t b k t t b = + = + − − = − = − L 这里 b b a k 2 2 − = 。 2 2 2 0 1 sin d k t t − 就是含参变量k 的积分，称为第二类完全椭圆积分。遗憾的是， 被积函数 k t 2 2 1− sin 的原函数不能用初等函数 表示。因此计算这个积分，通常只能采用数值计 算的方法。 L x z O 图15.1.1
含参变量常义积分的分析性质 定理15.1.1(连续性定理)设f(x,y)在闭矩形D=[ab×[c,d上连 续,则函数 I()= f(x, y)dx 在[c,d]上连续
含参变量常义积分的分析性质 定理 15.1.1（连续性定理）设 f (x, y)在闭矩形D = [a,b][c,d]上连 续，则函数 ( ) ( , )d b a I y f x y x = 在[c,d]上连续
含参变量常义积分的分析性质 定理15.1.1(连续性定理)设f(x,y)在闭矩形D=[a,b×e,d上连 续,则函数 I()= f(x, y)dx 在[c,d]上连续。 证因为f(x,y)在闭矩形D上连续,所以一致连续。因此对于任意 给定的E>0,存在δ>0,使得对于任意两点(x1,y1)(x2,y2)∈D,当 V(x1-x2)2+(n1-y2)2<δ时,成立 f(x1,y1)-f(x2,y2)k 对任意定点yo∈[c,d,只要|y-ykδ,就有 1()-/()=(x,y)-f(x, f(x, y)-f(x, yo) dx <(6 a8 这说明1(y)在[c,d上连续
证 因为 f (x, y) 在闭矩形 D 上连续，所以一致连续。因此对于任意 给定的 0，存在 0 ，使得对于任意两点 ( , ), 1 1 x y (x2 , y2 ) D ，当 − + − 2 1 2 2 1 2 (x x ) ( y y ) 时，成立 | ( , ) − ( , )| 1 1 2 2 f x y f x y 。 对任意定点 [ , ] y0 c d ，只要| y − y0 | ，就有 0 0 0 | ( ) ( ) | [ ( , ) ( , )]d | ( , ) ( , ) | d ( ) . b a b a I y I y f x y f x y x f x y f x y x b a − = − − − 这说明 I( y) 在 [c,d] 上连续。 含参变量常义积分的分析性质 定理 15.1.1（连续性定理）设 f (x, y)在闭矩形D = [a,b][c,d]上连 续，则函数 ( ) ( , )d b a I y f x y x = 在[c,d]上连续
由这个结论可知 lim f(x, y)dx= lim f(x, y)dx, yo E[c, d y→少yJa 即极限运算与积分号可以交换
由这个结论可知 0 0 lim ( , )d lim ( , )d b b y y y y a a f x y x f x y x → → = ， [ , ] y0 c d 。 即极限运算与积分号可以交换
由这个结论可知 lim f(x, y)dx= lim f(x, y)dx, yo E[c, d y→少yJa 即极限运算与积分号可以交换 例15.1.1求1im dx a→001+x2 cos ax 解由于函数 f(, a) 1+x cos ax 在闭矩形[0, 上连续,因此由定理15.1 dx T lim lim a-90Jo1+x cos ax Joa-01+x cos ax Jo1+x
例 15.1.1 求 1 2 0 0 d lim 1 cos x → + x x 。 解 由于函数 x x f x 1 cos 1 ( , ) 2 + = 在闭矩形 − 2 1 , 2 1 [0, 1] 上连续，因此由定理 15.1.1， 1 1 1 2 2 2 0 0 0 0 0 d d 1 π lim lim d 1 cos 1 cos 1 4 x x x → → x x x x x = = = + + + 。 由这个结论可知 0 0 lim ( , )d lim ( , )d b b y y y y a a f x y x f x y x → → = ， [ , ] y0 c d 。 即极限运算与积分号可以交换
定理15.1.2(积分次序交换定理)设f(x,y)在闭矩形a,b×e,d] 上连续,则 ∫d∫f(x,y)dx=Jd∫f(x,y) 证由于f(x,y)在[ab×[c,d上连续,因此由二重积分的计算公式 可知 d dyl f(x, y)dx= f(r,y)dxdy= dx f(x, y)dy [a,b]×c,d]
定理 15.1.2（积分次序交换定理） 设 f (x, y) 在闭矩形 [a,b][c,d] 上连续，则 d ( , )d d ( , )d d b b d c a a c y f x y x x f x y y = 。 证 由于 f (x, y)在[a,b][c,d]上连续，因此由二重积分的计算公式 可知 [ , ] [ , ] d ( , )d ( , )d d d ( , )d d b b d c a a c a b c d y f x y x f x y x y x f x y y = =
例1512计算/=ndx,其中b>a>0 解由于 xd 26 nx 因此 0 xdy° 由于f(x,y)=x在闭矩形0×xab上连续,所以积分次序可以交换, 即 1+b x x ax dy=In 0 a1+y 1+a
例 15.1.2 计算 1 0 d ln b a x x I x x − = ，其中 b a 0。 解 由于 d ln b a b y a x x x y x − = ， 因此 1 0 d d b y a I x x y = 。 由于 y f (x, y) = x 在闭矩形[0,1][a,b]上连续，所以积分次序可以交换， 即 1 1 0 0 1 1 d d d d d ln 1 1 b b b y y a a a b I x x y y x x y y a + = = = = + +
定理15.1.3(积分号下求导定理)设f(x,y),f,(x,y)都在闭矩形 ab]×[c,d上连续,则1(y)在e,d上可导,并且在[c,d上成立 d f,(x, y)dx 证对任意y∈[e,d],当y+Δy∈[c,d时,利用微分中值定理 I(y+Ay)-1(y) rbf(x,y+Ay)-f(x, y) △ sydx=l/, (x, y+ 4y)dx(00Ja ∫mf(xy+yx(xy
定理 15.1.3（积分号下求导定理） 设 f (x, y), f (x, y) y 都在闭矩形 [a,b][c,d]上连续，则I( y)在[c,d]上可导，并且在[c,d]上成立 d ( ) ( , )d d b y a I y f x y x y = 。 证 对任意 y [c, d]，当 y + y [c, d]时，利用微分中值定理， ( ) ( ) ( , ) ( , ) d ( , )d b b y a a I y y I y f x y y f x y x f x y y x y y + − + − = = + ( 0 1)。 由定理 15.1.1，即有 0 0 0 d ( ) ( ) ( ) lim lim ( , )d d lim ( , )d ( , )d . b y y y a b b y y a a y I y I y y I y f x y y x y y f x y y x f x y x → → → + − = = + = + =
定理15.1.3(积分号下求导定理)设f(x,y),f,(x,y)都在闭矩形 ab]×[c,d上连续,则1(y)在e,d上可导,并且在[c,d上成立 d f,(x, y)dx 证对任意y∈[e,d],当y+Δy∈[c,d时,利用微分中值定理 I(y+Ay)-1(y) rbf(x,y+Ay)-f(x, y) △ sydx=l/, (x, y+ 4y)dx(00Ja ∫mf(xy+yx(xy 这个定理的结论也可写为 ∫f(x,ydx=丁。(x,y) 这说明求导运算与积分号可以交换
这个定理的结论也可写为 d ( , )d ( , )d d b b a a f x y x f x y x y y = 。 这说明求导运算与积分号可以交换。 定理 15.1.3（积分号下求导定理） 设 f (x, y), f (x, y) y 都在闭矩形 [a,b][c,d]上连续，则I( y)在[c,d]上可导，并且在[c,d]上成立 d ( ) ( , )d d b y a I y f x y x y = 。 证 对任意 y [c, d]，当 y + y [c, d]时，利用微分中值定理， ( ) ( ) ( , ) ( , ) d ( , )d b b y a a I y y I y f x y y f x y x f x y y x y y + − + − = = + ( 0 1)。 由定理 15.1.1，即有 0 0 0 d ( ) ( ) ( ) lim lim ( , )d d lim ( , )d ( , )d . b y y y a b b y y a a y I y I y y I y f x y y x y y f x y y x f x y x → → → + − = = + = + =
