§4复合函数求导法则及其应用 复合函数求导法则 定理4.4.1(复合函数求导法则)设函数u=g(x)在x=x0可导, 函数y=f()在u==g(x)处可导,则复合函数y=f(g(x)在x=x0可 导,且有 If(g(xD=f(uo)g(o)=f (g(o))g(xo) 证因为y=f(l)在处可导,所以可微。由可微的定义,对任 意一个充分小的△≠0,都有 (4+△a)-f(4)=f(b)△a+ 其中lma=0。 因为当△u=0时Δy=0,不妨规定当M=0时a=0,因此上式对 △=0也成立
复合函数求导法则 定理4.4.1 (复合函数求导法则) 设函数u = g(x)在 x = x0 可导， 函数 y = f (u)在u = u = g x 0 0 ( )处可导,则复合函数 y = f (g(x)) 在 x = x0 可 导，且有 [ f (g x))] f (u )g x ) x x ( = ( = 0 0 0 = f (g(x ))g(x ) 0 0 。 证 因为 y = f (u)在u0 处可导，所以可微。由可微的定义，对任 意一个充分小的u 0，都有 0 0 0 f u u f u f u u u ( ) ( ) ( ) + − = + ， 其中 0 lim u→ = 0。 因为当u = 0时y = 0，不妨规定当u = 0时 = 0，因此上式对 u = 0也成立。 §4 复合函数求导法则及其应用
设M=g(x0+Ax)-g(x0)(Ax≠0),在上式两边同时除以Ax,则有 f(g(x0+△x)-f(g(x0) △ △L f(a6)-+ △x △l 由函数n=8x)在x=x可导,即有4=8(x),且此式也蕴含 了lim△=0。注意到在△x→0的过程中,或者有Δ=0,这时有a=0; Ax→0 或者有M≠0,但△趋于0,因此由lima=0,可知lima=0 Ax→0 于是令Ax→>0,得到 lim /(g(o+ Ax))-/(g(xo △x △ △Ll =flu lim+lim a lim =f(l0)g(x) △x→0△xAx→0△x→>0△ 证毕
设 = ( ) ( ) 0 0 u g x + x − g x ( 0) x ，在上式两边同时除以x ，则有 0 0 0 ( ( )) ( ( )) ( ) f g x x f g x u u f u x x x + − = + 。 由函数u = g(x)在 x = x0可导，即有 0 0 lim ( ) x u g x → x = ，且此式也蕴含 了 0 lim 0 x u → = 。注意到在x → 0的过程中，或者有u = 0，这时有 = 0； 或者有 u 0，但u 趋于0，因此由 0 lim 0 u → = ，可知 0 lim 0 x → = 。 于是令x → 0，得到 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ( ( )) ( ( )) lim ( ) lim lim lim ( ) ( ) x x x x y f g x x f g x x x u u f u f u g x x x → → → → + − = = + = d d 。 证毕
复合函数的求导规则可以写成(称为链式法则) dy dy du dx du dx 复合函数的微分公式可以写成 dlf(g(x))]=f(u)g(x)dx
复合函数的求导规则可以写成（称为链式法则） d d d d d d y y u x u x = 。 复合函数的微分公式可以写成 d[ ( ))] ( ) )d f g x f u g x x ( = (
例4.4.1求幂函数y=x2(x>0)的导函数。 解把y=x°=e看成是由 e u=alex 复合而成的函数,则由链式法则 )′=(e).(alnx)’=(e u=a Inx
例4.4.1 求幂函数 ( 0) a y x x = 的导函数。 解 把 y x a a x = = e ln 看成是由 y u a x u = = e , ln 复合而成的函数，则由链式法则 (x ) a = (e ) ( ln ) u a x x a x x a a u a x u = = = ln (e ) = − ax a 1
例4.4.1求幂函数y=x2(x>0)的导函数。 解把y=x°=e看成是由 e u=alex 复合而成的函数,则由链式法则 )′=(e).(alnx)’=(e u=a Inx 例4.4.2求y=ex的导函数。 解把y=e看成是由 u=cOS x 复合而成的函数,则由链式法则 (e osx )=(e").(cos x)'=(e") (sin x) SInx o u=cOSx
例4.4.2 求 y x = e cos 的导函数。 解 把 y x = e cos 看成是由 = = u x y u cos e , 复合而成的函数，则由链式法则 cos cos cos (e ) (e ) (cos ) (e ) ( sin ) e sin x u u x u x y x x x = = = = − = − 。 例4.4.1 求幂函数 ( 0) a y x x = 的导函数。 解 把 y x a a x = = e ln 看成是由 y u a x u = = e , ln 复合而成的函数，则由链式法则 (x ) a = (e ) ( ln ) u a x x a x x a a u a x u = = = ln (e ) = − ax a 1
注(1)读者在运算熟练之后,就可以默记u后直接求导,而不 必写出u关于x的表达式,如 (1+x2) 2√1+ √1+x
注（1）读者在运算熟练之后，就可以默记 u 后直接求导，而不 必写出u 关于x 的表达式，如 ( 1 ) ( ) 1 2 1 1 1 2 2 2 2 + = + + = + x x x x x
注(1)读者在运算熟练之后,就可以默记u后直接求导,而不 必写出u关于x的表达式,如 (1+x2) 2√1+ √1+x (2)链式法则可以推广到多重复合函数的情况: (f(f2(f3(…f(x)…) dfi df, df- df df d 例443求函数y=e的导函数。 解把y=y(x)=ex看成是由 y=f(u=e", u=g(v=vv, v=h(x)=1+cos x, 复合而成的函数y(x)=f(g(M(x)),运用上面的公式, dy df dg dh dx du dy dx SInx GSin x) t COSx
（2）链式法则可以推广到多重复合函数的情况： x f f f f f f f f f f f x x n n n n d d d d d d d d d d = −1 3 2 2 1 1 2 3 ( ( ( ( ( )))) 。 例4.4.3 求函数 y x = + e 1 cos 的导函数。 解 把 y y x x = = + ( ) e 1 cos 看成是由 ( ) e , ( ) , ( ) 1 cos , u y f u u g v v v h x x = = = = = = + 复合而成的函数 y(x) = f (g(h(x))) ，运用上面的公式， 1 cos 1 e sin e ( sin ) . 2 2 1 cos x u y f g h x u v x x x v x + = = − = − + d d d d d d d d 注（1）读者在运算熟练之后，就可以默记 u 后直接求导，而不 必写出u 关于x 的表达式，如 ( 1 ) ( ) 1 2 1 1 1 2 2 2 2 + = + + = + x x x x x
(3)形如 f(x)=ux 的函数称为幂指函数,对于幂指函数的求导,常采用对数求导法: 对等式两边取对数, In f(x)=v(x)Inu(x), 在等式两边分别对x求导,得到 f(lr)v(r)Inu(x)+vr)() f∫(x) u(x) 所以 y'=f(x)=f(x)v(x)Inu(x)+v(x) u(x) v(x) v(xInu(x+v(x a(x
（3）形如 y f x u x v x = ( ) = ( ) ( ) 的函数称为幂指函数，对于幂指函数的求导，常采用对数求导法： 对等式两边取对数，ln ( ) ( )ln ( ) f x v x u x = ， 在等式两边分别对 x求导，得到 '( ) ( ) ( )ln ( ) ( ) ( ) ( ) f x u x v x u x v x f x u x = + ， 所以 ( ) '( ) ( ) ( )ln ( ) ( ) ( ) u x y f x f x v x u x v x u x = = + ( ) ( ) ( ) ( )ln ( ) ( ) ( ) v x u x u x v x u x v x u x = +
例4.4.4求函数y=(sinx)的导函数 解对等式两边取对数, In y= cos x In sin x 在等式两边分别对x求导,得到 (sin x) (n y)=(cos x)'Insin x +cosx SInx OSx -sinx Insin x+ cos x SIn x 所以 y=(sin x)cos Cos x sin x in sin x|。 sIn x
例4.4.4 求函数 y x x = (sin ) cos 的导函数。 解 对等式两边取对数， ln y = cos x ln sin x ， 在等式两边分别对 x求导，得到 (ln ) (cos ) ln sin cos (sin ) sin y x x x x x = + ， 即 = − + y y x x x x x sin ln sin cos cos sin ， 所以 = − x x x x y x x sin ln sin sin cos (sin ) 2 cos
(4)求导和求微分的运算规则(包括函数的四则运算、反函数、复合 函数的求导和求微分公式)列表如下 导数运算法则微分运算法则 线性组合(c+C28y=C八"+cgdc/+cg)=c+c 乘法」(/·8)=g+/g d(f·g)=gdf+fdg gdf -fdg 除法 ∫g-fg g (g 反函数[f(y)y= dx =If(rdy f'(x) f(x) 复合函数/(8()y=/(a0g()d/(g(m-ag(ks 由于初等函数是由基本初等函数经过有限次四则运算和复合运 算的产物,有了基本初等函数的导函数表,再加上这张表,初等函 数的求导和求微分问题已经得到解决
⑷ 求导和求微分的运算规则（包括函数的四则运算、反函数、复合 函数的求导和求微分公式）列表如下： 导数运算法则 微分运算法则 线性组合 (c1 f + c2 g) = c1 f + c2 g d(c1 f +c2 g) = c1 df +c2 dg 乘 法 ( f g) = f g + f g d( f g) = gdf + fdg 除 法 2 g f g f g g f − = 2 f g f f g g g − = d d d 反 函 数 [ ( )] ( ) f y f x − = 1 1 f y y f x y x d d d [ ( )] ( ) 1 = = − 复合函数 [ f (g(x))] = f (u)g(x) d[ ( ))] ( ) )d f g x f u g x x ( = ( 由于初等函数是由基本初等函数经过有限次四则运算和复合运 算的产物，有了基本初等函数的导函数表，再加上这张表，初等函 数的求导和求微分问题已经得到解决
