§4任意项级数 任意项级数 个级数,如果只有有限个负项或有限个正项,都可以用正项级 数的各种判别法来判断它的收敛性。如果一个级数既有无限个正项, 又有无限个负项,那么正项级数的各种判别法不再适用 这样的级数,即通项任意地可正或可负的级数,称为任意项级数
任意项级数 一个级数，如果只有有限个负项或有限个正项，都可以用正项级 数的各种判别法来判断它的收敛性。如果一个级数既有无限个正项， 又有无限个负项，那么正项级数的各种判别法不再适用。 这样的级数，即通项任意地可正或可负的级数，称为任意项级数。 §4 任意项级数
定理94.1(级数的 Cauchy收敛原理)级数∑xn收敛的充分 必要条件是:对任意给定的>0,存在正整数N,使得 xn+1+xn+2+ x x2|n>N成立。 定理结论还可以叙述为:对任意给定的>0,存在正整数N,使 得 lxm+x2+…+xm1= XmkN与一切正整数p成立
定理 9.4.1（级数的 Cauchy 收敛原理） 级数 n=1 n x 收敛的充分 必要条件是：对任意给定的 0，存在正整数 N，使得 ｜xn+1 + xn+2 + … + xm｜= = + m k n k x 1 对一切 m n N 成立。 定理结论还可以叙述为：对任意给定的 0，存在正整数 N，使 得 ｜xn+1+ xn+2 + … + xn+p｜= = + p k n k x 1 对一切 n N 与一切正整数 p 成立
定理94.1(级数的 Cauchy收敛原理)级数∑xn收敛的充分 必要条件是:对任意给定的>0,存在正整数N,使得 xn+1+xn+2+ x x2|n>N成立。 定理结论还可以叙述为:对任意给定的>0,存在正整数N,使 得 lxm+x2+…+xm1= k=1 对一切n>N与一切正整数p成立。 取p=1,上式即为|xn+1|<E,于是就得到级数收敛的必要条 件 limx=0
取 p = 1，上式即为｜xn+1｜ ，于是就得到级数收敛的必要条 件lim n→ xn = 0。 定理 9.4.1（级数的 Cauchy 收敛原理） 级数 n=1 n x 收敛的充分 必要条件是：对任意给定的 0，存在正整数 N，使得 ｜xn+1 + xn+2 + … + xm｜= = + m k n k x 1 对一切 m n N 成立。 定理结论还可以叙述为：对任意给定的 0，存在正整数 N，使 得 ｜xn+1+ xn+2 + … + xn+p｜= = + p k n k x 1 对一切 n N 与一切正整数 p 成立
Leibniz级数 定义941如果级数∑x1=∑(-1)n(l>0),则称此级数为 交错级数。 进一步,若级数∑(-1yun(lm>0)满足{硎}单调减少且收敛 于0,则称这样的交错级数为 Leibniz级数
Leibniz 级数 定义 9.4.1 如果级数 n=1 n x = = + − 1 1 ( 1) n n n u （un 0），则称此级数为 交错级数。 进一步，若级数 = + − 1 1 ( 1) n n n u （un 0）满足｛un｝单调减少且收敛 于 0，则称这样的交错级数为 Leibniz 级数
Leibniz级数 定义941如果级数∑x1=∑(-1)n(l>0),则称此级数为 交错级数。 进一步,若级数∑(-1yun(lm>0)满足{硎}单调减少且收敛 于0,则称这样的交错级数为 Leibniz级数。 定理94,2( Leibniz判别法) Leibniz级数必定收敛 证首先有 xn+1+xn+2+……+xnp Ln+1-ln+2+1n+3 当p是奇数时, Lt+1-n+2+n+3 un ln+2)+(l n+3 n+4 ∴ P ln+n)≤ln
定理 9.4.2（Leibniz 判别法） Leibniz 级数必定收敛。 证 首先有 ｜xn+1 + xn+2 + … + xn+p｜ = ｜un+1 - un+2 +un+3 - … + (- 1)p+1 un+p｜。 当 p 是奇数时， un+1 - un+2 +un+3 - … + (- 1)p+1 un+p = − − − − − − + − + + + + + + − + + + + + + + ( ) ( ) ; ( ) ( ) 0, 1 2 3 1 1 1 2 3 4 n n n n p n p n n n n n n p u u u u u u u u u u u Leibniz 级数 定义 9.4.1 如果级数 n=1 n x = = + − 1 1 ( 1) n n n u （un 0），则称此级数为 交错级数。 进一步，若级数 = + − 1 1 ( 1) n n n u （un 0）满足｛un｝单调减少且收敛 于 0，则称这样的交错级数为 Leibniz 级数
当p是偶数时, lm+1-m+2+ln+3-…+(-1ymp )+(u )+…+(u n+1 因而成立 xn+1+xn+2+…+xn+p P 0,存在正整数N,使得对一切 n→0 n>N, 于是,对一切正整数p成立 1xn+1+xn+2+ x ntp ≤ln+1<E 根据定理94.1, Leibniz级数∑(-1)"lun收敛
当 p 是偶数时， un+1 - un+2 +un+3 - … + (- 1)p+1 un+p = − − − − − + − + + − + + + + + + + + + + − + ( ) , ( ) ( ) ( ) 0, 1 2 3 1 1 2 3 4 1 n n n n p n n n n n n p n p u u u u u u u u u u u 因而成立 ｜xn+1 + xn+2 ++xn+p｜ =｜un+1 - un+2 + un+3 −+ (-1)p+1 un+p｜ un+1 。 由lim n→ un = 0，对于任意给定的 0，存在正整数 N，使得对一切 n N， un+1 ， 于是，对一切正整数 p 成立 ｜xn+1 + xn+2 + … + xn+p｜ un+1 ， 根据定理 9.4.1，Leibniz 级数 = + − 1 1 ( 1) n n n u 收敛
注由定理942的证明,可以进一步得到下述结论: (1)对于 Leibniz级数∑(-1)un,成立 0≤∑(-1)lnsl (2)对于 Leibniz级数的余和mn=∑(-1),成立 k=n+1 rn|≤l
注 由定理 9.4.2 的证明，可以进一步得到下述结论： (1) 对于 Leibniz 级数 = + − 1 1 ( 1) n n n u ，成立 0 = + − 1 1 ( 1) n n n u u1; (2) 对于 Leibniz 级数的余和 rn = = + + − 1 1 ( 1) k n k k u ，成立 ｜rn｜ un+1
注由定理942的证明,可以进一步得到下述结论: (1)对于 Leibniz级数∑(-1)un,成立 0≤∑(-1)lnsl (2)对于 Leibniz级数的余和mn=∑(-1),成立 k=n+1 rn|≤l n+1 由于∑ 0),∑(q>0),∑(-1) ∑( n+1 D> n=2 等级数都是 Leibniz级数,由定理942可知它们都是收敛的
由于 = + − 1 1 ( 1) n p n n （p 0）， = − 2 ln ( 1) n q n n （q 0）， = − 2 ln ( 1) n n n n , = + + − 1 3 2 1 1 ( 1) n n n n 等级数都是 Leibniz 级数，由定理 9.4.2 可知它们都是收敛的。 注 由定理 9.4.2 的证明，可以进一步得到下述结论： (1) 对于 Leibniz 级数 = + − 1 1 ( 1) n n n u ，成立 0 = + − 1 1 ( 1) n n n u u1; (2) 对于 Leibniz 级数的余和 rn = = + + − 1 1 ( 1) k n k k u ，成立 ｜rn｜ un+1
例941级数∑sn(+1x收敛。 证易知 snn-+1兀 d)=(-1yx(G+l-)x=(-y Sin +1 显然sin死是单调减少数列,且 n-+1+n T lim sin 0 √n+1+n 所以∑n(7+1l)是 Leibniz级数。由定理942可知它是收敛的
例 9.4.1 级数 ( ) 2 1 sin 1 π n n = + 收敛。 证 易知 ( ) 2 sin 1 n + π = (- 1)n ( ) 2 sin 1 n n + − π = (- 1)n 2 π sin n n + +1 。 显然 2 π sin n n 1 + + 是单调减少数列，且 lim n→ 2 π sin n n + +1 = 0， 所以 ( ) 2 1 sin 1 π n n = + 是 Leibniz 级数。由定理 9.4.2 可知它是收敛的
Abel判别法与 Dirichlet判别法 引理94.1(Abel变换)设{an},{bn}是两数列,记Bk=∑b(k 证 ∑ab=a1B1+∑a(B-B B +>a,B aK Bk B 上式也称为分部求和公式
Abel 判别法与 Dirichlet 判别法 引理 9.4.1（Abel 变换） 设{an }，{bn }是两数列，记 Bk == k i i b 1 （k = 1,2,…），则 = p k k k a b 1 = ap Bp- − = + − 1 1 1 ( ) p k ak ak Bk 。 证 = p k k k a b 1 = a1B1 += − − p k ak Bk Bk 2 1 ( ) = a1B1 + = p k k Bk a 2 - = − p k ak Bk 2 1 = − = 1 1 p k k Bk a - − = + 1 1 1 p k k Bk a + ap Bp = ap Bp- − = + − 1 1 1 ( ) p k ak ak Bk 。 上式也称为分部求和公式
