数学建模与数学实验 回归分析
数学建模与数学实验 回归分析
实验目的 直观了解回归分析基本内容 2.掌握用数学软件求解回归分析问题 实验内容 1.回归分析的基本理论 2.用数学软件求解回归分析问题 3.实验作业
实验目的 实验内容 2．掌握用数学软件求解回归分析问题. 1．直观了解回归分析基本内容. 1．回归分析的基本理论. 3．实验作业. 2．用数学软件求解回归分析问题
回归分析 元线性回归 多元线性回归 检|数 模 回线 型 逐步 拉归性罱惨版线 数 △压圆 曲的 分 疋 归中的 线
一元线性回归 多元线性回归 回归分析 数 学 模 型 及 定 义 * 模 型 参 数 估 计 * 检 验 、 预 测 与 控 制 可 线 性 化 的 一 元 非 线 性 回 归 （ 曲 线 回 归 ） 数 学 模 型 及 定 义 * 模 型 参 数 估 计 逐 步 回 归 分 析 * 多 元 线 性 回 归 中 的 检 验 与 预 测
、数学模型 例1测16名成年女子的身高与腿长所得数据如下: 身高 14314514614714915015154155156157158159160162164 (cm) 腿长 88858891|929393|95969897969899100102 cm 以身高x为横坐标,以腿长y为纵坐标将这些数据点(x,y2) 在平面直角坐标系上标出 解答 y=Bo+x+8 散点图
一、数学模型 例1 测16名成年女子的身高与腿长所得数据如下： 身 高 (cm) 143 145 146 147 149 150 153 154 155 156 157 158 159 160 162 164 腿 长 (cm) 88 85 88 91 92 93 93 95 96 98 97 96 98 99 100 102 以身高x为横坐标，以腿长y为纵坐标将这些数据点（xi，yi） 在平面直角坐标系上标出. 140 145 150 155 160 165 84 86 88 90 92 94 96 98 100 102 散点图 y = + x + 0 1 解答
一般地,称由y=B+B1x+E确定的模型为一元线性回归模型, 记为 y=Bo+Bx+8 Es=0. De=o2 固定的未知参数B0、B1称为回归系数,自变量x也称为回归变量. Y=B+B1x,称为y对x的回归直线方程 元线性回归分析的主要任务是 1.用试验值(样本值)对β。、B1和σ作点估计; 2.对回归系数B、B1作假设检验; 3.在x=x0处对y作预测,对y作区间估计 返回
一般地，称由 y = + x + 0 1 确定的模型为一元线性回归模型， 记为 = = = + + 2 0 1 0, E D y x 固定的未知参数 0 、 1 称为回归系数，自变量 x 也称为回归变量. 一元线性回归分析的主要任务是： 1．用试验值（样本值）对 0 、 1 和 作点估计； 2．对回归系数 0 、 1 作假设检验； 3．在 x= 0 x 处对 y 作预测，对 y 作区间估计. Y x = 0 + 1 ，称为 y 对 x 的回归直线方程. 返回
二、模型参数估计 1.回归系数的最小二乘估计 有n组独立观测值(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn) 设y=B0+Bx+61,=1,2,,n 1E2=0.DE=02且E2,,相互独立 记Q=Q(B0,B)=∑62=∑(,B-月x) 最小二乘法就是选择6和B的估计B0,B1使得 Q(o, B,=min @(o, Bu
二、模型参数估计 1．回归系数的最小二乘估计 有 n 组独立观测值（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn） 设 0 1 2 1 2 , 1,2,..., 0, ,..., i i i i n y x i n E D = + + = = = 且 相互独立 记 ( ) = = = = = − − n i i i n i i Q Q y x 1 2 0 1 1 2 0 1 ( , ) 最小二乘法就是选择 0 和 1 的估计 0 ˆ ， 1 ˆ 使得 ) min ( , ) ˆ , ˆ ( 0 1 , 0 1 0 1 Q = Q
A=-月x ∑(x-x)y1-y 解得A xy-xy或B1=21 X-x ∑(x-x) 其中x=1x,1=1,x=12x,x=1x (经验)回归方程为:=B+Bx=y+B1(x-x)
−− == −2 2 10 1 ˆˆ ˆ x x xy x y y x 解得 （经验）回归方程为: ( ) ˆ ˆ ˆ ˆ 0 1 1 y = + x = y + x − x 或 ( )( ) ( ) = = − − − = ni i ni i i x x x x y y 1 2 1 1 ˆ 其中 = = = = n i i n i i y n x y n x 1 1 1 , 1 ， = = = = n i i i n i i x y n x xy n x 1 1 2 2 1 , 1
2.2的无偏估计 记Q=0B,B)=∑(v-B-Bx)=∑(x-2 称Q为残差平方和或剩余平方和 a2的无偏估计为G2=Q2/(n-2) 称G2为剩余方差(残差的方差),G2分别与B0、B1独立 G称为剩余标准差 返回
2． 2 的无偏估计 记 ( ) = = = = − − = − n i n i e i i i i Q Q y x y y 1 1 2 2 0 1 0 1 ( ˆ ) ˆ ˆ ) ˆ , ˆ ( 称 Qe 为残差平方和或剩余平方和. 2 的无偏估计为 ˆ ( 2) 2 e = Qe n − 称 2 ˆ e 为剩余方差（残差的方差）， 2 ˆ e 分别与 0 ˆ 、 1 ˆ 独立. e ˆ 称为剩余标准差. 返回
、检验、预测与控制 1.回归方程的显著性检验 对回归方程Y=B+Bx的显著性检验,归结为对假设 Ho:B1=0;H1:B1≠0 进行检验 假设H0:B1=0被拒绝,则回归显著,认为y与x存在线性关 系,所求的线性回归方程有意义;否则回归不显著,y与x的关系 不能用一元线性回归模型来描述,所得的回归方程也无意义
三、检验、预测与控制 1．回归方程的显著性检验 对回归方程Y x = 0 + 1 的显著性检验，归结为对假设 H0 : 1 = 0;H1 : 1 0 进行检验. 假设 H0 : 1 = 0被拒绝，则回归显著，认为 y 与 x 存在线性关 系，所求的线性回归方程有意义；否则回归不显著，y 与 x 的关系 不能用一元线性回归模型来描述，所得的回归方程也无意义
(I)F检验法 U 当H0成立时,F F(1,n-2) Q。(n-2) 其中U=∑(-y)(回归平方和) 故F>F1a(1,n-2),拒绝H0,否则就接受H0 (Ⅱ)t检验法 当H成立时,T=~t(n-2) 故7>1a(n-2),拒绝H,否则就接受H0 其中Lx=∑(x1-x)2=∑x2-mx2
（Ⅰ）F检验法 当 H0 成立时， /( − 2) = Q n U F e ~F（1，n-2） 其中 ( ) = = − n i i U y y 1 2 ˆ （回归平方和） 故 F> (1, 2) F1− n − ，拒绝 H0 ，否则就接受 H0 . （Ⅱ）t 检验法 = = = − = − n i i n i xx i L x x x nx 1 2 2 1 2 其中 ( ) 当 H0 成立时， e Lxx T ˆ ˆ 1 = ~t（n-2） 故 ( 2) 2 1 − − T t n ，拒绝 H0 ，否则就接受 H0