§2上极限与下极限 数列的上极限和下极限 先考虑有界数列的情况。 定义92.1在有界数列{xn}中,若存在它的一个子列{xn}使得 lim x 则称ξ为数列{xn}的一个极限点。 “5是数列{xn}的极限点”可以等价地表述为:“对于任意给定的 E>0,存在{xn}中的无穷多个项属于ξ的ε邻域” E={5|是{xn}的极限点}, 则E是非空的有界集合,因此E的上确界H=supE和下确界h=inf E存在
数列的上极限和下极限 先考虑有界数列的情况。 定义 9.2.1 在有界数列{ x n }中，若存在它的一个子列{ nk x }使得 k→ lim nk x = ， 则称 为数列{ x n }的一个极限点。 “ 是数列{ x n }的极限点”可以等价地表述为：“对于任意给定的 0，存在{ x n }中的无穷多个项属于 的 邻域”。 记 E = { | 是{ x n }的极限点}， 则 E 是非空的有界集合，因此 E 的上确界 H = sup E 和下确界 h = inf E 存在。 §2 上极限与下极限
定理9.2.1E的上确界H和下确界h均属于E,即 H=maxE,h=minE。 证由H=supE可知,存在5∈E(k=1,2,…),使得 取E (k=1,2,)。 因为5是{xn}的极限点,所以在O,E1)中有{xn}的无穷多个项,取 ∈O(512E1) 因为52是{xn}的极限点,所以在O(2,E2)中有{xn}的无穷多个项, 可以取n2>n,使得xn∈O(52,2)
定理 9.2.1 E 的上确界 H 和下确界 h 均属于 E，即 H = max E， h = min E。 证 由H = sup E 可知，存在 k E (k = 1,2, )，使得 lim k k H → = 。 取 k k 1 = (k = 1,2, )。 因为 1 是xn 的极限点，所以在 ( , ) 1 1 O 中有xn 的无穷多个项，取 1 1 1 ( , ) n x O ； 因为 2 是xn 的极限点，所以在 ( , ) 2 2 O 中有xn 的无穷多个项， 可以取n2 n1，使得 2 2 2 ( , ) n x O ； ……
因为54是{xn}的极限点,所以在O(5,)中有xn}的无穷多个项, 可以取n>n-1,使得x∈O(5,) 这么一直做下去,便得到{xn}的子列{xn,},满足 于是有 lim x,. =limS,=H 由定义921,H是{xn}的极限点,也就是说,H∈E 同理可证h∈E
因为 k 是xn 的极限点，所以在 ( , ) O k k 中有xn 的无穷多个项， 可以取nk nk−1 ，使得 ( , ) k n k k x O ； …… 这么一直做下去，便得到{ x n }的子列{ } nk x ，满足 1 k n k x k − ， 于是有 lim lim k n k k k x H → → = = 。 由定义9.2.1， H 是xn 的极限点，也就是说， H E。 同理可证 h E
定义9.2.2E的最大值H=maxE称为数列{xn}的上极限, E的最小值h=minE称为数列{xn}的下极限,记为 H=imx.;h=limx.。 n→00
定义 9.2.2 E 的最大值 H = max E 称为数列{ x n }的上极限， E 的最小值 h = min E 称为数列{ x n }的下极限，记为 H = n→ lim x n ；h = n→ lim x n
定义9.2.2E的最大值H=maxE称为数列{xn}的上极限, E的最小值h=minE称为数列{xn}的下极限,记为 H=imx.;h=limx.。 定理92.2设{xn}是有界数列。则{xn}收敛的充分必要条件是 lin lim n→0 n→) 证若{xn}是收敛的,则它的任一子列收敛于同一极限(定理 244),因而此时E中只有一个元素,于是成立 Im x lim x n→)0 若{xn}不收敛,则至少存在它的两个子列收敛于不同极限,因此有 lim
定理 9.2.2 设{ x n }是有界数列。则xn 收敛的充分必要条件是 n→ lim x n = n→ lim x n 。 证 若{ x n }是收敛的，则它的任一子列收敛于同一极限（定理 2.4.4），因而此时 E 中只有一个元素，于是成立 lim n→ x n = n→ lim x n = n→ lim x n 。 若{ x n }不收敛，则至少存在它的两个子列收敛于不同极限，因此有 n→ lim x n n→ lim x n 。 定义 9.2.2 E 的最大值 H = max E 称为数列{ x n }的上极限， E 的最小值 h = min E 称为数列{ x n }的下极限，记为 H = n→ lim x n ；h = n→ lim x n
由于一个无上界(下界)数列中必有子列发散至正(负)无穷大, 按上述思路,可将极限点的定义扩充为 定义9.2.1在数列{xn}中,若存在它的一个子列{x}使得 mxn=5(-∞≤5≤+∞), 则称ξ为数列{xn}的一个极限点。 “5=+∞(或-∞)是{xn}的极限点”也可以等价地表述为:“对 于任意给定的G>0,存在{xn}中的无穷多个项,使得xn>G(或xn< G)
由于一个无上界（下界）数列中必有子列发散至正（负）无穷大， 按上述思路，可将极限点的定义扩充为 定义 9.2.1' 在数列{ x n }中，若存在它的一个子列{ nk x }使得 k→ lim k n x = （− + ）， 则称 为数列{ x n }的一个极限点。 “ =+（或− ）是{ x n }的极限点”也可以等价地表述为：“对 于任意给定的 G > 0，存在{ x n }中的无穷多个项，使得 x n > G（或 x n < -G）
同样地,仍定义E为{xn}的极限点全体。当5=+∞(或-∞)是 xn}的极限点时,定义supE=+∞(或infE=-∞);当5=+∞(或-∞) 是{xn}的唯一极限点时,定义supE=infE=+∞0(或supE=infE ∞0)。那么定理92.1依然成立,而定理9,22只要改为 定理9.2.2limx存在(有限数、+∞或-∞)的充分必要条件 n→)0 是 lim x lim xno
同样地，仍定义 E 为{ x n }的极限点全体。当 =+ （或− ）是 { x n }的极限点时，定义 sup E =+ （或 inf E =− ）；当 =+ （或− ） 是{ x n }的唯一极限点时，定义 sup E = inf E =+（或 sup E = inf E = − ）。那么定理 9.2.1 依然成立，而定理 9.2.2 只要改为 定理 9.2.2' lim n→ x n 存在（有限数、+或− ）的充分必要条件 是 n→ lim x n = n→ lim x n
例921求数列x=cos2m}的上极限与下极限 解因为xn4=xn=C85m3xn2-c0,=1,所以{xn} 的最大极限点是1,最小极限点是-cs,即 lim
例 9.2.1 求数列 2 π cos 5 n n x = 的上极限与下极限。 解 因为 5n−4 x = 5n−1 x = 2π cos 5 ， 5n−3 x = 5n−2 x = π cos 5 − ， 5 1 n x = ，所以{ x n } 的最大极限点是 1，最小极限点是 π cos 5 − ，即 n→ lim 1 n x = ， n→ lim n x = π cos 5 −
例922求数列{=n的上极限与下极限 解此数列为 1.2.-4.-6 8. 它没有上界,因而 又由xn>0,且{x2n-}的极限为0,即知 0
例 9.2.2 求数列 n xn n (−1) = 的上极限与下极限。 解 此数列为 1, 2, 3 1 , 4, 5 1 , 6, 7 1 , 8, …， 它没有上界，因而 n→ lim x n =+。 又由 x n 0，且{ } 2n−1 x 的极限为 0，即知 n→ lim x n = 0
例922求数列{=n的上极限与下极限 解此数列为 1.2.-4.-6 8. 它没有上界,因而 又由xn>0,且{x2n-}的极限为0,即知 0。 例92.3求数列{xn=-n}的上极限与下极限。 解由于1imxn=-∞,因而 n→0 lim x lim x lim x =-00 o
例 9.2.3 求数列{ x n = -n}的上极限与下极限。 解 由于lim n→ x n =− ，因而 n→ lim x n = n→ lim x n = lim n→ x n =− 。 例 9.2.2 求数列 n xn n (−1) = 的上极限与下极限。 解 此数列为 1, 2, 3 1 , 4, 5 1 , 6, 7 1 , 8, …， 它没有上界，因而 n→ lim x n =+。 又由 x n 0，且{ } 2n−1 x 的极限为 0，即知 n→ lim x n = 0