§3 Taylor公式和插值多项式 带 Peano余项的 Taylor公式 定理5.3.1(带Pean0余项的 Taylor公式)设f(x)在x处有n阶 导数,则存在xn的一个邻域,对于该邻域中的任一点x,成立 (x)=f(xo)+f()x-xo)+(xo) (x-x0)2+…+ (x0) (x-x0)”+rn(x) OI 其中余项r(x)满足 r(x)=0(x-x0 上述公式称为f(x)在x=x处的带 Peano:余项的 Taylor公式,它的 前n+1项组成的多项式 Pn(x)=f(x0)+f(x0(x-x0)+ f"(x0) (n) (x-x0) (x-x0) 2! 称为f(x)的n次 Taylor多项式,余项n(x)=o(x-x)称为 Peano余项
带Peano余项的Taylor公式 定理5.3. 1（带Peano余项的Taylor公式） 设 f (x)在 x 0 处有n阶 导数，则存在 x 0 的一个邻域，对于该邻域中的任一点 x ，成立 ( ) ( ), ! ( ) ( ) 2! ( ) ( ) ( ) ( )( ) 0 0 ( ) 2 0 0 0 0 0 x x r x n f x x x f x f x f x f x x x n n n − + + − + = + − + 其中余项r x n ( )满足 ( ) (( ) ) 0 n n r x = o x − x 上述公式称为 f (x)在x = x0处的带Peano余项的Taylor公式，它的 前n + 1项组成的多项式 p x n ( ) = n n x x n f x x x f x f x f x x x ( ) ! ( ) ( ) 2! ( ) ( ) ( )( ) 0 0 ( ) 2 0 0 0 0 0 − + + − + − + 称为 f (x)的n次Taylor多项式，余项 ( ) (( ) ) 0 n n r x = o x − x 称为Peano余项。 §3 Taylor公式和插值多项式
证考虑;(x)=f(x)-∑f(xXx-x),只要证明 rn(x)=o(x-x0)")。显然 )=0 反复应用 L'Hospital法则,可得 lim n(x)=lm n(x) m x-0(x-xo) x-o n(x-xo) x*o n(n-D(x-xo) (n-1) (n)(x)-f(m(x0)-f((x0)x-x0) lim lim x0n(n-1)…2.(x-x0)川!x x-x f(n)(x)-f(n(x0) m r(x)=0rm(x)-f(x)=0 n! x-xo 因此 rn(x)=o(x-x0)”) 证毕
证 考虑rn (x) = f (x) − = − n k k k f x x x 0 k 0 0 ( ) ( )( ) ! 1 ，只要证明 ( ) (( ) ) 0 n n r x = o x − x 。显然 ( ) ( ) ( ) ( ) 0. 0 ( 1) 0 = 0 = 0 = = = − r x r x r x r x n n n n n 反复应用L’Hospital法则，可得 0 lim x→x n n x x r x ( ) ( ) − 0 = 0 lim x→x = − −1 0 ( ) ( ) n n n x x r x 0 lim x→x 2 0 ( 1)( ) ( ) − − − n n n n x x r x = … = 0 lim x→x ( 1) 2 ( ) ( ) 0 ( 1) n n x x r x n n − − − = ! 1 n 0 lim x→x − − − − − − 0 0 0 ( ) 0 ( 1) ( 1) ( ) ( ) ( )( ) x x f x f x f x x x n n n = ! 1 n 0 lim x→x = − − − − − ( ) ( ) ( ) 0 ( ) 0 0 ( 1) ( 1) f x x x f x f x n n n ! 1 n ( ) − ( 0 ) = ( ) 0 ( ) f x f x n n 0. 因此 ( ) (( ) ) 0 n n r x = o x − x . 证毕
带 Lagrange余项的 Taylor公式 定理5.3.2(带 Lagrange余项的 Taylor公式)设f(x)在[a,b上具 有m阶连续导数,且在(ab)上有n+1阶导数。设xn∈,b]为一定点,则 对于任意x∈[,成立 f(x)=f(xo)+f(ro)(x-xo) f"(ro) (x-x0)2+…+ (x0) (x-xo)+.(x 其中余项r(x)满足 (n+1 (5) (x-x),5在x和x0之间 (n+1)! 上述公式称为f(x)在x=x处的带 Lagrange余项的 Taylor公式。余 项 (n+1) (x-x)y+1(在x和x0之间) (n+1) 称为 Lagrange余项
带Lagrange余项的Taylor公式 定理5.3.2（带Lagrange余项的Taylor公式） 设 f (x)在[a,b]上具 有n阶连续导数，且在(a,b)上有n+1阶导数。设 [ , ] x0 a b 为一定点，则 对于任意 xa,b，成立 ( ) ( )， ! ( ) ( ) 2! ( ) ( ) ( ) ( )( ) 0 0 ( ) 2 0 0 0 0 0 x x r x n f x x x f x f x f x f x x x n n n − + + − + = + − + 其中余项r x n ( )满足 ( 1) 1 0 ( ) ( ) ( ) ( 1)! n n n f r x x x n + + = − + ， 在x 和x 0 之间。 上述公式称为 f (x)在 x = x0处的带Lagrange余项的Taylor公式。余 项 ( 1) 1 0 ( ) ( ) ( ) ( 1)! n n n f r x x x n + + = − + （ 在x 和x 0 之间） 称为Lagrange余项
证考虑辅助函数 G()=f(x) 们f(((x-1)和H()=(x-0)H。 那么定理的结论(即需要证明的)就是 G(x0) () (n+1)! 不妨设x<x。则G()和H(t)在[x,x上连续,在(x2,x)上可导,且 (n+1) x-1)”,H(t)=-(n+1)(x-1) 显然H()在(x,x)上不等于零。因为G(x)=H(x)=0,由 Cauchy中值定 理可得 G(x)G(x)-G(x0)G"()f(m(2) ∈(xa,x) H(x0)H(x)-H(x0)H(5)(m+1)! 因此G(x)= H(x0) (n+1)! 证毕
证 考虑辅助函数 G(t) = f (x) − = − n k k k f t x t 0 k ( ) ( )( ) ! 1 和 1 ( ) ( ) + = − n H t x t 。 那么定理的结论(即需要证明的)就是 ( ) ( 1)! ( ) ( ) 0 ( 1) 0 H x n f G x n + = + 。 不妨设 x x 0 。则G(t) 和H (t) 在[ , ] 0 x x 上连续，在( , ) 0 x x 上可导，且 n n x t n f t G t ( ) ! ( ) ( ) ( 1) = − − + ， n H(t) = −(n +1)(x − t) 。 显然H (t) 在( , ) 0 x x 上不等于零。因为G(x) = H(x) = 0，由Cauchy中值定 理可得 ( 1)! ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 1) 0 0 0 0 + = = − − = + n f H G H x H x G x G x H x G x n ， ( , ) 0 x x ， 因此 ( ) ( 1)! ( ) ( ) 0 ( 1) 0 H x n f G x n + = + 。 证毕
特别地,当n=0时,定理5.3.2成为 f(x)=f(x)+f(5x-x0),5在x和x之间, 这恰为 Lagrange中值定理的结果。所以,带 Lagrange余项的 Taylor公式 可以看成是 Lagrange中值定理的推广。 当x→x时,带 Lagrange余项的 Taylor公式蕴涵了带 Peano余项的 Taylor公式。但采用带 Peano余项的 Taylor公式时,对f(x)的要求比采 用带 Lagrange余项的 Taylor公式时稍弱一些
特别地，当 n = 0 时，定理5.3.2成为 0 0 f x f x f x x ( ) ( ) ( )( ) = + − ， 在 x 和 x 0 之间， 这恰为Lagrange中值定理的结果。所以，带Lagrange余项的Taylor公式 可以看成是Lagrange中值定理的推广。 当 x → x0时，带Lagrange余项的Taylor公式蕴涵了带Peano余项的 Taylor公式。但采用带Peano余项的Taylor公式时，对 f (x)的要求比采 用带Lagrange余项的Taylor公式时稍弱一些
在实际使用时,经常将 Taylor公式写成(带 Lagrange余项) f(+Ax)=f(x)+f(x)Ax+ △x2+…+ n f(x+Ax)ax"(6∈(0,1) (n+1) 或是(带 Peano余项) f(x+△x)=f(x)+f(x)△x+ f"(x)、2 △x”+o(Ax") 2! 的形式
在实际使用时，经常将Taylor公式写成（带Lagrange余项） n n x n f x x f x f x x f x f x x + + + = + + ! ( ) 2! ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 ( 1) ( 1)! ( ) + + + + + n n x n f x x （ (0,1)）， 或是（带Peano余项） + + + + = + + n n x n f x x f x f x x f x f x x ! ( ) 2! ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 ( )n o x 的形式
插值多项式和余项 定义5.3.1设函数f(x)在[ab上的m+1个互异点x0,x1,…,xm上 的函数值和若干阶导数值((x)(=0,1,2,…,m,j=0,1,…,n-1)是已 知的,这里 n1=n+ 若存在一个n次多项式pn(x),满足如下的插值条件 p(x)=f((x,)(i=0,1,2,…,mn,j=0,1,2 则称pn(x)是f(x)在[ab上关于插值节点(一般就简称节点) x的n次插值多项式,而 r(x)=f(x)-p,(x) 称为插值余项
插值多项式和余项 定义5.3.1 设函数 f (x)在a,b上的m +1个互异点 m x , x , , x 0 1 上 的函数值和若干阶导数值 ( ) ( 0, 1, 2, , , 0, 1, , 1) ( ) i = = i − j f x i m j n 是已 知的，这里 1 0 = + = n n m i i 。 若存在一个 n 次多项式 p (x) n ，满足如下的插值条件 pn x f x i m j n j i j i i ( ) ( ) ( ) = ( ) ( = 0, 1, 2, , , = 0, 1, 2, , −1)， 则称 p (x) n 是 f (x)在a,b上关于插值节点(一般就简称节点) m x , x , , x 0 1 的n次插值多项式，而 r x f x p x n n ( ) = ( ) − ( ) 称为插值余项
例如,若在x0,x1,x2,x34个点处(即m=3),已知f(x)的函数值和 若干阶导数值如下表 x 0|f(x0)|f(x1) f(x2) f(x3) 1f(x0) f(x2)f(x3) m433 =2f"(x0) f"(x f"(x3) f∫"(x2) 4 这里,n表示在点x处所知道的值的个数,而m表示已知j阶导数值 的点的个数(为了叙述问题方便,当mx{,}≤j≤n+1时,我们认为 m=0) 然 ∑m1=∑n=n+1 如果能找到一个10次多项式p0(x),在这4个点处相应的11个值与上表 相同,那么按定义5.3.1,它就是∫(x)的10次插值多项式
例如，若在x0 , x1 , x2 , x3 4个点处(即m = 3),已知 f (x) 的函数值和 若干阶导数值如下表： x0 x1 x2 x3 mj j = 0 f (x ) 0 f (x ) 1 f (x ) 2 f (x ) 3 4 j = 1 f (x ) 0 ─ f (x ) 2 f (x ) 3 3 j = 2 f (x ) 0 ─ f (x ) 2 f (x ) 3 3 j = 3 ─ ─ f (x ) 2 — 1 ni 3 1 4 3 n +1= 11 这里, ni 表示在点 xi 处所知道的值的个数，而mj表示已知 j 阶导数值 的点的个数（为了叙述问题方便，当maxni j n +1时，我们认为 mj =0）。显然 mj j n = + = 0 1 1 0 = + = n n m i i 。 如果能找到一个10次多项式 p x 10 ( )，在这4个点处相应的11个值与上表 相同,那么按定义5.3.1，它就是 f (x) 的10次插值多项式
利用 Rolle定理,读者很容易自行证明下述结果: 引理设函数g(x)在[a,b上连续,在(a,b)上可导,在ab上的个 不同的点上有g(x)=0,同时在其中的l个点上有g(x)=0,则g(x)在 ab]内至少有l+1-1个不同的零点
利用Rolle定理，读者很容易自行证明下述结果： 引理 设函数 g(x)在[a,b]上连续，在(a, b)上可导，在[a,b]上的l 0 个 不同的点上有 g(x) =0，同时在其中的l 1 个点上有 g(x) = 0，则 g(x) 在 [a,b]内至少有l 0 +l 1 -1个不同的零点
利用上述引理,即可导出下面的重要定理: 定理5.3.3(插值多项式的余项定理)设f(x)在[a,b上具有n 阶连续导数,在(ab)上有n+1阶导数,且f(x)在[上的m+1个互异 点x,x,…,xn上的函数值和若干阶导数值 f0(x)(=0,1,2,…,m,j=0,1…,n1-1∑n1=n+1)是已知的,则对于 任意x∈[ab],上述插值问题有余项估计 (n+1) (x)=f(x)-P ∏(x-x,) n+ 这里ξ是介于xmn=min(x,x1,…xn,x)和xm=max(x0,x1…xn,x)之间 的一个数(一般依赖于x)
利用上述引理，即可导出下面的重要定理： 定理5.3.3（插值多项式的余项定理） 设 f (x)在[a,b]上具有n 阶连续导数，在(a,b)上有n+1阶导数，且 f (x)在a,b上的m +1个互异 点 m x , x , , x 0 1 上的函数值和若干阶导数值 ( ) ( 0, 1, 2, , , 0, 1, , 1; ( ) i = = i − j f x i m j n 1) 0 = + = n n m i i 是已知的，则对于 任意 xa,b,上述插值问题有余项估计 = + − + = − = m i n i n n n i x x n f r x f x p x 0 ( 1) ( ) ( 1)! ( ) ( ) ( ) ( ) ， 这里 是介于 x x x x x min min( m = , , , ) 0 1 和x x x x x max max( m = , , , ) 0 1 之间 的一个数（一般依赖于x ）