§6定积分的数值计算 数值积分 对于求定积分,虽然有了 Newton- Leibniz公式,但在整个可积函 数类中,能够用初等函数表示不定积分的只占很小一部分,也就是说, 对绝大部分在理论上可积的函数,并不能用 Newton- Leibniz公式求得 其定积分之值。 另一方面,在实际问题中,许多函数只是通过测量、试验等方法 给出了在若干个离散点上的函数值,如果问题的最后解决有赖于求出 这个函数在某个区间上的积分值,那么 Newton- Leibniz公式是难有用 武之地的。 所以需要寻找求定积分的各种近似方法,数值积分是其中最重要 的一种
数值积分 对于求定积分，虽然有了 Newton-Leibniz 公式，但在整个可积函 数类中，能够用初等函数表示不定积分的只占很小一部分，也就是说， 对绝大部分在理论上可积的函数，并不能用 Newton-Leibniz 公式求得 其定积分之值。 另一方面，在实际问题中，许多函数只是通过测量、试验等方法 给出了在若干个离散点上的函数值，如果问题的最后解决有赖于求出 这个函数在某个区间上的积分值，那么 Newton-Leibniz 公式是难有用 武之地的。 所以需要寻找求定积分的各种近似方法，数值积分是其中最重要 的一种。 §6 定积分的数值计算
从数值计算的观点来看,若能在{a,b上找到一个具有足够精度的 替代f(x)的可积函数p(x),而p(x)的原函数可以用初等函数P(x)表示, 比如,p(x)为f(x)的某个插值多项式,那么便可用p(x)的积分值近似 地代替∫(x)的积分值,即 ∫f(x)dx≈」Jp(xx=P(x) 此外,从定积分的几何意义知道,将积分区间分得越细,小块近 似面积之和与总面积就越是接近。因此,用简单函数替代被积函数, 并将积分区间细化是数值积分的主要思想
从数值计算的观点来看，若能在 [a, b] 上找到一个具有足够精度的 替代 f (x)的可积函数 p(x)，而 p(x)的原函数可以用初等函数P(x)表示， 比如， p(x)为 f (x)的某个插值多项式，那么便可用 p(x) 的积分值近似 地代替 f (x)的积分值，即( )d b a f x x ( )d b a p x x b a = P(x) 。 此外，从定积分的几何意义知道，将积分区间分得越细，小块近 似面积之和与总面积就越是接近。因此，用简单函数替代被积函数， 并将积分区间细化是数值积分的主要思想
Newton- Cotes求积公式 这是一个取等距结点的数值积分公式。 将积分区间[a,b以步长h=“分成n等份,以分点 a+i(i=012 为结点作f(x)的 Lagrange插值多项式 (x)=P(x)=∑∏ f(x,)
Newton-Cotes 求积公式 这是一个取等距结点的数值积分公式。 将积分区间[a, b]以步长h b a n = − 分成n等份，以分点 xi = a + ih （ i = 0,1,2, ,n −1,n） 为结点作 f (x)的 Lagrange 插值多项式 f (x) ( ) ( ) 0 0 i n i n j i j i j j n f x x x x x p x = = − − =
对等式两边在[a,b上积分,便有 ∫f(x)dx≈」Jpx)dx=(b-a)∑C"fx) 这里, (n) -dx 令x=a+h) x- h d t 1(-1)" b nl!(n-1) ∏I(-j) 这就是n步 Newton- Cotes求积公式,计算时需取n+1个结点,相应的 Cm称为 Cotes系数,它与积分区间和被积函数无关,可通过求多项式 的积分事先算好
对等式两边在[a, b]上积分，便有 ( )d b a f x x ( )d b n a p x x = − = ( ) ( ) ( ) b a C f x i n i n i 0 . 这里， ( ) 0 1 d n b n j i a j i j j i x x C x b a x x = − = − − （令x = a + th） 0 0 d n n j j i h t j t b a i j = − = − − 0 0 1 ( 1) ( )d !( )! n i n n j j i t j t n i n i − = − = − − 。 这就是n步 Newton-Cotes 求积公式，计算时需取n + 1个结点，相应的 Ci (n)称为 Cotes 系数，它与积分区间和被积函数无关，可通过求多项式 的积分事先算好
Cotes系数具有如下性质: 1.对称性。可从C的表达式直接算出 (n) i=0,1,2,…,n-1,n 2.规范性。由于 Newton- Cotes公式对∫(x)≡1是精确成立的, 因此 1dx=(b-a)∑Cn ∑C"=1
Cotes 系数具有如下性质： 1. 对称性。可从 Ci (n)的表达式直接算出 Ci (n) = Cn−i ( n)， i = 0, 1, 2, , n −1, n. 2. 规范性。 由于 Newton-Cotes 公式对 f (x) 1是精确成立的， 因此 1 d b a x = − = ( ) ( ) b a Ci n i n 0 ， 即 Ci n i n ( ) = = 0 1
Newton- Cotes公式将求定积分问题近似地转化为一个求和问题 下面是几个常用的情况。 (1)梯形公式 f(b) 当n=1时,由 Cotes系数的性质,即知 1=C() 因此 f(a b-a f(x)dx [f(a)+f(b)] b 它的几何意义是用以(an0),(a,f(a),(b,f(b) 图76.1 和(b,0)为顶点的直角梯形的面积近似代替由 y=∫(x),x=a,x=b和x轴所围成的曲边梯形的面积(图7.6.1), 所以称为梯形公式
Newton-Cotes 公式将求定积分问题近似地转化为一个求和问题， 下面是几个常用的情况。 ⑴ 梯形公式 当n = 1时，由 Cotes 系数的性质，即知 C0 (1) = C1 = 1 2 (1) ， 因此 ( )d b a f x x − + b a f a f b 2 [ ( ) ( )]。 它的几何意义是用以(a,0)，(a, f (a))，(b, f (b)) 和(b,0)为顶点的直角梯形的面积近似代替由 y = f (x)， x = a， x = b和 x 轴所围成的曲边梯形的面积（图 7.6.1）, 所以称为梯形公式。 a b f(a) f(b) 图7.6.1
(2) Simpson 公式 a n=2时, f(b (t-1)(t-2 a+b 因此得到 Simpson公式 b 图7.6.2 f(x)dx≈ 6/(a)+4/a+b 2/+/(b) 它的几何意义是用过点(a,f(a), a+ba+b 2儿和(,f(b)的抛物线 y=p2(x)与x=a,x=b和x轴所围成的曲边梯形的面积,近似代替由 y=f(x)、x=a,x=b和x轴所围成的曲边梯形的面积(图7.6.2), 所以 Simpson公式也称为抛物线公式
⑵ Simpson 公式 当n = 2时， 2 (2) (2) 0 2 0 1 1 ( 1)( 2)d 4 6 C t t t C = − − = = ， C1 C C 2 0 2 2 2 1 4 6 ( ) ( ) ( ) = − − = ， 因此得到 Simpson 公式 ( )d b a f x x + + + − ( ) 2 ( ) 4 6 f b a b f a f b a 。 它的几何意义是用过点(a, f (a))， + + 2 , 2 a b f a b 和(b, f (b))的抛物线 ( ) 2 y = p x 与 x = a， x = b和 x 轴所围成的曲边梯形的面积，近似代替由 y = f (x)、 x = a， x = b和x 轴所围成的曲边梯形的面积（图 7.6.2）， 所以 Simpson 公式也称为抛物线公式
(3) Cotes公式 n=4时, (4) (t-1)(t-2)(-3)(t-4)dt (4) t(t-2)(t-3)(t-4)dt 24J0 1-2( 于是得到 Cotes公式 b 3f(x)dx91/(x)+f(x:)+32/(x)+∫(x3)+12f(x), 这里 (4-1a + ib i=0,1,2,3,4。 4
⑶ Cotes 公式 当n = 4时， 4 (4) (4) 0 4 0 1 7 ( 1)( 2)( 3)( 4)d 96 90 C t t t t t C = − − − − = = ， 4 (4) (4) 1 3 0 1 32 ( 2)( 3)( 4)d 24 90 C t t t t t C = − − − − = = ， C2 C C 4 0 4 1 4 1 2 12 90 ( ) ( ) ( ) = − ( − ) = ， 于是得到 Cotes 公式 ( )d b a f x x 7[ ( ) ( )] 32[ ( ) ( )] 12 ( ) 90 0 4 1 3 2 f x f x f x f x f x b a + + + + − ， 这里 x i a ib i = (4 − ) + 4 ， i = 0, 1, 2, 3, 4
例76.1分别用以上三个公式求[ced的近似值。 解梯形公式: 1=e+e-l=308616127…; Simpson公式: (e+4e0+e-1)=2362053757 Cotes公式 45 7(e+e-)+32(e+e-)+12e]=2350470904…。 而积分的精确值为 Ⅰ=|edx=e--=2350402387…。 所以, Cotes公式的精度最高,但它要计算5个函数值,而梯形 公式只要计算两个就够了
例 7.6.1 分别用以上三个公式求 1 1 e dx x − 的近似值。 解 梯形公式： I 1 1 1 = + = 308616127 − e e . …； Simpson 公式： I 2 1 0 1 1 3 = + 4 + = 2 362053757 − (e e e ) . …； Cotes 公式 ： I 4 1 1 0 1 45 7 32 12 2 350470904 1 2 1 = + + + 2 + = − − [ (e e ) (e e ) e ] . …。 而积分的精确值为 1 1 e dx I x − = = e − e 1 = 2.350402387…。 所以，Cotes 公式的精度最高，但它要计算 5 个函数值，而梯形 公式只要计算两个就够了
复化求积公式 要提高数值积分的精度,不能采用一味提高 Newton-Cotes公式 的步数的办法。理论上已经证明,n较大时, Newton- Cotes公式的计 算过程中将产生不稳定。一个顺理成章的思路是,先将积分区间分成 若干等份,再在每一个小区间上使用低步数的 Newton- Cotes公式, 最后将各小区间上的积分近似值加起来
复化求积公式 要提高数值积分的精度，不能采用一味提高 Newton-Cotes 公式 的步数的办法。理论上已经证明，n较大时，Newton-Cotes 公式的计 算过程中将产生不稳定。一个顺理成章的思路是，先将积分区间分成 若干等份，再在每一个小区间上使用低步数的 Newton-Cotes 公式， 最后将各小区间上的积分近似值加起来