第九章数项级数 早在大约公元前450年,古希腊有一位名叫Zeno的学者,曾提 出过若干个在数学发展史上产生过重大影响的悖论,“ Achilles(希腊 神话中的英雄)追赶乌龟”即是其中较为著名的一个。 设乌龟在 Achilles前面S米处向前爬行, Achilles在后面追赶, 当 Achilles化了t秒时间,跑完S米时,乌龟已向前爬了S2米;当 Achilles再化t,秒时间,跑完S,米时,乌龟又向前爬了S3米 这 样的过程可以一直继续下去,因此 achilles永远也追不上乌龟
早在大约公元前 450 年，古希腊有一位名叫 Zeno 的学者，曾提 出过若干个在数学发展史上产生过重大影响的悖论，“Achilles（希腊 神话中的英雄）追赶乌龟”即是其中较为著名的一个。 设乌龟在 Achilles 前面 1 S 米处向前爬行，Achilles 在后面追赶， 当 Achilles 化 了 1 t 秒时间，跑完 1 S 米时，乌龟已向前爬了 2 S 米；当 Achilles 再化 2 t 秒时间，跑完 2 S 米时，乌龟又向前爬了 3 S 米；…，这 样的过程可以一直继续下去，因此 Achilles 永远也追不上乌龟。 第九章 数项级数
显然,这一结论完全有悖于常识,是绝对荒谬的。没有人会怀疑, Achilles必将在T秒时间内,跑了S米后追上乌龟(T和S是常数)。 Zeno的诡辩之处就在于把有限的时间T(或距离S)分割成无穷段t1 t2,…(或S,S2,…),然后一段一段地加以叙述,从而造成一种 假像:这样“追-爬—追-爬”的过程将随时间的流逝而永无止境。事 实上,如果将花掉的时间,t2,…(或跑过的距离S,S2,…)加 起来,即 t1+t2+…+tn+…(或S1+S2+…+Sn+…), 尽管相加的项有无限个,但它们的和却是有限数T(或S)。换言之, 经过时间T秒, Achilles跑完S米后,他已经追上乌龟了 这里的无限个数相加的概念,就是本章要讨论的级数问题
显然，这一结论完全有悖于常识，是绝对荒谬的。没有人会怀疑， Achilles 必将在 T 秒时间内，跑了 S 米后追上乌龟（T 和 S 是常数）。 Zeno 的诡辩之处就在于把有限的时间 T（或距离 S）分割成无穷段 1 t ， 2 t ，…（或 1 S ， 2 S ，…），然后一段一段地加以叙述，从而造成一种 假像：这样“追-爬-追-爬”的过程将随时间的流逝而永无止境。事 实上，如果将花掉的时间 1 t ， 2 t ，…（或跑过的距离 1 S ， 2 S ，…）加 起来，即 t 1 + t 2 ++ t n + （或 S1 + 2 S ++ n S + …）， 尽管相加的项有无限个，但它们的和却是有限数 T（或 S）。换言之， 经过时间 T 秒，Achilles 跑完 S 米后，他已经追上乌龟了。 这里的无限个数相加的概念，就是本章要讨论的级数问题
§1数项级数的收敛性 数项级数 设x,x2,…,xn,…是无穷可列个实数,我们称它们的“和” xI 为无穷数项级数简称级数,记为∑xn,其中xn称为级数的通项或 般项
数项级数 设 1 x ， 2 x ，…, n x ，…是无穷可列个实数，我们称它们的“和” 1 x + 2 x ++ xn + 为无穷数项级数(简称级数)，记为 n=1 n x ，其中 n x 称为级数的通项或一 般项。 §1 数项级数的收敛性
为了对上述的级数求和给出合理的定义,为此构作级数∑xn的 部分和数列”{Sn} I, x1千x S3=x1+x2+x3 xI +x2+……+xn ∑
为了对上述的级数求和给出合理的定义，为此构作级数 n=1 n x 的 “部分和数列”{ n S }： S1 = 1 x ， S2 = 1 x + 2 x ， S3 = 1 x + 2 x + 3 x ， …… n S = 1 x + 2 x ++ n x == n k k x 1 ， ……
定义9.1.1如果部分和数列{Sn}收敛于有限数S,则称无穷级 数∑xn收敛,且称它的和为S,记为 S du g 如果部分和数列{Sn}发散,则称无穷级数∑x,发散
定义 9.1.1 如果部分和数列{ n S }收敛于有限数 S ，则称无穷级 数 n=1 n x 收敛，且称它的和为S ，记为 S = n=1 n x ； 如果部分和数列{ n S }发散,则称无穷级数 n=1 n x 发散
由上述定义可知,只有当无穷级数收敛时,无穷多个实数的加法 才是有意义的,并且它们的和就是级数的部分和数列的极限。所以, 级数的收敛与数列的收敛本质上是一回事 例9.1.1设qk1,则几何级数(即等比级数) n-1=1+q+q q 是收敛的。它的部分和数列的通项为 ∑ k=1 q 显然, lim s n 1-g
由上述定义可知，只有当无穷级数收敛时，无穷多个实数的加法 才是有意义的，并且它们的和就是级数的部分和数列的极限。所以， 级数的收敛与数列的收敛本质上是一回事。 例 9.1.1 设| q | 1，则几何级数（即等比级数） = − 1 1 n n q =1+ q + q 2 ++ q n + 是收敛的。它的部分和数列的通项为 n S = q q q n n k k − − = = − 1 1 1 1 ， 显然， lim n→ n S = 1− q 1
现在来回答本章开头提出的 Achilles追赶乌龟的问题 设乌龟的速度v(米/秒)与 Achilles的速度v2(米/秒)之比为 q=,0<q<1。 Achilles在乌龟后面S1(米)处开始追赶乌龟。当 Achilles 跑完S(米)时,乌龟已向前爬了S2=qS1(米);当 Achilles继续跑 完S2(米)时,乌龟又向前爬了S3=qS1(米);…当 Achilles继续跑 完Sn(米)时,乌龟又向前爬了Sn1=qS1(米);…显然 achilles 要追赶上乌龟,必须跑完上述无限段路程S1,S2…,Sn…,由于 S1+S,+…+S S(1+q+q2+…+qn1+… q 所以当 Achilles跑完路程S=3米(即经过了时间T 秒) (1-q) 他已经追上了乌龟
现在来回答本章开头提出的 Achilles 追赶乌龟的问题。 设乌龟的速度 1 v (米／秒)与 Achilles 的速度 2 v （米／秒）之比为 q= 2 1 v v , 0<q<1。Achilles 在乌龟后面 1 S（米）处开始追赶乌龟。当 Achilles 跑完S1（米）时，乌龟已向前爬了S2 = qS1（米）；当 Achilles 继续跑 完 2 S （米）时，乌龟又向前爬了 1 2 S3 = q S （米）； ,当 Achilles 继续跑 完 n S （米）时，乌龟又向前爬了S 1 q S1 n n+ = （米）； . 显然 Achilles 要追赶上乌龟，必须跑完上述无限段路程 , , , , , S1 S2 Sn 由于 S1 + S2 ++ Sn + = (1 ) 2 1 S1 + q + q ++ q n− + = , 1 1 q S − 所以当 Achilles 跑完路程 S = q S 1− 1 米（即经过了时间 T = 2 1 (1 q)v S − 秒）， 他已经追上了乌龟
例9.1.2级数 ∑(-1)=1-1+1-…+(-1 是发散的。这是因为它的部分和数列的通项为 0,n为偶数, 1,n为奇数, 显然{Sn}是发散的
例 9.1.2 级数 = − − 1 1 ( 1) n n =1−1+1−+ (−1) n−1 + 是发散的。这是因为它的部分和数列的通项为 Sn = 0, 1, n n 为偶数, 为奇数, 显然{ Sn }是发散的
例9.1.2级数 ∑(-1)=1-1+1-…+(-1 是发散的。这是因为它的部分和数列的通项为 0,n为偶数, 1,n为奇数, 显然{Sn}是发散的。 例9.1.3根据第二章的例247,级数 、wl=n ∑ +—+∴+—+ P 0) 当p>1时收敛;当0<p≤1时发散到正无穷大 ∑称为P级数(p=1时又称∑为调和级数)
例 9.1.3 根据第二章的例 2.4.7，级数 =1 1 n p n = + p + p ++ p + n 1 3 1 2 1 1 ( p 0) 当 p 1 时收敛；当 0 p 1 时发散到正无穷大。 =1 1 n p n 称为 p 级数（ p = 1 时又称 =1 1 n n 为调和级数）。 例 9.1.2 级数 = − − 1 1 ( 1) n n =1−1+1−+ (−1) n−1 + 是发散的。这是因为它的部分和数列的通项为 Sn = 0, 1, n n 为偶数, 为奇数, 显然{ Sn }是发散的
级数的基本性质 定理9.1.1(级数收敛的必要条件)设级数∑x收敛,则其通 项所构成的数列{xn}是无穷小量,即 1m x 0 证设∑xn=S,则对S=∑x,成立 lim S=lim s,=s, 于是得到 lim xn=lim(Sm,-Sn-i=lim Sm,- lim Sr-=0o n→)0 n→)0 n→o n→)00
级数的基本性质 定理 9.1.1（级数收敛的必要条件） 设级数 n=1 n x 收敛，则其通 项所构成的数列{ n x }是无穷小量，即 lim n→ x n = 0 。 证 设 n=1 n x = S ，则对 n S == n k k x 1 ，成立 lim n→ n S =lim n→ n−1 S = S ， 于是得到 lim n→ x n = lim n→ ( n S - n−1 S )=lim n→ n S - lim n→ n−1 S = 0
