§3微积分基本定理 从实例看微分与积分的联系 到目前为止,我们已详细介绍了微分与积分(这里专指定积分) 的基本概念,但还不曾涉及微分与积分之间的任何联系。事实上,揭 示微分与积分之间的内在联系是需要许多预备知识的。现在这些预备 知识已经基本具备,可以为这两个重要的概念建立桥梁了
从实例看微分与积分的联系 到目前为止，我们已详细介绍了微分与积分（这里专指定积分） 的基本概念，但还不曾涉及微分与积分之间的任何联系。事实上，揭 示微分与积分之间的内在联系是需要许多预备知识的。现在这些预备 知识已经基本具备，可以为这两个重要的概念建立桥梁了。 §3 微积分基本定理
先来看一个颇具启发性的例子。在引入定积分定义时我们已经知 道,以速度v()作变速运动的物体,在时间段[T,写2]中所走过的路程S可 以表示为定积分 S=lim∑v(5)△1=w()dt →0 但是这个和式的极限一般来说是很难求的。 让我们换一个角度考虑问题:设物体在时间段0,所走过的路程 为S(t),那么它在时间段[T1,2]所走过的路程可以表示为 S=S(72)-S(7) 于是就有 v()dt=S(72)-S(71)。 注意到v(t)=S(1),或者说S()是v()的一个原函数,于是上式说明了, v(n)在区间[,T2]上的积分值可以用它的一个原函数在区间的两个端点 处的函数值之差来表示
先来看一个颇具启发性的例子。在引入定积分定义时我们已经知 道，以速度v(t)作变速运动的物体，在时间段[T , T ] 1 2 中所走过的路程S 可 以表示为定积分 2 0 1 1 lim ( ) ( )d n T i i T i S v t v t t → = = = ， 但是这个和式的极限一般来说是很难求的。 让我们换一个角度考虑问题：设物体在时间段[0, t]所走过的路程 为S(t)，那么它在时间段[T , T ] 1 2 所走过的路程可以表示为 S = S(T ) − S(T ) 2 1 ， 于是就有 2 1 ( )d T T v t t = S(T ) − S(T ) 2 1 。 注意到v(t) = S (t)，或者说S(t)是v(t)的一个原函数，于是上式说明了， v(t)在区间[T , T ] 1 2 上的积分值可以用它的一个原函数在区间的两个端点 处的函数值之差来表示
微积分基本定理一 Newton- Leibniz公式 设f(x)在区间ab上可积,由定积分的区间可加性,可知对任意 xeab,积分∫(0存在。当x在ab中变化时,∫f(的值也随之 而变化,所以它是定义在[a,b上的关于x的函数。这个函数具有如下 的重要性质:
微积分基本定理 ── Newton-Leibniz 公式 设 f (x)在区间[a, b]上可积，由定积分的区间可加性，可知对任意 x [a, b]，积分 ( )d x a f t t 存在。当x 在[a, b]中变化时， ( )d x a f t t 的值也随之 而变化，所以它是定义在[a, b]上的关于 x 的函数。这个函数具有如下 的重要性质：
微积分基本定理一 Newton- Leibniz公式 设f(x)在区间ab上可积,由定积分的区间可加性,可知对任意 xeab,积分∫(0存在。当x在ab中变化时,∫f(的值也随之 而变化,所以它是定义在[a,b上的关于x的函数。这个函数具有如下 的重要性质: 定理7.3.1设f(x)在b上可积,作函数 F(x)=f(0)d,x∈[ab], (1)F(x)是[a,b]上的连续函数 (2)若f(x)在an,b上连续,则F(x)在[a,b]上可微,且有 F'(x)=f(x)
定理 7.3.1 设 f (x) 在 [a, b] 上可积，作函数 ( ) ( )d , [ , ] x a F x f t t x a b = ， 则 ⑴ F(x)是[a, b]上的连续函数； ⑵ 若 f (x)在[a, b]上连续，则F(x)在[a, b]上可微，且有 F(x) = f (x)。 微积分基本定理 ── Newton-Leibniz 公式 设 f (x)在区间[a, b]上可积，由定积分的区间可加性，可知对任意 x [a, b]，积分 ( )d x a f t t 存在。当x 在[a, b]中变化时， ( )d x a f t t 的值也随之 而变化，所以它是定义在[a, b]上的关于 x 的函数。这个函数具有如下 的重要性质：
证由定积分的区间可加性, x+△r F(x+Ax)-F(x)= f(t dt- f(t)dt 记m、M分别为f(x)在[a,b上的最小值和最大值,由积分第一中值定 理,得到 ·Ax(∈[m,M门) 若f(x)在[a,b上可积, F(x+△x)-F(x)= f()·Ax(在x与x+Ax之间,若f(x)在[a,b上连续。 显然,不管在哪一种情况下,当Ax→0时都有F(x+Ax)-F(x)→0, 即F(x)在[a,b上连续 若f(x)在{ab连续,当Ax→>0时有ξ→x,因而f()→f(x),于是 F(x)=lim F(x+△x)-F(x) lim f(s=f(x) Ax→0 Ax→0
证 由定积分的区间可加性， ( ) ( ) ( )d ( )d ( )d x x x x x a a x F x x F x f t t f t t f t t + + + − = − = 。 记 m、M 分别为 f (x)在[a, b]上的最小值和最大值，由积分第一中值定 理，得到 F(x + x) − F(x) + = 在 与 之间 若 在 上连续。 若 在 上可积， ( ) ( ), ( ) [ , ] ( [ , ]), ( ) [ , ] f x x x x f x a b x m M f x a b 显然，不管在哪一种情况下，当x → 0时都有F(x + x) − F(x) → 0， 即 F(x)在[a, b]上连续。 若 f (x)在[a, b]连续，当x → 0时有 → x ，因而 f f x ( ) ( ) → ，于是 0 0 ( ) ( ) ( ) lim lim ( ) ( ) x x F x x F x F x f f x x → → + − = = =
注定理7.3.1具有非常重要的意义。 首先,它扩展了函数的形式。∫(0与我们所熟悉的初等函数形 式迥异,但它确实是一种函数的表示形式,它使我们对函数的认识冲 出了初等函数的束缚,不再囿于这狭窄的范围。 其次,它说明了当fx)在b上连续时,∫,/(O是f(x)在a 上的一个原函数,这就是我们在第六章§3所断言的:任何连续函数 必存在原函数。如∫d是的一个原函数,∫ed是e-的 个原函数,等等。 另外它还给出了对「(d这种形式的函数求导(通常称为“对积 分上限求导”)的一个法则:(r(dr)=f
注 定理 7.3.1 具有非常重要的意义。 首先，它扩展了函数的形式。 ( )d x a f t t 与我们所熟悉的初等函数形 式迥异，但它确实是一种函数的表示形式，它使我们对函数的认识冲 出了初等函数的束缚，不再囿于这狭窄的范围。 其次，它说明了当 f (x)在[a, b]上连续时， ( )d x a f t t 正是 f (x)在[a, b] 上的一个原函数，这就是我们在第六章§3 所断言的：任何连续函数 必存在原函数。如 sin d x a t t t 是 sin x x 的一个原函数， 2 e d x t a t − 是e −x 2 的一 个原函数，等等。 另外它还给出了对 ( )d x a f t t 这种形式的函数求导（通常称为“对积 分上限求导”）的一个法则：( ) ( )d ( ) x a f t t f x =
例73.1计算F(x)=Jsm√d的导数 解记u 则 F(x)=G(u)=sin tdt 由复合函数求导法则, F(x)=G(u),(x)=/d d SIn N x=2 xsin x
例 7.3.1 计算 2 0 ( ) sin d x F x t t = 的导数。 解 记 u = x 2 ，则 0 ( ) ( ) sin d u F x G u t t = = ， 由复合函数求导法则， 2 0 d d ( ) ( ) ( ) sin d 2 2 sin d d u u x F x G u u x t t x x x u u = = = =
例73.1计算F(x)=Jsm√d的导数 解记u 则 F(x)=G(u)=sin tdt 由复合函数求导法则, F(x)=G(u),(x)=/d d SIn N x=2 xsin x。 sin√tdt 例7.3.2求极限lim 解由于∫()dx=0,因此这个极限是。待定型。由 L'Hospital法 5 sin√tdt sin√tdt 0 2x sin x 2 lim lin lim x→0 x→0
例 7.3.2 求极限 2 0 3 0 sin d lim x x t t → x 。 解 由于 ( )d 0 a a f x x = ，因此这个极限是 0 0 待定型。由 L'Hospital 法 则， 2 0 3 0 sin d lim x x t t → x 2 0 3 0 sin d lim ( ) x x t t → x = = → lim sin x x x 0 x 2 2 3 = 2 3 。 例 7.3.1 计算 2 0 ( ) sin d x F x t t = 的导数。 解 记 u = x 2 ，则 0 ( ) ( ) sin d u F x G u t t = = ， 由复合函数求导法则， 2 0 d d ( ) ( ) ( ) sin d 2 2 sin d d u u x F x G u u x t t x x x u u = = = =
定理7.3.1最重要的应用就是可以导出微积分学中最为重要的结 论—微积分基本定理。 定理73.2(微积分基本定理)设f(x)在[a,上连续,F(x)是f(x) 在[a,b]上的一个原函数,则成立 . f( dx= F(b)-F(a)
定理 7.3.1 最重要的应用就是可以导出微积分学中最为重要的结 论——微积分基本定理。 定理 7.3.2 (微积分基本定理) 设 f (x)在[a, b]上连续，F(x) 是 f (x) 在[a, b]上的一个原函数，则成立( )d ( ) ( ) b a f x x F b F a = −
定理7.3.1最重要的应用就是可以导出微积分学中最为重要的结 论—微积分基本定理。 定理73.2(微积分基本定理)设f(x)在[a,上连续,F(x)是f(x) 在[a,b]上的一个原函数,则成立 . f( dx= F(b)-F(a) 证设F(x)是f(x)在a,b]上的任一个原函数,而由定理7.3.1, ∫f(or也是f(x)在b上的一个原函数,因而两者至多相差一个常数 f(tdt= F(x)+C, 令x=a,即得到C=-F(a),所以 f(tdt=F(x)-F(a) 再令x=b,便得到 ∫f(xdx=-∫)dr=F(b)-F(a)
证 设 F(x) 是 f (x) 在 [a, b] 上的任一个原函数，而由定理 7.3.1， ( )d x a f t t 也是 f (x)在[a, b]上的一个原函数，因而两者至多相差一个常数。 记 ( )d ( ) x a f t t F x C = + ， 令 x = a ，即得到C = −F(a)，所以( )d ( ) ( ) x a f t t F x F a = − 。 再令 x = b，便得到 ( )d ( )d ( ) ( ) b b a a f x x f t t F b F a = = − 。 定理 7.3.1 最重要的应用就是可以导出微积分学中最为重要的结 论——微积分基本定理。 定理 7.3.2 (微积分基本定理) 设 f (x)在[a, b]上连续，F(x) 是 f (x) 在[a, b]上的一个原函数，则成立( )d ( ) ( ) b a f x x F b F a = −