§2反常积分的收敛判别法 反常积分的 Cauchy收敛原理 下面以∫f(x减x为例来探讨反常积分敛散性的判别法。 由于反常积分∫f(x)d收敛即为极限 limf(x)dx存在,因此对 其收敛性的最本质的刻画就是极限论中的 Cauchy收敛原理,它可以 表述为如下形式:
反常积分的 Cauchy 收敛原理 下面以 ( )d a f x x + 为例来探讨反常积分敛散性的判别法。 由于反常积分 ( )d a f x x + 收敛即为极限 lim A→+ ( )d A a f x x 存在，因此对 其收敛性的最本质的刻画就是极限论中的 Cauchy 收敛原理，它可以 表述为如下形式： §2 反常积分的收敛判别法
§2反常积分的收敛判别法 反常积分的 Cauchy收敛原理 下面以∫f(x减x为例来探讨反常积分敛散性的判别法。 由于反常积分∫f(x)d收敛即为极限lmJf(x)x存在,因此对 其收敛性的最本质的刻画就是极限论中的 Cauchy收敛原理,它可以 表述为如下形式: 定理821( auchy收敛原理)反常积分∫厂(x减收敛的充 分必要条件是:对任意给定的E>0,存在A≥a,使得对任意A,A≥A, 有 f(x)dx<8
定理 8.2.1（Cauchy 收敛原理） 反常积分 ( )d a f x x + 收敛的充 分必要条件是：对任意给定的 0，存在 A0 a ，使得对任意 A, A A0， 有 ( )d A A f x x 。 §2 反常积分的收敛判别法 反常积分的 Cauchy 收敛原理 下面以 ( )d a f x x + 为例来探讨反常积分敛散性的判别法。 由于反常积分 ( )d a f x x + 收敛即为极限 lim A→+ ( )d A a f x x 存在，因此对 其收敛性的最本质的刻画就是极限论中的 Cauchy 收敛原理，它可以 表述为如下形式：
定义8.2.1设f(x)在任意有限区间[a,4]c{a,+∞)上可积,且 ∫。1f(x)dx收敛,则称∫f(xd绝对收敛(或称f(x)在a+∞)上绝对 可积)。 若f(x)x收敛而非绝对收敛,则称∫f(x)dx条件收敛(或称 f(x)在{a,+∞)上条件可积)
定 义 8.2.1 设 f (x) 在任意有限区间 [a, A] [a,+) 上可积，且 | ( ) | d a f x x + 收 敛，则 称 ( )d a f x x + 绝对收敛（或称 f (x)在[a,+)上绝 对 可积）。 若 ( )d a f x x + 收敛而非绝对收敛，则称 ( )d a f x x + 条件收敛（或 称 f (x)在[a,+)上条件可积）
推论若反常积分∫。f(x)dx绝对收敛,则它一定收敛。 证对任意给定的c>0,由于∫(x)dx收敛,所以存在A≥a, 使得对任意A,A≥A,成立 f(x) dx 利用定积分的性质,得到 f(x)dx≤.|f(x)|dx< 由 Cauchy收敛原理,可知∫f(x)x收敛
推论 若反常积分 ( )d a f x x + 绝对收敛，则它一定收敛。 证 对任意给定的 0，由于 | ( ) | d a f x x + 收敛，所以存在 A0 a ， 使得对任意 A, A A0 ，成立 | ( ) | d A A f x x 。 利用定积分的性质，得到( )d A A f x x | ( ) | d A A f x x ， 由 Cauchy 收敛原理，可知 ( )d a f x x + 收敛
虽然 Cauchy收敛原理是判别反常积分收敛性的充分必要条件, 但是对于具体的反常积分,在使用上往往比较困难,因此需要导出一 些便于使用的收敛判别法。 我们先讨论非负函数反常积分的收敛判别法 非负函数反常积分的收敛判别法 定理8.2.2(比较判别法)设在[a,+∞)上恒有0≤f(x)≤K(x),其 中K是正常数。则 (1)当∫。(x)dx收敛时∫f(xx也收敛 (2)当∫f(x)dx发散时∫xdx也发散
虽然 Cauchy 收敛原理是判别反常积分收敛性的充分必要条件， 但是对于具体的反常积分，在使用上往往比较困难，因此需要导出一 些便于使用的收敛判别法。 我们先讨论非负函数反常积分的收敛判别法。 非负函数反常积分的收敛判别法 定理 8.2.2（比较判别法） 设在[ , ) a + 上恒有0 f (x) K(x)，其 中K 是正常数。则 （1）当 ( )d a x x + 收敛时 ( )d a f x x + 也收敛； （2）当 ( )d a f x x + 发散时 ( )d a x x + 也发散
例821讨论2 eoSin dx的敛散性(a是常数)。 解因为当x≥1时有 coS 2xsin x Xix 在例8.1.2中,已知∫x收敛,由比较判别法,∫ +oo cos zxsinx √x+a 对收敛,所以∫ +oo cos 2xsinx dx收敛 x +a 注意:在以上定理中,条件“在[a,+∞)上恒有0≤f(x)≤Ko(x)”, 可以放宽为“存在A≥a,在[A+∞)上恒有0≤f(x)≤K(x)
例 8.2.1 讨论 1 3 2 cos 2 sin d x x x x a + + 的敛散性（a是常数）。 解 因为当 x 1时有 x a x x cos 2x sin x 1 3 2 + ， 在例 8.1.2 中，已知 1 1 dx x x + 收敛，由比较判别法， 1 3 2 cos 2 sin d x x x x a + + 绝 对收敛，所以 1 3 2 cos 2 sin d x x x x a + + 收敛。 注意：在以上定理中，条件“在[a, + )上恒有0 f (x) K(x)”， 可以放宽为“存在 A a，在[A,+ )上恒有0 f (x) K(x)
推论(比较判别法的极限形式)设在[a,+∞)上恒有f(x)≥0和 0(x)≥0,且 f(x P(x) (1)若0≤1<+∞,则∫(x减收敛时∫。f(x)dx也收敛 (2)若0<1≤+∞,则∫。(x减发散时∫f(x)dx也发散 所以,当0<1<+0时,∫。(x)dx和∫。f(x)d同时收敛或同时发散
推论（比较判别法的极限形式）设 在 [ , ) a + 上恒有 f x( ) 0 和 (x) 0，且 l x f x x = →+ ( ) ( ) lim ， 则 ⑴ 若0 l + ，则 ( )d a x x + 收敛时 ( )d a f x x + 也收敛； ⑵ 若0 l + ，则 ( )d a x x + 发散时 ( )d a f x x + 也发散。 所以，当 0 + l 时， ( )d a x x + 和 ( )d a f x x + 同时收敛或同时发散
证()若m(x)=1<+,则存在常数A≥a,当x≥A时成立 x→)+ <l+ f(x)<(+1)(x) 于是,由比较判别法,当∫(x)收敛时∫(x)也收敛
证 ⑴ 若 = + →+ l x f x x ( ) ( ) lim ，则存在常数 A a ，当 x A 时成立 1 ( ) ( ) l + x f x ， 即 f (x) (l +1)(x)。 于是，由比较判别法，当 ( )d a x x + 收敛时 ( )d a f x x + 也收敛
证()若m(x)=10,存在常数A≥a,使得当x≥4时成立 x)+0(x) f(x) P(x) 其中0l9(x) 于是,由比较判别法,当∫(x)发散时∫f(x)x也发散
⑵ 若 0 ( ) ( ) lim = →+ l x f x x ，存在常数 A a ，使得当 x A 时成立 l x f x ( ) ( ) ， 其中0 l l（当l = +时，l 可取任意正数）即 f (x) l(x) 。 于是，由比较判别法，当 ( )d a x x + 发散时 ( )d a f x x + 也发散。 证 ⑴ 若 = + →+ l x f x x ( ) ( ) lim ，则存在常数 A a ，当 x A 时成立 1 ( ) ( ) l + x f x ， 即 f (x) (l +1)(x)。 于是，由比较判别法，当 ( )d a x x + 收敛时 ( )d a f x x + 也收敛
例82.2讨论」 dx的敛散性 x 3x3+5x2+2x-1 解因为 lim +3x3+5x2+2x 由于∫4x收敛,所以「 +∞ dx收敛 x4+3x3+5x2+2x-1
例 8.2.2 讨论 1 3 4 3 2 1 d 3 5 2 1 x x x x x + + + + − 的敛散性。 解 因为 lim x→+ x x x x x 3 4 3 4 3 2 3 5 2 1 1 + + + − = ， 由于 1 3 4 1 dx x + 收敛，所以 1 3 4 3 2 1 d 3 5 2 1 x x x x x + + + + − 收敛