数学建模与数学实验 数 据的统计描述和分析
数学建模与数学实验 数据的统计描述和分析
实验目的 直观了解统计基本内容 2.掌握用数学软件包求解统计问题 溪验内容 工.统计的基本理论 2用数学软件包求解统计间题 3.实验作业
实验目的 实验内容 2．掌握用数学软件包求解统计问题. 1．直观了解统计基本内容. 1．统计的基本理论. 3．实验作业. 2．用数学软件包求解统计问题
数据的统计描述和分析 统计的基本概念 参数估计
统计的基本概念 参数估计 假设检验 数据的统计描述和分析
统计量 丸 1.表示位置的统计量一平均值和中位数 平均值(或均值,数学期望):X=∑X 中位数:将数据由小到大排序后位于中间位置的那个数值 2.表示变异程度的统计量一标准差、方差和极差 标准差:S=[∑(X1-X) 它是各个数据与均值偏离程度的度量 方差:标准差的平方 极差:样本中最大值与最小值之差
1. 表示位置的统计量—平均值和中位数. 平均值（或均值，数学期望）： = = n i Xi n X 1 1 中位数：将数据由小到大排序后位于中间位置的那个数值. 2. 表示变异程度的统计量—标准差、方差和极差. 标准差： 2 1 1 2 ( ) ] 1 1 [ = − − = n i Xi X n s 它是各个数据与均值偏离程度的度量. 方差：标准差的平方. 极差：样本中最大值与最小值之差. 一、统计量
3.表示分布形状的统计量一偏度和峰度 偏度:81=2(X-X)峰度:82=2(X-X) 偏度反映分布的对称性,g1>0称为右偏态,此时数据位于均值 右边的比位于左边的多;g1<0称为左偏态,情况相反;而g1接近0 则可认为分布是对称的 峰度是分布形状的另一种度量,正态分布的峰度为3,若g比3 大很多,表示分布有沉重的尾巴,说明样本中含有较多远离均值的数 据,因而峰度可用作衡量偏离正态分布的尺度之一 4.k阶原点矩:V1 ∑Xk阶中心矩:Uk=∑(X,-X) n i=l
3. 表示分布形状的统计量—偏度和峰度 偏度： = = − n i Xi X s g 1 3 1 3 ( ) 1 峰度： = = − n i Xi X s g 1 4 2 4 ( ) 1 偏度反映分布的对称性，g1 >0 称为右偏态，此时数据位于均值 右边的比位于左边的多；g1 <0 称为左偏态，情况相反；而 g1接近 0 则可认为分布是对称的. 峰度是分布形状的另一种度量，正态分布的峰度为 3，若 g2比 3 大很多，表示分布有沉重的尾巴，说明样本中含有较多远离均值的数 据，因而峰度可用作衡量偏离正态分布的尺度之一. 4. k 阶原点矩： = = n i k k Xi n V 1 1 k 阶中心矩： = = − n i k k Xi X n U 1 ( ) 1
二、分布函数的近似求法 1整理资料:把样本值x1,x2,…,xn进行分组,先将它们依大小次序排列, 得x≤x2≤…≤xn在包含[x,x]的区间[a,b内插入一些等分点: a<x1<x<…<x< b,注意要使每一个区间(x12x1](F=1,2,…,n1) 内都有样本观测值x1(i=1,2,…,n-1)落入其中 2求出各组的频数和频率:统计出样本观测值在每个区间(x2x1]中出 现的次数n,它就是这区间或这组的频数计算频率f 3作频率直方图:在直角坐标系的横轴上,标出x1,x2…,xn各点,分别以 (x,x1为底边,作高为的矩形,Ax1=x1-x1=12,…,n-1,即得 频率直方图
二、分布函数的近似求法 1.整理资料： 把样本值 x1，x2，…，xn进行分组，先将它们依大小次序排列， 得 * * 2 * 1 n x x x .在包含[ , ] * * 1 n x x 的区间[a，b]内插入一些等分点： , ' ' 2 ' a x1 x xn b 注意要使每一个区间( , ] ' 1 ' i i+ x x （i=1，2，…，n-1） 内都有样本观测值 xi（i=1，2，…，n-1）落入其中. 2.求出各组的频数和频率：统计出样本观测值在每个区间( , ] ' 1 ' i i+ x x 中出 现的次数 i n ，它就是这区间或这组的频数.计算频率 n n f i i = . 3.作频率直方图：在直角坐标系的横轴上，标出 ' ' 2 ' 1 , , , n x x x 各点，分别以 ( , ] ' 1 ' i i+ x x 为底边，作高为 ' i i x f 的矩形， , 1,2, , 1 ' ' 1 ' xi = xi+ − xi i = n − ,即得 频率直方图
几个在统计中常用的概率分布 1.正态分布N(2G2) (x- 密度函数:p(x) e 分布函数:F(x) 2 √2丌o 2丌 其中为均值,σ为方差,-∞<x<+ 标准正态分布:N(0,1) 0 密度函数 035 0(x)=1-2 e 2丌 0.2 分布函数 (x) 2丌
三、几个在统计中常用的概率分布 -4 -2 0 2 4 6 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 1．正态分布 ( , ) 2 N m s 密度函数： 2 2 2 ( ) 2 1 ( ) s m ps − − = x p x e 分布函数：F x e dy y x 2 2 2 ( ) 2 1 ( ) s m ps − − − = 其中m 为均值， 2 s 为方差，− x +. 标准正态分布：N（0，1） 密度函数 2 2 2 1 ( ) x x e − = p j x e dy y x 2 2 2 1 ( ) − − F = p 分布函数
2.x2分布x2(m) 若随机变量X,Y2,…,n相互独立,都 服从标准正态分布N(0,1),则随机变量 y=X2+X2+…+X2 服从自由度为n的x2分布,记为Y~x2(n) Y的均值为n,方差为2n
0 5 10 15 20 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 2. 2 分布 2 (n) 若随机变量 X1，X2，…，Xn 相互独立，都 服从标准正态分布 N（0，1），则随机变量 Y= 2 2 2 2 X1 + X ++ Xn 服从自由度为 n 的 2 分布，记为 Y~ 2 （n）. Y 的均值为 n，方差为 2n
3.t分布t(mn) 若XN(0,1),Y~x2(n),且相互独 立,则随机变量 T 服从自由度为n的t分布,记为T~t(n) t(20)分布的密度函数曲线和N(0,1)的 曲线形状相似理论上n→>∞时,T~t(n)→>N(0,1)
3. t 分布 t（n） 若 X~N（0，1），Y~ 2 （n），且相互独 立，则随机变量 n Y X T = 服从自由度为 n 的 t 分布，记为 T~t（n）. t（20）分布的密度函数曲线和 N（0，1）的 曲线形状相似.理论上 n→ 时，T~t（n）→N（0，1）. -6 -4 -2 0 2 4 6 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4
4.F分布F(m1,n2) 若Xx2(n1),Y~x2(n2),且相互独立,则随机变量 F X-nyn 服从自由度为(n1,n2)的F分布,记作F~F(n1,n2) 由F分布的定义可以得到F分布的 个重要性质 若F~F(m1,m2,则~F(n2,n1) F F(10,50)分布的密度函数曲线 返回
4. F 分布 F（n1，n2） 若 X~ 2 （n1），Y~ 2 （n2），且相互独立，则随机变量 2 1 n Y n X F = 服从自由度为（n1，n2）的 F 分布，记作 F~ F（n1，n2）. 由 F 分布的定义可以得到 F 分布的 一个重要性质： 若 F~ F（n1，n2），则 ~ ( , ) 1 F n2 n1 F 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 返回 F（10，50）分布的密度函数曲线