§6方程的近似求解 解析方法和数值方法 求方程 f(x)=0 的解(或根),就是要寻找一个数x,使得满足 f(x)=0。 求方程的解主要方法有两种:解析方法和数值方法
解析方法和数值方法 求方程 f (x) = 0 的解（或根），就是要寻找一个数 x *，使得满足 ( ) 0 * f x = 。 求方程的解主要方法有两种：解析方法和数值方法。 §6 方程的近似求解
§6方程的近似求解 解析方法和数值方法 求方程 f(x)=0 的解(或根),就是要寻找一个数x,使得满足 f(x)=0。 求方程的解主要方法有两种:解析方法和数值方法。 解析方法也称为公式法,它是将方程的解表达为方程的系数的函 数形式,只要把待求的方程的系数代入表达式,就可以求出方程的解。 例如,对于一元二次方程 ax2+bx+c=0,(a≠0), 可以得到它的两个解为 b±√b2-4ac 2a
解析方法也称为公式法，它是将方程的解表达为方程的系数的函 数形式，只要把待求的方程的系数代入表达式，就可以求出方程的解。 例如，对于一元二次方程 ax bx c a 2 + + = 0, ( 0)， 可以得到它的两个解为 x x b b ac a 1 2 2 4 2 , = − − 。 §6 方程的近似求解 解析方法和数值方法 求方程 f (x) = 0 的解（或根），就是要寻找一个数 x *，使得满足 ( ) 0 * f x = 。 求方程的解主要方法有两种：解析方法和数值方法
数值方法是一种求近似解的方法。由于实际问题中绝大多数方程 都无法找到其解析解,因此,数值方法是用数学工具解决实际问题过 程中的一个重要方法
数值方法是一种求近似解的方法。由于实际问题中绝大多数方程 都无法找到其解析解，因此，数值方法是用数学工具解决实际问题过 程中的一个重要方法
数值方法是一种求近似解的方法。由于实际问题中绝大多数方程 都无法找到其解析解,因此,数值方法是用数学工具解决实际问题过 程中的一个重要方法 二分法 对于一个实的方程 f(x)=0, 最简单的数值求解方法为二分法。 设f(x)在a,b中连续,且成立 f(a)·f(b)<0, 那么在[ab至少存在着f(x)的一个解x。我们希望求出它的近似值x, 满足 E0 这里c是预先给定的精度要求
二分法 对于一个实的方程 f (x) = 0， 最简单的数值求解方法为二分法。 设 f (x)在[a, b]中连续，且成立 f (a) f (b) 0 ， 那么在[a, b]至少存在着 f (x)的一个解 x * 。我们希望求出它的近似值 ~ x ， 满足 * 0 x x − ， 这里 0 是预先给定的精度要求。 数值方法是一种求近似解的方法。由于实际问题中绝大多数方程 都无法找到其解析解，因此，数值方法是用数学工具解决实际问题过 程中的一个重要方法
(1)记[a,b1[ab];取x1为[a1,b]的中点,即x1 +b (2)计算f(x1) 若f(x1)=0,则x1即为方程的解x,取x=x,计算结束。 (3)否则,按如下规则得到区间[a2,b2]: (a)若f(x1)·f(b1)0。 此时f(a1)·f(x1)<0,因此f(x)的解在[a1,x1中,取a2=a1, b 易知x'∈[a2,b2],且{a2,b2]的长度是[an,b1]的一半。 (4)取x2为(a2,b2的中点。 (5)类似地,若x2是方程的解x,计算结束;否则可以得到[a3b2] 6)重复上述过程
⑴ 记 [a ,b ] 1 1 =[a, b]；取 x1为[a ,b ] 1 1 的中点，即 x a b 1 1 1 2 = + 。 ⑵ 计算 f (x ) 1 ： 若 f (x ) 1 = 0，则 x1即为方程的解 x *，取 ~ x = x1，计算结束。 ⑶ 否则，按如下规则得到区间[a ,b ] 2 2 ： (a)若 f (x ) f (b ) 1 1 0。 此时 f (x)的解在[x ,b ] 1 1 中，取a x 2 = 1，b b 2 = 1。 (b)若 f (x ) f (b ) 1 1 0。 此时 f (a ) f (x ) 1 1 0，因此 f (x) 的解在[a , x ] 1 1 中，取a2 = a1， b x 2 = 1 . 易知 x * [a ,b ] 2 2 ，且[a ,b ] 2 2 的长度是[a ,b ] 1 1 的一半。 ⑷ 取 x 2为[a ,b ] 2 2 的中点。 ⑸ 类似地，若 x 2是方程的解 x *，计算结束；否则可以得到[a ,b ] 3 3 。 ⑹ 重复上述过程……
假设执行过程中没有发生x恰好等于x的情况,由于对任何k都 有 b 因此{a,b]的中点x与精确解x的距离不会超过[a,b]长度的一半,即 成立 b-a x4-x≤ ≤E0 所以,当执行到 k 时,必有 Eo 于是,=x便是符合精度要求的近似解
假设执行过程中没有发生 xk 恰好等于 x * 的情况，由于对任何 k 都 有 b a b a k − k = k − − 2 1 ， 因此[a ,b ] k k 的中点 xk 与精确解 x *的距离不会超过[ , ] ak bk 长度的一半，即 成立 x x k − * 0 2 2 k k k b a b a − − = ， 所以，当执行到 + − = 0 2 log b a k 时，必有 x x k − * 0 ， 于是， k x x = 便是符合精度要求的近似解
Newton迭代法 数值计算中常用的求近似值的方法是迭代法。先将原来的方程 (X 化为等价的形式 F(x) 所谓“等价”是指若x是方程∫(x)=0的解,则成立 F(x') 反之亦然。这里的F(x)称为送代函数
Newton 迭代法 数值计算中常用的求近似值的方法是迭代法。先将原来的方程 f (x) = 0 化为等价的形式 x = F(x)， 所谓“等价”是指若 x * 是方程 f (x) = 0的解，则成立 x* F x* = ( )， 反之亦然。这里的 F(x)称为迭代函数
取一个适当的初始值x,按 xk+1=F(xk),k=0,1,2,… 产生序列{xA}(设每个x都属于F(x)的定义域),这样的计算过程称为 迭代。若成立 (k→>∞), 则x就是原方程的解。因此只要在迭代过程中,选取某个合适的x作 为ⅹ,就得到原方程的近似解了。 构造迭代函数可以有多种方法,最简单的可以取 F(x)=x-f(x) 下面我们利用 Taylor公式来构造迭代函数
取一个适当的初始值 x 0 ，按 x F x k k+1 = ( k ), = 0, 1, 2, 产生序列{x }k （设每个xk 都属于F(x)的定义域），这样的计算过程称为 迭代。若成立 ( ) * xk → x k → ， 则 x *就是原方程的解。因此只要在迭代过程中，选取某个合适的xk 作 为 ~ x ，就得到原方程的近似解了。 构造迭代函数可以有多种方法，最简单的可以取 F(x) = x − f (x)。 下面我们利用 Taylor 公式来构造迭代函数
设f(x)在含有x的某个区间[a,b中具有二阶连续导数,且对于每 个x∈{ab],都有f(x)≠0。作出f(x)在x处的 Taylor公式,由于x是 方程f(x)=0的解,则有 f(x)=f(x)+f(x)(x-x)+f"() 0, 也即 f(x)f"()(x-x) X =x
设 f (x) 在含有 x * 的某个区间 [a, b] 中具有二阶连续导数，且对于每 个 x [a,b]，都有 f (x) 0。作出 f (x ) * 在 x 处的 Taylor 公式，由于 x * 是 方程 f (x) = 0的解，则有 * 2 * * ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) 0 2 x x f x f x f x x x f − = + − + = ， 也即 * 2 * ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 f x f x x x x f x f x − = − −
当x→x*时,上式的最后一项是趋向于零的,因此有 x) lim f(x) x→x f(x 这样, f'(x) 就是一个满足x=F(x)要求的迭代函数,由此得到迭代公式 k=0,1,2, f(xr) 这就是著名的 Newton迭代法(简称 Newton法)
当 x → x * 时，上式的最后一项是趋向于零的，因此有 * * * * * ( ) ( ) ( ) ( ) lim x f x f x x f x f x x x x = = − − → 。 这样， F x x f x f x ( ) ( ) ( ) = − 就是一个满足x* F x* = ( )要求的迭代函数，由此得到迭代公式 x x f x f x k k k k k + = − 1 = 0 1 2 ( ) ( ) , , , ,， 这就是著名的 Newton 迭代法（简称 Newton 法）
