§3 Fourier级数的性质 Fourier级数的分析性质 为简单起见,假定f(x)的周期为2兀。 首先,利用 Riemann引理可以直接得出 定理16.3.1设f(x)在[-πx上可积或绝对可积,则对于f(x)的 Fourier系数an与bn,有 iman=0, lim b=0。 n→)0 n→0
Fourier 级数的分析性质 为简单起见，假定 f (x)的周期为2π。 首先，利用 Riemann 引理可以直接得出 定 理 16.3.1 设 f (x)在[−π,π]上可积或绝对可积，则对于 f (x)的 Fourier 系数 n a 与 n b ，有 lim = 0 → n n a ，lim = 0 → n n b 。 §3 Fourier级数的性质
定理16.3.2( Fourier级数的逐项积分定理)设f(x)在[xm上 可积或绝对可积, +∑( a. cos nx+ b sin nx), 2后 则f(x)的 Fourier级数可以逐项积分,即对于任意c,x∈[-πr, ∫dr=.d1+∑∫ (a, cos nt+ b, sin nt )dt
定 理 16.3.2（Fourier 级数的逐项积分定理） 设 f (x) 在 [−π,π] 上 可积或绝对可积，f (x) ~ a a nx b nx n n n 0 2 1 + + = ( cos sin )， 则 f (x)的 Fourier 级数可以逐项积分，即对于任意c x, [ −π,π]， ( )d x c f t t 0 1 d ( cos sin )d 2 x x n n c c n a t a nt b nt t = = + +
定理16.3.2( Fourier级数的逐项积分定理)设f(x)在[xm上 可积或绝对可积, do +2(a, cos nx+b, sin nx), 则f(x)的 Fourier级数可以逐项积分,即对于任意c,x∈[-π,π], ∫()d=ta+ (a, cos nt+b, sin nt ) dt 2 证这里仅对f(x)在[-,x上只有有限个第一类不连续点的情况 加以证明
证 这里仅对 f (x)在[−π,π]上只有有限个第一类不连续点的情况 加以证明。 定 理 16.3.2（Fourier 级数的逐项积分定理） 设 f (x) 在 [−π,π] 上 可积或绝对可积，f (x) ~ a a nx b nx n n n 0 2 1 + + = ( cos sin )， 则 f (x)的 Fourier 级数可以逐项积分，即对于任意c x, [ −π,π]， ( )d x c f t t 0 1 d ( cos sin )d 2 x x n n c c n a t a nt b nt t = = + +
考虑函数 F(x)=|f(1) dt o 2 由定理7.3.1可知F(x)是周期为2的连续函数,且在f(x)的连 续点,成立F(x)=f(x)-20,而在f(x)的第一类不连续点,F(x)的两 个单侧导数 x 都存在。由 Dini-Lipschitz判别法的推论,F(x)可展开为收敛的 Fourier 级数 F(x)=+2(A, cos nx +B, sin nx)o
考虑函数 F(x) = 0 ( ) d 2 x c a f t t − 。 由定理 7.3.1 可 知 F(x)是周期为2的连续函数，且在 f (x)的连 续点，成立 F x = f x − a ( ) ( ) 0 2 ，而在 f (x)的第一类不连续点，F(x)的两 个单侧导数 F (x) = f (x)- 2 0 a 都存在。由Dini-Lipschitz 判别法的推论，F(x)可展开为收敛的Fourier 级数 F(x) = A A nx B nx n n n 0 2 1 + + = ( cos sin )
利用分部积分法,即有 SIn nx F(x)cos nxd x F(x) F(x)sin ndx T f(x) sinnxax= - 类似可得 于是 cos nx+-sin nx 2
利用分部积分法，即有 An = π -π 1 ( )cos d π F x nx x π π π -π 1 sin 1 ( ) ( )sin d π π nx F x F x nx x n n − = − π 0 π 1 ( ) sin d π 2 a f x nx x n − = − − = − b n n 。 类似可得 B a n n n = 。 于是 F(x) = = + − + 1 0 cos sin 2 n n n nx n a nx n A b
令x=c,有 0 ∑ cos nc+ -sin nc 两式相减并整理,即得到 Sin nx- sin nc cos nx+ cos nc F(x) f(1)-0dt= 2 ∑|an +6 sin nt)d
令 x = c ，有 = = + − + 1 0 cos sin 2 0 n n n nc n a nc n A b ， 两式相减并整理，即得到 F(x) = 0 ( ) d 2 x c a f t t − = − + + − = 1 sin sin cos cos n n n n nx nc b n nx nc a 1 ( cos sin )d x n n c n a nt b nt t = = +
令x=c,有 0 ∑ cos nc+ -sin nc 两式相减并整理,即得到 ∑|an Sin nx- sin nc cos nx+ cos nc F(x) f(1)-0dt= 2 ∑∫(a,cosm+bsm)dr 定理16.3.2说明,只要f(x)可以展成 Fourier级数 f(x) ∑( a. cos nx+ b sin nx) n=1 哪怕这个级数并不表示f(x),甚至根本不收敛,它的逐项积分级数 也一定能收敛于f(x)的积分
定理 16.3.2 说明，只要 f (x)可以展成 Fourier 级数 f (x) ~ a a nx b nx n n n 0 2 1 + + = ( cos sin )， 哪怕这个级数并不表示 f (x)，甚至根本不收敛，它的逐项积分级数 也一定能收敛于 f (x)的积分。 令 x = c ，有 = = + − + 1 0 cos sin 2 0 n n n nc n a nc n A b ， 两式相减并整理，即得到 F(x) = 0 ( ) d 2 x c a f t t − = − + + − = 1 sin sin cos cos n n n n nx nc b n nx nc a 1 ( cos sin )d x n n c n a nt b nt t = = +
从定理16.3.2的证明,我们还顺便得到了判断一个三角级数 是否为 Fourier级数的一个必要条件 推论16.3.1+∑( a. cos nx+ 6. sin nx)是某个在[兀上可积或 n=1 绝对可积函数的 Fourier级数的必要条件是∑收敛
从定 理 16.3.2 的证明，我们还顺便得到了判断一个三角级数 是否为 Fourier 级数的一个必要条件。 推 论 16.3.1 a a nx b nx n n n 0 2 1 + + = ( cos sin )是某个在[−π,π]上可积或 绝对可积函数的 Fourier 级数的必要条件是 b n n n= 1 收敛
从定理16.3.2的证明,我们还顺便得到了判断一个三角级数 是否为 Fourier级数的一个必要条件。 推论16.3.1+∑( a. cos nx+ 6. sin nx)是某个在[兀上可积或 n=1 绝对可积函数的 Fourier级数的必要条件是∑收敛。 由推论16.3.1可知并不是任意一个收敛的三角级数就一定是某 个可积或绝对可积函数的 Fourier级数的。比如三角级数∑mn,由 是某个可积或绝对可积函数的 Fourier级数h发散,它不可能 Dirichlet判别法可知它是点点收敛的,但由于∑
由推论 16.3.1 可 知并不是任意一个收敛的三角级数就一定是某 个可积或绝对可积函数的 Fourier 级数的。比如三角级数 =2 ln sin n n nx ，由 Dirichlet 判别法可知它是点点收敛的，但由于 =2 ln 1 n n n 发散，它不可能 是某个可积或绝对可积函数的 Fourier 级数。 从定 理 16.3.2 的证明，我们还顺便得到了判断一个三角级数 是否为 Fourier 级数的一个必要条件。 推 论 16.3.1 a a nx b nx n n n 0 2 1 + + = ( cos sin )是某个在[−π,π]上可积或 绝对可积函数的 Fourier 级数的必要条件是 b n n n= 1 收敛
Fourier级数逐项微分的结果就远没有这么好了。一般说来, Fourier级数是不能逐项微分的,除非是加上特别的条件。 定理16.3.3( Fourier级数的逐项微分定理)设f(x)在[x上 连续, a f(x)+2(a, cos nx+b, sin nx), 2 f(-x)=f(x),且除了有限个点外f(x)可导。进一步假设f(x)在[xm上 可积或绝对可积(注意:f(x)在有限个点可能无定义,但这并不影 响其可积性)。则∫(x)的 Fourier级数可由∫(x)的 Fourier级数逐项微 分得到,即 /'(x)-d g+2d(a, cos mr+b, sin nx) n=lax ∑(- a nsin nx+b, n cosnx)
Fourier 级数逐项微分的结果就远没有这么好了。一般说来， Fourier 级数是不能逐项微分的，除非是加上特别的条件。 定 理 16.3.3（Fourier 级数的逐项微分定理） 设 f (x)在[−π,π]上 连续， f (x) ~ a a nx b nx n n n 0 2 1 + + = ( cos sin )， f f (− = π) (π) ，且除了有限个点外 f (x)可导。进一步假设 f (x)在[−π,π]上 可积或绝对可积（注意： f (x)在有限个点可能无定义，但这并不影 响其可积性）。则 f (x)的 Fourier 级数可由 f (x)的 Fourier 级数逐 项微 分得到，即 f (x) ~ 0 1 d d ( cos sin ) d 2 d n n n a a nx b nx x x = + + = = − + 1 ( sin cos ) n an n nx bn n nx