《数学分析》课程电子教案（PPT课件）第十四章 曲线积分、曲面积分与场论（14.1）第一类曲线积分与第一类曲面积分

第十四章曲线积分、曲面积分与场论 §1第一类曲线积分与第一类曲面积分 第一类曲线积分 设一条具有质量的空间曲线L上任一点(x,y,z)处的线密度为 p(x,y,2)。将L分成n个小曲线段L(=1,2…,n),并在L上任取一点 (5,k1),那么当每个L的长度△s都很小时,L的质量就近似地等于 p(,,)As,于是整条L的质量就近似地等于 ∑p(5,7,5)△s 当对L的分割越来越细时,这个近似值的极限就是L的质量

第一类曲线积分 设一条具有质量的空间曲线 L 上任一点 (x, y,z) 处的线密度为 (x, y,z) 。将 L 分 成 n 个小曲线段 Li (i = 1,2,  , n ），并在 Li 上任取一点 ( , , )  i i  i ，那么当每个Li 的长度 si 都很小时，Li 的质量就近似地等于 i i i i ( , , )s ，于是整条L 的质量就近似地等于 =  n i i i i i s 1 ( , , ) 。 当对 L 的分割越来越细时，这个近似值的极限就是 L 的质量。 §1 第一类曲线积分与第一类曲面积分 第十四章 曲线积分、曲面积分与场论

利用这一思想我们引入第一类曲线积分的概念。 定义14.1.1设L是空间R3上一条可求长的连续曲线,其端点 为A和B,函数f(x,y,2)在L上有界。令A=P,B=P。在L上从A到B顺 序地插入分点P1,P2…,Pn1,再分别在每个小弧段P1P上任取一点 (5,n1),并记第个小弧段P2P的长度为△(i=1,2,…,n),作和式 ∑f(5,7,5)A, 如果当所有小弧段的最大长度λ趋于零时,这个和式的极限存在,且 极限值与分点{P}的取法及弧段PP上的点(,n1)的取法无关,则称 这个极限值为f(x,y,=)在曲线L上的第一类曲线积分,记为 ∫f(xyA或∫f(P) 即 ∫/(xy)ds=m/(,m) 其中f(x,y,)称为被积函数,L称为积分路径

利用这一思想我们引入第一类曲线积分的概念。 定义 14.1.1 设L 是空间 3 R 上一条可求长的连续曲线，其端点 为 A和B ，函数 f (x, y,z)在L 上有界。令 A = P B = Pn , 0 。在L 上从 A到B 顺 序地插入分点 1 2 1 , , , P P  Pn− ，再分别在每个小弧段Pi−1 Pi 上任取一点 ( , , )  i i  i ,并记第i 个小弧段Pi−1 Pi 的长度为 si（i = 1,2,  , n），作和式 =  n i i i i i f s 1 ( , , ) 。 如果当所有小弧段的最大长度 趋于零时，这个和式的极限存在，且 极限值与分点{ } Pi 的取法及弧段Pi−1 Pi 上的点( , , )  i i  i 的取法无关，则称 这个极限值为 f (x, y,z)在曲线L 上的第一类曲线积分，记为 ( , , )d L f x y z s  或 ( )d L f P s  。 即 0 1 ( , , )d lim ( , , ) n i i i i L i f x y z s f s     → =  =   。 其中 f (x, y,z)称为被积函数，L 称为积分路径

这样,本节一开始所要求的曲线L质量就可表为 M=∫P(x,yAs 在平面情形下,函数f(x,y)在平面曲线L上的第一类曲线积分记 为(x,Ad

这样，本节一开始所要求的曲线 L 质量就可表为 ( , , )d L M x y z s =  。 在平面情形下，函数 f (x, y)在平面曲线L 上的第一类曲线积分记 为 ( , )d L f x y s 

第一类曲线积分具有以下性质: 性质1(线性性)如果函数f,g在L上的第一类曲线积分存在, 则对于任何常数a,B,af+Bg在L上的第一类曲线积分也存在,且成 立 (af+Bg)ds=a fds+B 性质2(路径可加性)设曲线L分成了两段L,L2。如果函数f在 上的第一类曲线积分存在,则它在L和L2上的第一类曲线积分也存 在。反之,如果函数f在L和L2上的第一类曲线积分存在,则它在L上 的第一类曲线积分也存在。并成立 fds= fds+ fds

第一类曲线积分具有以下性质： 性质 1 （线性性）如果函数 f , g 在L 上的第一类曲线积分存在， 则对于任何常数,  ， f +  g 在L 上的第一类曲线积分也存在，且成 立 ( )d d d L L L     f g s f s g s + = +    。 性质 2（路径可加性）设曲线L 分成了两段 1 2 L L , 。如果函数 f 在 L 上的第一类曲线积分存在，则它在L1和L2上的第一类曲线积分也存 在。反之，如果函数 f 在L1和L2上的第一类曲线积分存在，则它在L 上 的第一类曲线积分也存在。并成立1 2 d d d L L L f s f s f s = + 

现在讨论如何计算第一类曲线积分。设L的方程为 x=x(1),y=y(t) ≤t≤B 其中x(),y(),x(x)具有连续导数,且x(.,y1(,=()不同时为零(即L为光 滑曲线),那么L是可求长的,且曲线的弧长为 Vx2(t)+y2(t)+z"(dt

现在讨论如何计算第一类曲线积分。设 L 的方程为 x = x(t), y = y(t), z = z(t),   t   ， 其中x(t), y(t), z(t) 具有连续导数，且 x (t), y (t), z (t) 不同时为零（即L 为光 滑曲线），那么L 是可求长的，且曲线的弧长为 2 2 2 s x t y t z t t ( ) ( ) ( )d   = + +    

现在讨论如何计算第一类曲线积分。设L的方程为 x=x(1),y=y(t) ≤t≤B 其中x(),y(),x(x)具有连续导数,且x(.,y1(,=()不同时为零(即L为光 滑曲线),那么L是可求长的,且曲线的弧长为 Vx2(t)+y2(t)+z"(dt。 定理14.1.1设L为光滑曲线,函数f(x,y,)在L上连续。则f(x,y,) 在L上的第一类曲线积分存在,且 f(x, y, =)ds=/ f(x(),y(,-()√x2(m)+y2(t)+z"(t)d

定理 14.1.1 设 L 为光滑曲线，函数 f (x, y,z)在 L 上连续。则 f (x, y,z) 在L 上的第一类曲线积分存在，且 2 2 2 ( , , )d ( ( ), ( ), ( )) ( ) ( ) ( )d L f x y z s f x t y t z t x t y t z t t   = + +      。 现在讨论如何计算第一类曲线积分。设 L 的方程为 x = x(t), y = y(t), z = z(t),   t   ， 其中x(t), y(t), z(t) 具有连续导数，且 x (t), y (t), z (t) 不同时为零（即L 为光 滑曲线），那么L 是可求长的，且曲线的弧长为 2 2 2 s x t y t z t t ( ) ( ) ( )d   = + +    

证记 =f(x(1)y(,x()√x2(t)+y()+z2()dr 作区间a,月的划分P:a=b≤<2<…<1n=B,在L上顺次插入分 点P(x(1),y(1),=()(=12,…,n-1),并设P=(x(a),y(a),=(a), P=(x(B,y(B,=(B)。记小弧段P1P的长度为△,那么它的弧长为 x2()+y2()+()dr。令 d=∑f(x(5),y(5),(5)△s, 其中(x()y()x(5)为弧段P1P上任意一点。那么 -1=∑f(x(5)y(4)25)A-mf(x(y)()x()+y(+=2(d ∑[(x)5:4)-(O0)=)小x(0)+y2()+=0

证 记 2 2 2 I f x t y t z t x t y t z t t ( ( ), ( ), ( )) ( ) ( ) ( )d   = + +     。 作区间[ , ]   的划分 0 1 2 P t t t : =     t n =  ， 在 L 上顺次插入分 点 P (x(t ), y(t ),z(t )) (i =1,2, ,n −1) i i i i  ，并设 ( ( ), ( ), ( )) P0 = x  y  z  ， P (x(), y(),z()) n = 。记小弧段 Pi−1 Pi 的长度为 i s ，那么它的弧长为 2 2 2 1 ( ) ( ) ( )d t i i t i s x t y t z t t −  = + +     。令 = =  n i i i i i f x y z s 1  ( ( ), ( ), ( )) ， 其中( ( ), ( ), ( )) i i i x  y  z  为弧段Pi−1 Pi 上任意一点。那么   2 2 2 1 2 2 2 1 1 ( ( ), ( ), ( )) ( ( ), ( ), ( )) ( ) ( ) ( )d ( ( ), ( ), ( )) ( ( ), ( ), ( )) ( ) ( ) ( )d n i i i i i n t i i i i t i i I f x y z s f x t y t z t x t y t z t t f x y z f x t y t z t x t y t z t t          = = − − =  − + +    = − + +      

设L的弧长为s。由于f(x,y,2)在紧集L上连续,因此一致连续 所以对任意给定的正数E,当=mx(△s,)充分小时,f(x,y,)在每个 弧段PP上的振幅均小于5/。于是成立 小∑,(x,y(,=(5)-f(x0y=()y(+y2()+=0)d l=17-1 E J√x(0)+y()+=(0=s S 从而得到 f(x, y, z)ds= limo=1 →0

设 L 的弧长为 s 。由于 f (x, y,z) 在紧集 L 上连续，因此一致连续。 所以对任意给定的正数  ，当 = max ( i s )充分小时， f (x, y,z)在每个 弧段Pi−1 Pi 上的振幅均小于 s  。于是成立 2 2 2 1 1 2 2 2 ( ( ), ( ), ( )) ( ( ), ( ), ( )) ( ) ( ) ( )d ( ) ( ) ( )d n t i i i i t i i I f x y z f x t y t z t x t y t z t t x t y t z t t s s s          = − −  − + +     + + = =      。 从而得到 ( , , )d L f x y z s =  lim   → = 0 I

设L的弧长为s。由于f(x,y,z)在紧集L上连续,因此一致连续。 所以对任意给定的正数E,当x=mx(△s,)充分小时,f(x,y,z)在每个 弧段PP上的振幅均小于%。于是成立 a-1∑(x),y(5)2(5)-(xO(0,0)Vx()+y2()+=°(d x2()+y2()+()dt=s=E 从而得到 f(x,y,z)ds=lima=1。 特别地,如果平面光滑曲线L的方程为 y=y(x),a≤x≤b ff(x, y)ds=lf(, y(x)/+y2(x)dx

特别地，如果平面光滑曲线 L 的方程为 y = y(x), a  x  b， 则 2 ( , )d ( , ( )) 1 ( )d b a L f x y s f x y x y x x = +    。 设 L 的弧长为 s 。由于 f (x, y,z) 在紧集 L 上连续，因此一致连续。 所以对任意给定的正数  ，当 = max ( i s )充分小时， f (x, y,z)在每个 弧段Pi−1 Pi 上的振幅均小于 s  。于是成立 2 2 2 1 1 2 2 2 ( ( ), ( ), ( )) ( ( ), ( ), ( )) ( ) ( ) ( )d ( ) ( ) ( )d n t i i i i t i i I f x y z f x t y t z t x t y t z t t x t y t z t t s s s          = − −  − + +     + + = =      。 从而得到 ( , , )d L f x y z s =  lim   → = 0 I

例141.1计算/=」eds,其中L为圆周x2+y2=a2,直线y=x 及x轴在第一象限所围图形的边界 B 图14.1.2

A O B x y a 图14.1.2 例 14.1.1 计算 2 2 e d x y L I s + =  ，其中L 为圆周 x y a 2 2 2 + = ，直线 y = x 及 x 轴在第一象限所围图形的边界