§4收敛准则 单调有界数列收敛定理 定理2.4.1单调有界数列必定收敛 证不妨设数列{x}单调增加且有上界,根据确界存在定理,由 {xn}构成的数集必有上确界β,β满足 (1)n∈N+:xn≤B; (2)VE>0,彐x B 取N=n,Vn>N: B-E<xn≤Xn≤B, 因而{xn-B<E,于是得到 B 证毕
单调有界数列收敛定理 定理2.4.1 单调有界数列必定收敛。 证 不妨设数列{ x n }单调增加且有上界，根据确界存在定理，由 { x n }构成的数集必有上确界 ， 满足： (1) + n N : xn ； (2) 0， xn0 : xn0 − 。 取 N n = 0 , n N ： − xn xn 0 ， 因而 n x − ，于是得到 lim n→ x n = 。 证毕 §4 收敛准则
注按极限定义证明一个数列收敛时,必须先知道它的极限是什 么。定理2.4.1的重要性在于,它使我们可以从数列本身出发去研究 其敛散性,进而,在判断出数列收敛时,利用极限运算去求出相应 的极限
注 按极限定义证明一个数列收敛时，必须先知道它的极限是什 么。定理2.4.1的重要性在于，它使我们可以从数列本身出发去研究 其敛散性，进而，在判断出数列收敛时，利用极限运算去求出相应 的极限
例2.4.1设x1>0, 1+ n=1.2,3…。证明数列{xn} 1+x 收敛,并求它的极限 解首先,应用数学归纳法可直接得到:当n≥2时, 1<x.<2 然后由xn1=1+ (n=12,3,…)可得 1+ (1+xn)(1+xn-1) 这说明对一切n≥2,xn1-xn具有相同符号,从而{xn}是单调数列。由 定理2.4.1,{x}收敛
例2.4.1 设 x1 0 , xn+1 =1 1 + + x x n n ,n = 1,2,3, 。证明数列{ x n } 收敛，并求它的极限。 解 首先，应用数学归纳法可直接得到：当n 2时， 1 xn 2。 然后由 xn+1 =1 1 + + x x n n (n = 1,2,3, ) 可得 n n 1 x x + − = x x x x n n n n − + + − − 1 1 1 1 ( )( ) 。 这说明对一切n 2, n n 1 x x + − 具有相同符号，从而{ }n x 是单调数列。由 定理2.4.1，{ x n }收敛
设lmxn=a,在等式x,=1+两边同时求极限,得到方程 n→ 1+xn a=1+ 解得方程的根为a=1+5。由x>1,舍去负值,即有 2 1+ lim xn 2
设lim n→ xn = a ，在等式 xn+1 =1 1 + + x x n n 两边同时求极限，得到方程 a =1 1 + + a a , 解得方程的根为a = 1 5 2 。由 xn 1，舍去负值，即有 lim n→ x n = 1 5 2 +
例24.2设0<x1<1,xm1=xn(1-xn),n=12,3,…。证明{xn}收 敛,并求它的极限。 解应用数学归纳法,可以得到对一切n∈N+, <X< 由xn1=xn(1-xn)(n=1,2…),可得 <0, 即{xn}单调减少有下界,由定理2.4.1,{xn}收敛
例2.4.2 设 0 x1 1, xn+1 = x x n n (1− ) ,n = 1,2,3, 。证明{ x n }收 敛，并求它的极限。 解 应用数学归纳法，可以得到对一切 + n N ， 0 xn 1。 由 xn+1 = x x n n (1− ) ( n = 1,2, )，可得 xn+1 - x n = 0 2 − xn ， 即{ x n }单调减少有下界，由定理2.4.1，{ }n x 收敛
例24.2设0<x1<1,xm1=xn(1-xn),n=12,3,…。证明{xn}收 敛,并求它的极限。 解应用数学归纳法,可以得到对一切n∈N+, <X< 由xn1=xn(1-xn)(n=1,2…),可得 <0, 即{xn}单调减少有下界,由定理2.4.1,{xn}收敛 设lmxn=a,在等式xn1=xn(1-xn)两边同时求极限,得到方程 a=a(1-a),解得a=0。于是得到: lin 0 n→0
例2.4.2 设 0 x1 1, xn+1 = x x n n (1− ) ,n = 1,2,3, 。证明{ x n }收 敛，并求它的极限。 解 应用数学归纳法，可以得到对一切 + n N ， 0 xn 1。 由 xn+1 = x x n n (1− ) ( n = 1,2, )，可得 xn+1 - x n = 0 2 − xn ， 即{ x n }单调减少有下界，由定理2.4.1，{ }n x 收敛。 设 lim n→ xn = a ，在等式 xn+1 = x x n n (1− ) 两边同时求极限，得到方程 a = a(1− a)，解得a = 0。于是得到： lim n→ xn = 0
应用 Stolz定理 lim(nx, )=lim 1 lin Im m X-X n+1 xu 换言之,不管0<x1<1如何选取,当n充分大时,无穷小量{xn}的 变化规律与无穷小量{}愈来愈趋于一致,在许多场合,{xn}可以 用{}来代替。这两个无穷小量称为是等价的
应用Stolz定理： lim n→ (nx ) n = lim n→ n xn 1 = lim n→ 1 1 1 1 x x n+ n − = lim n→ x x x x n n n n + − + 1 1 = lim n→ x x x n n n 2 2 1 1 ( − ) = 。 换言之，不管0 x1 1如何选取，当n 充分大时，无穷小量{ }n x 的 变化规律与无穷小量 n 1 愈来愈趋于一致，在许多场合，{ }n x 可以 用 n 1 来代替。这两个无穷小量称为是等价的
例24.3设x1=√2,xn1=3+2xn,n=12,3…。证明数列{xn}收 敛,并求它的极限。 解首先有00,数列{x单调增加且 3+2x.+x 有上界,由定理2.4.1可知{xn}收敛
例2.4.3 设 x1 = 2 , xn+1 = 3+ 2xn , n = 1,2,3, 。证明数列{ x n }收 敛，并求它的极限。 解 首先有0 x1 3。设0 xk 3，则0 k+1 x = 3 + 2xk 3，由数 学归纳法，可知对一切n ，成立0 xn 3。 由于 xn+1 - x n = 3+ 2xn - x n = 0 3 2 (3 )(1 ) + + − + n n n n x x x x ，数列{ x n }单调增加且 有上界，由定理2.4.1可知{ x n }收敛
例24.3设x1=√2,xn1=3+2xn,n=12,3…。证明数列{xn}收 敛,并求它的极限。 解首先有00,数列{x单调增加且 3+2x.+x 有上界,由定理2.4.1可知{xn}收敛 设imxn=a,对xn1=√3+2x两边求极限,得到a=√3+2a,解 此方程,得到a=3,即 lim 3
例2.4.3 设 x1 = 2 , xn+1 = 3+ 2xn , n = 1,2,3, 。证明数列{ x n }收 敛，并求它的极限。 解 首先有0 x1 3。设0 xk 3，则0 k+1 x = 3 + 2xk 3，由数 学归纳法，可知对一切n ，成立0 xn 3。 由于 xn+1 - x n = 3+ 2xn - x n = 0 3 2 (3 )(1 ) + + − + n n n n x x x x ，数列{ x n }单调增加且 有上界，由定理2.4.1可知{ x n }收敛。 设lim n→ xn = a ，对 xn+1 = 3+ 2xn 两边求极限，得到 a = 3+ 2a ，解 此方程，得到a = 3，即 lim n→ xn = 3
例2.4.4“ Fibonacci数列”与兔群增长率: 设一对刚出生的小兔要经过两个季度,即经过成长期后到达成熟 期,才能再产小兔,且每对成熟的兔子每季度产一对小兔。在不考虑 兔子死亡的前提下,求兔群逐年增长率的变化趋势 解 设第一季度只有1对刚出生的小兔,则各季兔对总数见下表 季度小兔对数成长期兔对数成熟期兔对数「兔对总和 1234567 0101 235 0011235 1123581
例2.4.4 “Fibonacci数列”与兔群增长率： 设一对刚出生的小兔要经过两个季度，即经过成长期后到达成熟 期，才能再产小兔，且每对成熟的兔子每季度产一对小兔。在不考虑 兔子死亡的前提下，求兔群逐年增长率的变化趋势。 解 设第一季度只有1对刚出生的小兔，则各季兔对总数见下表： 季度 小兔对数 成长期兔对数 成熟期兔对数 兔对总和 1 1 0 0 1 2 0 1 0 1 3 1 0 1 2 4 1 1 1 3 5 2 1 2 5 6 3 2 3 8 7 5 3 5 13