第四章微分 §1徼分和导数 微分的定义 设y=f(x)是一个给定的函数, 在点x附近有定义。若(x)在x处的(+△ 自变量产生了某个增量Ax变成了 f(x) x+Δx(增量Ax可正可负,但不为 零),那么它的函数值也相应地产 xx+△x 生了一个增量 图4.1.2 △y(x)=f(x+△x)-f(x), 在不会发生混淆的场合,或者是无需特别指明自变量的时候,一般就 将Ay(x)简单地记为Ay
微分的定义 设 y = f (x)是一个给定的函数， 在点x 附近有定义。若 f (x)在x 处的 自变量产生了某个增量x 变成了 x + x （增量x 可正可负，但不为 零），那么它的函数值也相应地产 生了一个增量 y(x) = f (x + x) − f (x)， 在不会发生混淆的场合，或者是无需特别指明自变量的时候，一般就 将y(x)简单地记为y 。 第四章 微 分 §1 微分和导数
定义4.1.1对函数y=f(x)定义域中的一点x,若存在一个只与 x有关,而与△x无关的数g(x),使得当Ax→0时恒成立关系式 △y=g(x0)Ax+O(△x), 则称f(x)在x处的微分存在,或称f(x)在x0处可微。 若函数y=f(x)在某一区间上的每一点都可微,则称f(x)在该区间 上可微
定义4.1.1 对函数 y = f (x) 定义域中的一点 0 x ，若存在一个只与 0 x 有关，而与x 无关的数 ( ) 0 g x ，使得当x → 0时恒成立关系式 0 = + y g x x o x ( ) ( )， 则称 f (x)在 0 x 处的微分存在，或称 f (x)在 0 x 处可微。 若函数 y = f (x)在某一区间上的每一点都可微，则称 f (x)在该区间 上可微
由定义可知,若f(x)在x处是可微的,那么当Ax→0时△y也是无 穷小量,且当g(x)≠0时,成立等价关系 y~g(x)△x “g(x)Ax”这一项也被称为Ay的线性主要部分 当∫(x)在x处可微且Ax→>0时,将Ax称为自变量的微分,记作dx, 而将Δy的线性主要部分g(x)dx(即g(x)Ax)称为因变量的微分,记作d 或刂(x),于是就有以下的微分关系式 d y=g
由定义可知，若 f (x) 在 x 处是可微的，那么当 x → 0 时 y 也是无 穷小量，且当 g(x) 0时，成立等价关系 y ~ g(x)x。 “ g(x)x ”这一项也被称为y 的线性主要部分。 当 f (x)在 x 处可微且x → 0时，将x 称为自变量的微分，记作dx， 而将y 的线性主要部分 g x x ( )d （即 g(x)x ）称为因变量的微分，记作dy 或 df x( )，于是就有以下的微分关系式 d d y g x x = ( )
由定义可知,若f(x)在x处是可微的,那么当Ax→0时△y也是无 穷小量,且当g(x)≠0时,成立等价关系 y~g(x)△x “g(x)Ax”这一项也被称为Ay的线性主要部分 当∫(x)在x处可微且Ax→>0时,将Ax称为自变量的微分,记作dx, 而将Δy的线性主要部分g(x)dx(即g(x)Ax)称为因变量的微分,记作d 或刂(x),于是就有以下的微分关系式 d y=g 例4.1.1设y=f(x)=x2,对于在任意一点x∈(-+∞)处所产生的 增量Δx,有 y=(x+△x)2-x2=2xAx+△x2 由定义,函数y=x2在x处是可微的,它的微分为 dy=d(x)=2xdx
例4.1.1 设 2 y = f (x) = x ，对于在任意一点 x (−,+ ) 处所产生的 增量x ，有 2 2 2 = + − = + y x x x x x x ( ) 2 由定义，函数 y = x 2 在 x 处是可微的，它的微分为 2 d d d y x x x = = ( ) 2 。 由定义可知，若 f (x) 在 x 处是可微的，那么当 x → 0 时 y 也是无 穷小量，且当 g(x) 0时，成立等价关系 y ~ g(x)x。 “ g(x)x ”这一项也被称为y 的线性主要部分。 当 f (x)在 x 处可微且x → 0时，将x 称为自变量的微分，记作dx， 而将y 的线性主要部分 g x x ( )d （即 g(x)x ）称为因变量的微分，记作dy 或 df x( )，于是就有以下的微分关系式 d d y g x x = ( )
例41.2设y=f(x)=Vx2,在x=0处,有 f(△x)-f(0)=V 当Ax→0时,√△x2趋于0的阶比Ax的阶低,因而y不可能表示成Ax 的线性项与高阶项的和。由定义,函数y=x2在x=0处是不可微的 函数y=x2虽然不是(-0+∞)上的可微函数,但它在(,0)和 (0+∞)上却都是可微的
例4.1.2 设 y = f (x) = x 3 2 ，在 x = 0 处，有 y = f (x) − f (0) = 3 x 2 ， 当x → 0时， x 3 2 趋于0的阶比x 的阶低， 因而y 不可能表示成x 的线性项与高阶项的和。由定义，函数 3 2 y = x 在x = 0处是不可微的。 函数 y = x 3 2 虽然不是(−,+ )上的可微函数，但它在(−, 0)和 (0,+ )上却都是可微的
例41.2设y=f(x)=Vx2,在x=0处,有 f(△x)-f(0)=V 当Ax→0时,√△x2趋于0的阶比Ax的阶低,因而y不可能表示成Ax 的线性项与高阶项的和。由定义,函数y=x2在x=0处是不可微的 函数y=x2虽然不是(-0+∞)上的可微函数,但它在(,0)和 (0+∞)上却都是可微的。 注意:若函数f(x)在x处是可微的,那么当Ax→0时必有Ay→>0, 即f(x)在x处连续,所以可微必定连续。 但要注意该结论的逆命题不成立,如上例中的函数y 在x=0处连续,但它在这一点处不可微
注意：若函数 f (x) 在 x 处是可微的，那么当 x → 0 时必有 y → 0， 即 f (x)在 x 处连续，所以可微必定连续。 但要注意该结论的逆命题不成立，如上例中的函数 y = x 3 2 ，它 在 x = 0处连续，但它在这一点处不可微。 例4.1.2 设 y = f (x) = x 3 2 ，在 x = 0 处，有 y = f (x) − f (0) = 3 x 2 ， 当x → 0时， x 3 2 趋于0的阶比x 的阶低， 因而y 不可能表示成x 的线性项与高阶项的和。由定义，函数 3 2 y = x 在x = 0处是不可微的。 函数 y = x 3 2 虽然不是(−,+ )上的可微函数，但它在(−, 0)和 (0,+ )上却都是可微的
微分和导数 若f(x)在x处可微,则有关系式 小y=g(x0)△x+O(△x), 其中gxn)是当Ax→0时,因变量的差分与自变量的差分之比匀 (称为差商)的极限值 定义4.1.2若函数y=f(x)在其定义域中的一点x处极限 f(x0+△x)-f(x0) lir lir Ax→0△xAx→0 △r 存在,则称f(x)在x处可导,并称这个极限值为f(x)在x处的导数 记为f(xn)(或yx), 若函数y=f(x)在某一区间上的每一点都可导,则称f(x)在该区 间上可导
微分和导数 若 f (x)在 0 x 处可微，则有关系式 ( ) ( ) 0 y = g x x + o x ， 其中 ( ) 0 g x 是当x → 0时，因变量的差分与自变量的差分之比 y x (称为差商)的极限值。 定义4.1.2 若函数 y = f (x)在其定义域中的一点 0 x 处极限 x f x x f x x y x x + − = → → ( ) ( ) lim lim 0 0 0 0 存在，则称 f (x)在 0 x 处可导，并称这个极限值为 f (x)在 0 x 处的导数， 记为 ( ) 0 f x （或 ( ) 0 y x ， 0 x x f x = d d ， 0 x x y x = d d ）。 若函数 y = f (x)在某一区间上的每一点都可导，则称 f (x)在该区 间上可导
f(x)在x0处的导数还有如下的等价定义 f∫(x0)=lim f(x-f(xo) x→x0 函数f(x)的所有可导点的集合是f(x)定义域的子集,导数值f(x) 可看成定义在这一子集上的一个新的函数,它被称为函数f(x)的导函 数,记为f(x)(或y(x), df dy dx d 导函数一般就简称为导数
f (x) 在 0 x 处的导数还有如下的等价定义 0 0 0 ( ) ( ) ( ) lim 0 x x f x f x f x x x − − = → 。 函数 f (x)的所有可导点的集合是 f x( )定义域的子集，导数值 f (x) 可看成定义在这一子集上的一个新的函数，它被称为函数 f (x)的导函 数，记为 f (x)（或 y (x)， f x d d ， y x d d ）。 导函数一般就简称为导数
若f(x)在x处可微,则它必定在x处可导,而Ay=g(x)Ax+o(△x)中 的g(x)不是别的,正是f(x)在这一点的导数值∫(x)。 反过来,f(x)在x处可导也保证它在x处可微。因为 △ lin Ax→0△x 等价于 m Ax→0△x 于是2-f(x)=0(1),也就是 x y-f(x)△x=o(1)Ax=0(△x)
若 f (x)在 x 处可微，则它必定在x 处可导，而 = + y g x x o x ( ) ( )中 的 g( x)不是别的，正是 f (x)在这一点的导数值 f (x)。 反过来， f (x)在 x 处可导也保证它在x 处可微。因为 lim ( ) x y x f x → = 0 等价于 lim ( ) 0 0 = − → f x x y x ， 于是 f (x) o(1) x y − = ，也就是 − = = y f x x o x o x ( ) (1) ( )
定理4.1.1函数y=f(x)在x处可微的充分必要条件是它在x处 可导。 对一元函数来说,它在任一点的可微性与可导性是等价的。因此, 一元函数的微分与导数总是形影相随,是密切难分的“孪生兄弟
定理4.1.1 函数 y = f (x) 在 x 处可微的充分必要条件是它在 x 处 可导。 对一元函数 ．．．．来说，它在任一点的可微性与可导性是等价的。因此， 一元函数的 ．．．．．微分与导数总是形影相随，是密切难分的“孪生兄弟