§5微分形式 有向面积与向量的外积 前面导出二重积分变量代换公式 f(x, y)dxdy=llf(x(u,v),y(u, v)) (x,y dud v a(u,v) 时已经指出,加了绝对值号的 Jacobi列式x,则的几何意义是xy平 u, 面的面积微元dxdy与平面的面积微元dalv之间的比例系数。那么, 不加绝对值号的 Jacobi列式axy)的几何意义又是什么呢?一个顺 a(,v) 理成章的回答应该是,它代表带符号的面积微元之间的比例系数
有向面积与向量的外积 前面导出二重积分变量代换公式 ( ) ( , ) ( , )d d ( ( , ), ( , )) d d ( , ) T x y f x y x y f x u v y u v u v u v = D D 时已经指出，加了绝对值号的 Jacobi 行列式 ( , ) ( , ) u v x y 的几何意义是xy平 面的面积微元d dx y 与uv平面的面积微元d du v之间的比例系数。那么， 不加绝对值号的 Jacobi 行列式 ( , ) ( , ) u v x y 的几何意义又是什么呢？一个顺 理成章的回答应该是，它代表带符号的面积微元之间的比例系数。 §5 微分形式
带符号的面积称为有向面积。下面从最简单的平行四边形出发, 给出一个定义有向面积的例子 设a=(a,a2),b=(b,b1)为平面R2上两个线性无关向量,Ⅱ为R2上 由向量a和b所张成的平行四边形,我们规定:如果从向量a出发在∏ 中旋转到b是逆时针方向(即a的方向,b的方向和指向读者的方向 成右手定则,见图13.5.1),这个平行四边形的面积为正,否则为负。 b ∏ 图13.5.1
带符号的面积称为有向面积。下面从最简单的平行四边形出发， 给出一个定义有向面积的例子。 设 ( , ) a = a1 a2 ， ( , ) b = b1 b2 为平面 2 R 上两个线性无关向量，为 2 R 上 由向量 a 和 b 所张成的平行四边形，我们规定：如果从向量 a 出发在 中旋转到 b 是逆时针方向（即 a 的方向，b 的方向和指向读者的方向 成右手定则，见图 13.5.1），这个平行四边形的面积为正，否则为负。 b a 图 13.5.1
容易看出,二阶行列式问正是由a和b所张成的平行四边形 b, b2 ∏的有向面积:由解析几何知道,它的绝对值就是Ⅱ在普通意义下的 面积。将这两个向量用极坐标表示为 a=(r cos e, r sin 0), b=(r cos 0,, r, sin 0,), 若从a出发在n中旋转到b是逆时针方向的,则有B0 与Ⅱ的有向面积的符号规定一致。 若交换a和b的位置,即从a出发在∏中旋转到b是顺时针方向 的,则结果反号 我们将这种运算称为向量a与b的外积,记为a^b,即 a入b= b2
容易看出，二阶行列式 1 2 1 2 b b a a 正是由 a 和 b 所张成的平行四边形 的有向面积：由解析几何知道，它的绝对值就是在普通意义下的 面积。将这两个向量用极坐标表示为 ( cos , sin ), ( cos , sin ) 1 1 1 1 2 2 2 2 a = r r b = r r ， 若从 a 出发在中旋转到 b 是逆时针方向的，则有 1 2 1 + π，因 此 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 1 2 (cos sin sin cos ) sin( ) 0 a a r r r r b b = − = − ， 与的有向面积的符号规定一致。 若交换 a 和 b 的位置，即从 a 出发在中旋转到 b 是顺时针方向 的，则结果反号。 我们将这种运算称为向量 a 与 b 的外积，记为 a b，即 a b = 1 2 1 2 b b a a
易验证外积运算具有以下性质 (1)反称性 ab=-ab,a、b 由此立即得出 a入a=0,a∈R (2)双线性(分配律) a∧(b+c)=a∧b+a∧C, (a+b)∧C=a∧c+b∧C, a.b.c∈R2.A∈R。 (aAb=aA(b)=nanb)
易验证外积运算具有以下性质： （1）反称性 a b = - a b，a, b 2 R , 由此立即得出 a a = 0， a 2 R 。 （2）双线性（分配律） a (b + c) = a b + a c, (a + b) c = a c + b c, a, b, c 2 R , R 。 (a) b = a (b ) = (a b )
例13.5.1设e1,e2为R2上的一组基(不一定要求正交), a1e1 take ,=a,;e1+a,e 是R2中的任意两个向量,那么由外积的性质得到 a1∧a2=(a12e1+a12e2)^(a2e1+a2e2) =a1a21e1^e1+a12e1^e2+a12a21e2^e1+a12a2e2^e2 a1a2e1^e2++a12a21e2^e1 a
例 13.5.1 设 1 e ， 2 e 为 2 R 上的一组基（不一定要求正交）， 2 21 1 22 2 1 11 1 12 2 , a e e a e e a a a a = + = + 是 2 R 中的任意两个向量，那么由外积的性质得到 a1 a2 = ( 11 1 12 2 a e + a e ) ( 21 1 22 2 a e + a e ) = a11a21 1 e 1 e +a11a22 1 e 2 e +a12a21 2 e 1 e +a12a22 2 e 2 e = a11a22 1 e 2 e ++a12a21 2 e 1 e =( a11a22 -a12a21 ) 1 e 2 e 21 22 11 12 a a a a = 1 e 2 e
上式两端的a1a2和e1e2分别表示由a,a2和e,e2所张成的平 四边形的有向面积,而行列式4就是这两个有向面积之间的 比例系数。若行列式大于零,说明这两个有向面积的符号相同,即从 e到e的旋转方向与从a到a,的旋转方向相同;若行列式小于零,说 明这两个有向面积的符号相反,即从e1到e2的旋转方向与从a到a2的 旋转方向相反
上式两端的 a1 a2 和 1 e 2 e 分别表示由 a1， 2 a 和 1 e ， 2 e 所张成的平 行四边形的有向面积，而行列式 21 22 11 12 a a a a 就是这两个有向面积之间的 比例系数。若行列式大于零，说明这两个有向面积的符号相同，即从 1 e 到 2 e 的旋转方向与从a1到a2 的旋转方向相同；若行列式小于零，说 明这两个有向面积的符号相反，即从 1 e 到 2 e 的旋转方向与从a1到a2的 旋转方向相反
微分形式 从例13.5.1得到启发,若能将重积分变量代换公式中的微元关系 dxdy= a(x, y)ldudv a(u 写成形式 dx∧d a(x,y dua dy a(,v) 而dx∧dy和du∧dv理解为带符号的面积微元,就无须对变量代换的 Jacobi行列式取绝对值了。但是,这里的dx,dy(或dl,dv)并非向量, 因此需要引入微分形式和外积的概念
微分形式 从例 13.5.1 得到启发，若能将重积分变量代换公式中的微元关系 dxdy = ( , ) ( , ) u v x y dudv 写成形式 dx dy = ( , ) ( , ) u v x y du dv， 而 dx dy 和 du dv 理解为带符号的面积微元，就无须对变量代换的 Jacobi 行列式取绝对值了。但是，这里的 dx，dy (或 du，dv)并非向量， 因此需要引入微分形式和外积的概念
设U为R"上的区域,记x=(x,x2…xn),C(U)为U上具有连续偏 导数的函数全体。将{dx,dx,…,dxn}看作一组基,其线性组合 a1(x)dx1+a2(x)dx2+…+an,(x)dxn,a(x)∈C"(U)(i=1,2,…,n) 称为一次微分形式,简称1-形式。1-形式的全体记为A。 对于任意o,n∈N: O=a,(x)dx,+a2(x)dx2+.+a,(x ) dx n=6,()dx,+b2(x)dx2+.+b, (x)dx 我们定义o+n和A(A∈C"(U))为 Q+n=(a1(x)+b(x)dx1+(a2(x)+b2(x)dx2+…+(an(x)+bn(x)dxn 1O=((x)a1(x)dx1+((x)a2(x)dx2+…+((x)an1(x)dxn 这显然满足交换律、结合律以及对C"(U)的乘法分配律。若定义A中 的“零元”为 0=0dx1+0dx2+…+0dxn, 而且定义-c为 a=a,(x)Xx,+(a2(x)dx2+.+(a, (x)dx 那么A成为C(U)上的向量空间
设U 为 n R 上的区域，记 ( , , , ) 1 2 n x = x x x ， 1 C ( ) U 为U 上具有连续偏 导数的函数全体。将{ n dx ,dx , ,dx 1 2 }看作一组基，其线性组合 n n a ( )dx a ( )dx a ( )dx 1 x 1 + 2 x 2 ++ x ， ai (x) 1 C ( ) U （i = 1,2, , n） 称为一次微分形式，简称 1-形式。1-形式的全体记为 1。 对于任意 , 1： ( )d ( )d ( )d , ( )d ( )d ( )d , 1 1 2 2 1 1 2 2 n n n n b x x b x x b x x a x x a x x a x x = + + + = + + + 我们定义 +和 （ 1 C ( ) U ）为 n n。 n n n x a x x x a x x x a x x a x b x x a x b x x a x b x x ( ( ) ( ))d ( ( ) ( ))d ( ( ) ( ))d ( ( ) ( ))d ( ( ) ( ))d ( ( ) ( ))d , 1 1 2 2 1 1 1 2 2 2 = + + + + = + + + + + + 这显然满足交换律、结合律以及对 1 C ( ) U 的乘法分配律。若定义 1中 的“零元”为 n 0 0dx 0dx 0dx = 1 + 2 ++ ， 而且定义− 为 ( ( ))d ( ( ))d ( ( ))d , 1 1 2 2 n n − = −a x x + −a x x ++ −a x x 那么 1成为 1 C ( ) U 上的向量空间
进一步,在{dx1,dx2,…,dxn}中任取2个组成二元有序元,记为 4∧dx,(,j=12,…,n),称为dx与dx的外积 仿照向量的外积,规定 dx2∧dx1=-dx1^dx;,dx1^dx1=0,ij=1,2,…,n 因此共有C个有序元 X.OX 1≤i<j≤n 同A的构造类似,以这些有序元为基就可以构造一个C(U)上的向量 空间A2。A2的元素称为二次微分形式,简称2-形式。于是A2的元素 就可表为 ∑g(x)dx,∧ 这称为2形式的标准形式
进一步，在{ n dx ,dx , ,dx 1 2 }中任取 2 个组成二元有序元，记为 i j dx dx (i, j =1,2, ,n) ，称为 i dx 与 j dx 的外积。 仿照向量的外积，规定 d d d d , i j j i x x = − x x dxi dxi = 0 , i, j = 1,2, ,n。 因此共有 2 Cn 个有序元 dxi dx j , 1 i j n。 同 1的构造类似，以这些有序元为基就可以构造一个 1 C ( ) U 上的向量 空间 2 。 2 的元素称为二次微分形式，简称 2-形式。于是 2 的元素 就可表为 i j n i j i j g x x x 1 ( )d d 。 这称为 2-形式的标准形式
般地,在{dx1,dx2…,dxn}中任意选取k个组成有序元,记为 dx.∧dx 这里i,i2…,是从集合{12…,n中选取的任意k个整数。规定 ix.入…∧dx.∧d 入∴∧dx:∧ dx.,1≤r≤k-1 而且如果i12…中有两个是相同的,则规定dx,^dx,^…dx,=0。 因此共有Ck个有序元 dx.∧dx.∧∴∧dx <i≤n 以这些有序元为基构造一个C(U)上的向量空间A。A的元素称为k 次微分形式,简称κ-形式。于是一般k-形式就可表示为 ∑g1,(x)dxn^dx2A…dx 1sh1<2…<ksn 这称为k-形式的标准形式
一般地，在{ n dx ,dx , ,dx 1 2 }中任意选取k 个组成有序元，记为 k i i i dx dx dx 1 2 ， 这里i i i 1 2 k , , , 是从集合{1,2, ,n}中选取的任意k 个整数。规定 r r k r r k i i i i i i i i dx dx dx dx dx dx dx dx 1 1 1 1 = − + + ，1 r k −1, 而且如果i i i 1 2 k , , , 中有两个是相同的，则规定d d d 0 1 2 = k i i i x x x 。 因此共有C k n 个有序元 xi xi xi i i i k n k d d d , 1 1 2 1 2 。 以这些有序元为基构造一个 1 C ( ) U 上的向量空间 k 。 k 的元素称为 k 次微分形式，简称 k-形式。于是一般k -形式就可表示为 i i i n i i i i i i k k k g x x x x 1 2 1 2 1 2 1 , , , ( )d d d 。 这称为 k-形式的标准形式