§2 Fourier级数的收敛判别法 Dirichlet积分 仔细观察上一节中的几幅图像后可以得到这样的直觉:对于一般 的以2π为周期的函数f(x),除了个别点之外(看来是不连续点),当 m→>O时,它的 Fourier级数的部分和函数序列{Sn(x)} Sm(x)=o+2(a, cosnx+b, sinx) 是收敛于f(x)的。下面从理论上来探讨这个问题
Dirichlet 积 分 仔细观察上一节中的几幅图像后可以得到这样的直觉：对于一般 的以2π 为周期的函数 f (x)，除了个别点之外（看来是不连续点），当 m→ 时 ，它的 Fourier 级数的部分和函数序列Sm (x)， 0 1 ( ) ( cos sin ) 2 m m n n n a S x a nx b nx = = + + ， 是收敛于 f (x)的。下面从理论上来探讨这个问题。 §2 Fourier级数的收敛判别法
将 Euler- Fourier公式 f(tcos nt dt, b f(tsin nt da 代入Sn(x), S(x)= 7/J(l+(cos nt cos nx+ sinn sinx)dr f(o+>cosn(t-x)di
将 Euler-Fourier 公式 an = π π 1 ( )cos d π f t nt t − ，bn = π π 1 ( )sin d π f t nt t − 代入S x m ( )， S x m ( ) π π 1 ( )d 2π f t t − = ( ) ( ) π π π π 1 1 ( )cos d cos ( )sin d sin π m n f t nt t nx f t nt t nx − − = + + π π 1 1 1 ( ) (cos cos sin sin ) d π 2 m n f t nt nx nt nx t − = = + + π π 1 1 1 ( ) cos ( ) d π 2 m n f t n t x t − = = + −
将 Euler- Fourier公式 f(tcos nt dt, b f(tsin nt da 代入Sn(x), S(x)= 7/J(l+(cos nt cos nx+ sinn sinx)dr f(o+>cosn(t-x)di 当O≠0时,由三角函数的积化和差公式,有 2m、W三 m+1 6 2 sin 当θ=0时,将等式右端理解为当θ→>0时的极限值,则等式依然成立。 因此,上式对任意∈[-πx都是正确的
当 0 时,由三角函数的积化和差公式，有 = + + = m n m n 1 2 2sin 2 2 1 sin cos 2 1 。 当 = 0时，将等式右端理解为当 → 0时的极限值，则等式依然成立。 因此，上式对任意 −[ π,π] 都是正确的。 将 Euler-Fourier 公式 an = π π 1 ( )cos d π f t nt t − ，bn = π π 1 ( )sin d π f t nt t − 代入S x m ( )， S x m ( ) π π 1 ( )d 2π f t t − = ( ) ( ) π π π π 1 1 ( )cos d cos ( )sin d sin π m n f t nt t nx f t nt t nx − − = + + π π 1 1 1 ( ) (cos cos sin sin ) d π 2 m n f t nt nx nt nx t − = = + + π π 1 1 1 ( ) cos ( ) d π 2 m n f t n t x t − = = + −
于 2m+1 sIn s(x)= f(t (作代换t-x=l) t-x 2 sin 2m+1 2m+1 SIn u SIn (x+0)-2,-dn=「f(x+0) 2 sin 2 sin 这样,就把部分和函数序列转化成了积分形式。这个积分称为 Dirichlet积分,它是研究 Fourier级数敛散性的重要工具
于是 S x m ( ) π π 2 1 sin ( ) 1 2 ( ) d π 2sin 2 m t x f t t − t x + − = − (作代换t − x = u) π π 2 1 sin 1 2 ( ) d π 2sin 2 x x m u f x u u u − − − + = + π π 2 1 sin 1 2 ( ) d π 2sin 2 m u f x u u − u + = + 。 这样，就把部分和函数序列转化成了积分形式。这个积分称为 Dirichlet 积 分，它是研究 Fourier 级数敛散性的重要工具
将积分区间[ππ分成[-π0和[0,,稍加整理,就得到了 Dirichlet积分的惯用形式 2n+1 SIn Sm(x)=io[(x+u)+f(x-u da 2 sin 由前面的三角函数关系式,有 2m+1 SIn cos nu du =1 T 2SI
将 积分区间 [−π,π] 分 成 [−π,0] 和 [0, π] ，稍加整理，就得到了 Dirichlet 积分的惯用形式 S x m ( ) π 0 2 1 sin 1 2 [ ( ) ( )] d π 2sin 2 m u f x u f x u u u + = + + − 。 由前面的三角函数关系式，有 π 0 2 1 sin 2 2 d π 2sin 2 m u u u + = π 0 1 2 1 cos d 1 π 2 m n nu u = + =
因此,对任意给定的函数a(x),有 2n+1 SIn Sn(x)-o(x)=。Df(x+)+f(x-1)-20(x) 2 sin 这样,若记 q0(l2x)=f(x+)+f(x-)-20(x), 则∫(x)的 Fourier级数是否收敛于某个σ(x)就等价于极限 2m+1 sIn imn。gon(u,x) da u 是否存在且等于0
因此，对任意给定的函数 (x) ，有 S (x) (x) m − π 0 2 1 sin 1 2 [ ( ) ( ) 2 ( )] d π 2sin 2 m u f x u f x u x u u + = + + − − 。 这样，若记 (u, x) f (x u) f (x u) 2(x) = + + − − ， 则 f (x)的 Fourier 级数是否收敛于某个 (x) 就等价于极限 π 0 2 1 sin 2 lim ( , ) d 2sin 2 m m u u x u u → + 是否存在且等于 0
Riemann引理及其推论 定理16.2.1( Riemann引理)设函数v(x)在[a,b上可积或绝 对可积,则成立 lim y(x)sin px dx= lim /6 y(x)cos px dx=0 p→+∞Ja
Riemann 引理及其推论 定 理 16.2.1（Riemann 引理） 设函数 (x)在[a, b]上可积或绝 对可积，则成立lim ( )sin d b p a x px x →+ = lim ( )cos d 0 b p a x px x →+ =
Riemann引理及其推论 定理16.2.1( Riemann引理)设函数v(x)在[a,b上可积或绝 对可积,则成立 lim y(x)sin px dx= lim /6 y(x)cos px dx=0 p→+∞Ja 证先考虑v(x)有界的情况,这时v(x) Rieman可积。 对于任意给定的ε>0,由定理7.1.3,存在着一种划分 a=x <x, <x <...<x 满足 E 这里Ax1=x,-x1,,是v(x)在[x,x中的振幅
证 先考虑 (x) 有界的情况，这时 (x) Riemann 可积。 对于任意给定的 0，由定理 7.1.3，存在着一种划分 a = x0 x1 x2 xn = b， 满足 1 2 = n i i i x ， 这里 x x x i = i − i−1，i 是 (x)在[x , x ] i−1 i 中的振幅。 Riemann 引理及其推论 定 理 16.2.1（Riemann 引理） 设函数 (x)在[a, b]上可积或绝 对可积，则成立lim ( )sin d b p a x px x →+ = lim ( )cos d 0 b p a x px x →+ =
对于这种固定的划分,记m是y(x)在[x,x中的下确界,并取实 数P=∑m0,则当p>P时,有 ∑m E 于是,对于任意给定的E>0,存在实数P>0,当p>P时,有 b y(x)sin px d y(x)sin pxdx ∑(0(0)-m) sin pxdx+2n∫snpd isi+ Iy(x)-m sin px dx+ <8
对于这种固定的划分，记mi是 (x)在[x , x ] i−1 i 中的下确界，并取实 数 | | 0 4 1 = = n i P mi ，则当 p P时，有 2 | | 2 1 = n i mi p 。 于是，对于任意给定的 0，存在实数 P 0，当 p P时，有 ( )sin d b a x px x 1 1 ( )sin d i i n x x i x px x − = = 1 1 ( ( ) )sin d i i n x i x i x m px x − = = − 1 1 sin d i i n x i x i m px x − = + 1 1 | ( ) | | sin | d i i n x i x i x m px x − = − 1 1 | | sin d i i n x i x i m px x − = + 1 1 | ( ) | d i i n x i x i x m x − = − + = n i mi p 1 | | 2 = n i i i x 1 + = n i mi p 1 | | 2
再考虑v(x)无界的情况,这时v(x)绝对可积 不妨假设b是v(x)的唯一奇点。由无界函数反常积分绝对收敛 的定义,对于任意给定的E>0,存在δ>0,当n0,当p>P时, y(x)sin px dx<
再考虑 (x) 无界的情况，这时 (x) 绝对可积。 不妨假设b 是 (x)的唯一奇点。由无界函数反常积分绝对收敛 的定义，对于任意给定的 0，存在 0，当 时， | ( ) |d 2 b b x x − ， 固定 ，则 (x)在[a,b −]上 Riemann 可积，应用上面的结论，存在实 数 P 0，当 p P时， ( )sin d 2 b a x px x −