第十一章 Euclid空间上的极限和连续 §1 Euclid空间上的基本定理 到目前为止,我们所学习的只是一元函数的分析性质。但在现实 生活中,除了非常简单的情况之外,可以仅用一个自变量和一个因变 量的变化关系来刻画的问题可以说是非常少的。比如像物理学中研究 质点运动这么一个相对较为容易的问题,也需要用到确定空间位置的 三个坐标变量x、yz和一个时间变量t以及多个函数值(如位置 速度、加速度、动量等),更不用说在各种不同的学科研究中会遇到 更为复杂的问题。这种多个自变量和多个因变量的变化关系,反映到 数学上就是多元函数(或多元函数组,即向量值函数)
到目前为止, 我们所学习的只是一元函数的分析性质。但在现实 生活中，除了非常简单的情况之外，可以仅用一个自变量和一个因变 量的变化关系来刻画的问题可以说是非常少的。比如像物理学中研究 质点运动这么一个相对较为容易的问题，也需要用到确定空间位置的 三个坐标变量 x、y、z 和一个时间变量 t 以及多个函数值（如位置、 速度、加速度、动量等），更不用说在各种不同的学科研究中会遇到 更为复杂的问题。这种多个自变量和多个因变量的变化关系，反映到 数学上就是多元函数（或多元函数组，即向量值函数）。 第十一章 Euclid空间上的极限和连续 §1 Euclid空间上的基本定理
Euclid空间中的距离与极限 先回忆一下一元函数的极限定义: lim f(x)=A 8>0,38>0, Vx(0x0 从上述定义可知在自变量的变化过程中,只要x与x充分接近(x ≠x0),函数值∫(x)就可以与A任意接近。而这个“接近”,不管是用 符号“0<x-x0<δ”和“f(x)-Ak<”表示,还是用语言“在x的δ去 心邻域O(x,δ){x}中”和“落在点A的ε邻域中”表示,实质上都是 用绝对值,即一维空间中两点间的距离来刻画的。所以在定义了高维 空间以后,必须将“距离”的概念推广至高维空间,定义出类似于“绝 对值”那样的度量概念,然后才能在此基础上去相应地定乂极限,进 而构筑整个多元分析理论
Euclid 空间中的距离与极限 先回忆一下一元函数的极限定义： lim x→x0 f (x) = A 0 , 0 , x ( 0 0 | | − x x )：| ( ) | f x A − 。 从上述定义可知在自变量的变化过程中，只要 x 与 x0充分接近（x ≠x0 ），函数值 f (x)就可以与 A 任意接近。而这个“接近”，不管是用 符号“0 |x − x0 | ”和“| ( ) | f x A − ”表示，还是用语言“在 x0的 去 心邻域 0 0 O x x ( , ) \{ } 中”和“落在点 A 的 邻域中”表示，实质上都是 用绝对值，即一维空间中两点间的距离来刻画的。所以在定义了高维 空间以后，必须将“距离”的概念推广至高维空间，定义出类似于“绝 对值”那样的度量概念，然后才能在此基础上去相应地定义极限，进 而构筑整个多元分析理论
记R为实数全体,定义n个R的 Descartes乘积集为 R"=R×Rx…xR={(x1,x2…,xn)x1∈R R"中的元素x=(x1,x2…xn)称为向量或点,x,称为x的第个坐标。特 别地,R"中的零元素记为0=(00,…,0)。 设x=(x1,x2…,xn),y=(y1,y2,…,yn)为R中任意两个向量,A为 任意实数,定义R"中的加法和数乘运算: x+y=(x+y1,x2+y2 yu), Ax=(x1,x2,…,xn), R"就成为向量空间
记 R 为实数全体，定义 n 个 R 的 Descartes 乘积集为 n R = R R R = {( , , , ) | 1 2 n x x x xi R，i = 1,2, , n }。 n R 中的元素 x ( , , , ) 1 2 n = x x x 称为向量或点， i x 称为 x 的第i 个坐标。特 别地， n R 中的零元素记为0 = (0,0, ,0) 。 设 x =( , , , ) 1 2 n x x x ，y =( , , , ) 1 2 n y y y 为 n R 中任意两个向量， 为 任意实数，定义 n R 中的加法和数乘运算： x + y = ( , , , ), 1 1 2 2 n n x + y x + y x + y x = ( , , , ) 1 2 n x x x , n R 就成为向量空间
如果在R”上引入內积运算 y=x,y,+ tiny 那么R"就被称为 Euclid空间。 容易验证内积满足以下性质:设x,y,z∈R",a,H∈R,则 (1)(正定性)≥0,而=0当且仅当x=0 (2)(对称性); (3)(线性性)=+μ; (4)( Schwarz不等式)2≤
如果在 n R 上引入内积运算 ＜x , y＞ n n = x y + x y ++ x y 1 1 2 2 == n k k k x y 1 ， 那么 n R 就被称为 Euclid 空间。 容易验证内积满足以下性质：设 x，y，z n R ， , R, 则 (1) （正定性）＜x , x＞≥ 0 , 而＜x , x＞= 0 当且仅当 x= 0； (2) （对称性）＜x , y＞ = ＜y , x＞； (3) （线性性）＜ x + y , z＞ = ＜x , z＞ + ＜y , z＞； (4) （Schwarz 不等式）＜x , y＞2 ≤ ＜x , x＞＜y , y＞
如果在R”上引入內积运算 y=x,y,+ tiny 那么R"就被称为 Euclid空间。 容易验证内积满足以下性质:设x,y,z∈R",a,H∈R,则 (1)(正定性)≥0,而=0当且仅当x=0 (2)(对称性); (3)(线性性)=+μ; (4)( Schwarz不等式)2≤。 我们仅证明(4)。由(1)-(3)可以得到 =2+24+≥0 对任意∈R都成立,所以其判别式不大于零,即 4≤y,y>≤0 这就得到了 Schwarz不等式
我们仅证明(4)。由(1) — (3)可以得到 ＜ x +y , x +y＞ = 2 ＜x , x＞ + 2 ＜x , y＞ + ＜y , y＞ ≥ 0 对任意 R 都成立，所以其判别式不大于零，即 4＜x , y＞2 - 4＜x , x＞＜y , y＞≤0。 这就得到了 Schwarz 不等式。 如果在 n R 上引入内积运算 ＜x , y＞ n n = x y + x y ++ x y 1 1 2 2 == n k k k x y 1 ， 那么 n R 就被称为 Euclid 空间。 容易验证内积满足以下性质：设 x，y，z n R ， , R, 则 (1) （正定性）＜x , x＞≥ 0 , 而＜x , x＞= 0 当且仅当 x= 0； (2) （对称性）＜x , y＞ = ＜y , x＞； (3) （线性性）＜ x + y , z＞ = ＜x , z＞ + ＜y , z＞； (4) （Schwarz 不等式）＜x , y＞2 ≤ ＜x , x＞＜y , y＞
平面解析几何中两点x=(x,x2),y=(y1,y2)间的距离公式 x1-y1)2+(x2-y2) 启示我们可以按照这样的方式,在R"上定义“距离 定义11.1.1 Euclid空间R"中任意两点x=(x1,x2…,x)和y (1,y2,…,yn)间的距离定义为 x-y|=√(x1-y1)2+(x2-n2)2+…+(xn-yn)2 并称 <rx k=1 为x的 Euclid范数(简称范数)。 显然,x的范数x就是x到0的距离(即x的模长)
平面解析几何中两点 x =( , ) 1 2 x x ，y =( , ) 1 2 y y 间的距离公式 2 2 2 2 1 1 (x − y ) + (x − y ) 启示我们可以按照这样的方式，在 n R 上定义“距离”： 定义 11.1.1 Euclid 空间 n R 中任意两点 x =( , , , ) 1 2 n x x x 和 y =( , , , ) 1 2 n y y y 间的距离定义为 | x – y | = 2 2 2 2 2 1 1 ( ) ( ) ( ) n n x − y + x − y ++ x − y ， 并称 x = x, x = = n k k x 1 2 为 x 的 Euclid 范数（简称范数）。 显然，x 的范数 x 就是 x 到 0 的距离（即 x 的模长）
定理11.1.1距离满足以下性质: (1)(正定性)|x-y|≥0,而x-y|=0当且仅当x=y (2)(对称性)|x-y|=|y-x|; (3)(三角不等式)|x-z|≤|x-y|+|y-z 证明略
定理 11.1.1 距离满足以下性质： (1) （正定性）| x – y | ≥ 0，而| x – y | = 0 当且仅当 x= y； (2) （对称性）| x – y | = | y – x | ； (3) （三角不等式）| x – z | ≤| x – y | + | y – z | 。 证明略
定义了距离就可以引入邻域以及收敛的概念 定义11.1.2设a=(a1a2…an)∈R",δ>0,则点集 O(a)={x∈R"|kx-a<o} k∈R"√x1-a)2+(x2-a2)2+…+(xn-an)2< 称为点a的δ邻域,a称为这个邻域的中心,δ称为邻域的半径 特别地,O(a,δ)在R上就是开区间,在R2上是开圆盘,在R3上 则是开球
定义了距离就可以引入邻域以及收敛的概念。 定义 11.1.2 设 a =( , , , ) a1 a2 an n R ， 0 , 则点集 (a, ) = {x x − a } n O R = − + − + + − 2 2 2 2 2 1 1 ( ) ( ) ( ) n n n x R x a x a x a 称为点 a 的 邻域，a 称为这个邻域的中心， 称为邻域的半径。 特别地， O(a, )在R 上就是开区间，在 2 R 上是开圆盘，在 3 R 上 则是开球
定义11.1.3设{x}是R中的一个点列。若存在点a∈R",对于 任意给定的E>0,存在正整数K,使得当k>K时,成立 d<6(即xk∈O(a,)), 则称点列{x}收敛,或点列{x}收敛于a,也称a为点列{x}的极限。 记为 lim xk=ao 个点列不收敛就称其发散
定义 11.1.3 设 { } xk 是 n R 中的一个点列。若存在点 a n R ，对于 任意给定的 0，存在正整数 K ，使得当k K 时，成立 x − a k （即 x O(a,) k ）， 则称点列{ } xk 收敛，或点列{ } xk 收敛于 a，也称 a 为点列{ } xk 的极限。 记为 k→ lim xk = a。 一个点列不收敛就称其发散
定义11.1.3设{x}是R中的一个点列。若存在点a∈R",对于 任意给定的E>0,存在正整数K,使得当k>K时,成立 d<6(即xk∈O(a,)), 则称点列{x}收敛,或点列{x}收敛于a,也称a为点列{x}的极限。 记为 lim xk=ao 个点列不收敛就称其发散 记x=(x,x2…,x)(k=1,2,…),a=(a1,a2…,an),利用不等式 x-a≤|x-a|=、2(x-a)≤∑x-a,J=12,…,n 可以得到 定理11.1.2mxk=a的充分必要条件是mx=a1(i=1,2,…,m
记 ( , , , ) ( 1,2, ) xk = x1 k x2 k xn k k = ，a =( , , , ) a1 a2 an ，利用不等式 j k x j − a ≤ 2 1 | | ( ) n k k i i i x a = x a − = − ≤ x a j n n i i k i | |, 1,2, , 1 − = = 可以得到 定理 11.1.2 k→ lim xk = a 的充分必要条件是 lim x a (i 1,2, ,n) i k i k = = → 。 定义 11.1.3 设 { } xk 是 n R 中的一个点列。若存在点 a n R ，对于 任意给定的 0，存在正整数 K ，使得当k K 时，成立 x − a k （即 x O(a,) k ）， 则称点列{ } xk 收敛，或点列{ } xk 收敛于 a，也称 a 为点列{ } xk 的极限。 记为 k→ lim xk = a。 一个点列不收敛就称其发散