《数学分析》课程电子教案（PPT课件）第十章（10.4）函数的幂级数展开

§4函数的幂级数展开 Taylor级数与余项公式 假设函数f(x)在x的某个邻域O(x0,r)可表示成幂级数 f(x)=∑an(x-x0)y,x∈O(x,n), 即∑a(x-x)在O(x,)上的和函数为f(x)。根据幂级数的逐项可导 性,f(x)必定在O(x,r)上任意阶可导,且对一切k∈N, f((x)=∑m(n-1)…(n-k+1)a1(x-x)

Taylor 级数与余项公式 假设函数 f (x)在 0 x 的某个邻域 O( 0 x , r)可表示成幂级数 f (x) =   = − 0 0 ( ) n n n a x x ，xO( 0 x , r)， 即  = − 0 0 ( ) n n n a x x 在 O( 0 x , r)上的和函数为 f (x)。根据幂级数的逐项可导 性， f (x)必定在 O( 0 x , r)上任意阶可导，且对一切k +  N ， ( ) = ( ) f x k   = − − − + − n k n k n n(n 1) (n k 1)a (x x )  0 。 §4 函数的幂级数展开

令x=xn,得到 k=0.1,2.…, k 也就是说,系数{an}由和函数f(x)唯一确定,我们称它们为f(x)在 xn的 Taylor系数

令 0 x = x ，得到 ak = ! ( ) 0 ( ) k f x k , k = 0,1,2,…， 也就是说，系数｛an ｝由和函数 f (x)唯一确定，我们称它们为 f (x) 在 0 x 的 Taylor 系数

令x=xn,得到 k=0.1.2 k 也就是说,系数{an}由和函数f(x)唯一确定,我们称它们为f(x)在 x的 Taylor系数 反过来,设函数f(x)在x的某个邻域O(x,r)上任意阶可导,则 (n) 可以求出它在x的 Taylor系数an 0)(n=0.1,2…),并作出幂级 数 (n) -(X-X 这一幂级数称为f(x)在x的 Taylor级数

反过来，设函数 f (x) 在 0 x 的某个邻域 O( 0 x , r)上任意阶可导，则 可以求出它在 0 x 的 Taylor 系数 an = ! ( ) 0 ( ) n f x n （ n = 0,1,2,  ），并作出幂级 数   = − 0 0 0 ( ) ( ) ! ( ) n n n x x n f x , 这一幂级数称为 f (x)在 0 x 的 Taylor 级数。 令 0 x = x ，得到 ak = ! ( ) 0 ( ) k f x k , k = 0,1,2,…， 也就是说，系数｛an ｝由和函数 f (x)唯一确定，我们称它们为 f (x) 在 0 x 的 Taylor 系数

问题:是否一定存在常数p(0<),使得∑“(5)(x-xy在 O(xn,p)上收敛于f(x)? 下面的例子告诉我们,答案并不是肯定的 例10.4.1设 f(x) x≠0 0.x=0. 当x≠0时, 46 f(x) e 其中P()是关于u的n次多项式

问题：是否一定存在常数（0    r ），使得  = − 0 0 0 ( ) ( ) ! ( ) n n n x x n f x 在 0 O x( , )  上收敛于 f (x) ? 下面的例子告诉我们，答案并不是肯定的。 例 10.4.1 设 f (x) =      =  − 0, 0, e , 0, 2 1 x x x 当 x≠0 时， f (x) = 2 1 3 e 2 x x − ， f (x) = 2 1 6 4 e 4 6 x x x −       − ， …… ( ) = ( ) f x k 2 1 3 e 1 x k x P −       ，…… 其中 P (u) n 是关于 u 的 n 次多项式

由此可以依次得到 f(0)=m2(x)-f(0=me 0 f"(O) f'(x)-f'(0) e f(-)(x)-f-)(0) 0. 因此f(x)在x=0的 Taylor级数为 0 0 0+0x+-x 2! 它在(-∞,+∞)上收敛于和函数S(x)=0。显然,当x≠0时, S(x)≠f(x) 这说明,一个任意阶可导的函数的 Taylor级数并非一定能收敛于 函数本身

由此可以依次得到 f (0) = 0 lim x→ x f (x) − f (0) = 0 lim x→ 2 1 e 1 x x − = 0， f (0) = 0 lim x→ x f (x) − f (0) = 0 lim x→ 2 1 4 e 2 x x − = 0， …… (0) = (k ) f 0 lim x→ x f x f k k ( ) (0) ( −1) ( −1) − = 0 lim x→ 2 1 3 2 e 1 x k x P − −       = 0， …… 因此 f (x)在 x = 0 的 Taylor 级数为 + + + ++ x n + n x x x ! 0 3! 0 2! 0 0 0 2 3 ， 它在(−,+) 上收敛于和函数 S(x) = 0。显然，当 x≠0 时， S(x) ≠ f (x)。 这说明，一个任意阶可导的函数的 Taylor 级数并非一定能收敛于 函数本身

为了寻求函数的 Taylor级数收敛于它本身的条件,回忆在§53 中所得到的 Taylor公式:设f(x)在O(x0,p)有n+1阶导数,则 f(x)=∑ (x-x0)+rn(x), k 其中,(x)是n阶 Taylor公式的余项现在假定讨论的函数f(x)在O(x0, r)上任意阶可导,也就是说,上面的 Taylor公式对一切正整数n成立, 于是我们可以断言 (x-x0)” 在O(x0,p)(0<p≤)成立的充分必要条件是: lim r (x)=0 对一切x∈Oxn,p)成立

为了寻求函数的 Taylor 级数收敛于它本身的条件，回忆在§5.3 中所得到的 Taylor 公式：设 f (x)在 O( 0 x , r)有 n + 1 阶导数，则 f (x) = = − n k k k x x k f x 0 0 0 ( ) ( ) ! ( ) +r (x) n ， 其中r (x) n 是 n 阶 Taylor 公式的余项。现在假定讨论的函数 f (x) 在 O( 0 x , r)上任意阶可导，也就是说，上面的 Taylor 公式对一切正整数 n 成立， 于是我们可以断言： f (x) =   = − 0 0 0 ( ) ( ) ! ( ) n n n x x n f x 在 0 O x( , )  （0    r ）成立的充分必要条件是： n→ lim r (x) n = 0 对一切 0 x O x  ( , )  成立

这时,我们才称f(x)在Oxnp)可以展开成幂级数(或 Taylor级 数),或者称∑ (x mm1(x-x)”是f(x)在O(x,p)上的幂级数展开(或 Taylor展开) 在§53中,曾导出余项 r(x)= xo +e(x-Xo)(x (n+1) x),0<0< rn(x)的这一形式称为 Lagrange余项。为了讨论各种函数的 Taylor展 开,我们还需要r(x)的另一形式,即积分形式

这时，我们才称 f (x)在 0 O x( , )  可以展开成幂级数（或 Taylor 级 数），或者称   = − 0 0 0 ( ) ( ) ! ( ) n n n x x n f x 是 f (x)在 0 O x( , )  上 的幂级数展开（ 或 Taylor 展开）。 在§5.3 中，曾导出余项 r (x) n = ( 1) 0 0 1 0 ( ( )) ( ) ( 1)! n n f x x x x x n  + + − + − + ，0   1， r (x) n 的这一形式称为 Lagrange 余项。为了讨论各种函数的 Taylor 展 开，我们还需要 r (x) n 的另一形式，即积分形式：

定理10.4.1设f(x)在O(x0,r)上任意阶可导,则 f(x)=∑ w00(x-xo)tr(x), XEO(xo, r), k 其中 ∫fm=1(Xx-o)ydr

定理 10.4.1 设 f (x)在 O( 0 x , r)上任意阶可导，则 f (x) = = − n k k k x x k f x 0 0 0 ( ) ( ) ! ( ) + r (x) n ， xO( 0 x , r)， 其中 r (x) n = ! 1 n  − + x x n n f t x t t 0 ( )( ) d ( 1)

定理10.4.1设f(x)在O(x0,r)上任意阶可导,则 f(x)=∑ (x-x)+r(x), xEO(xo, r) k 其中 ∫fm=1(Xx-o)ydr 证由表达式(x)=f(x)-∑x(x-x)出发,逐次对等式 两端进行求导运算,可依次得到 (k) 2(x)=f(x) X-x 石(k-1) X-x k=2 (k-2)! (x)=f((x)-f((x0)

证 由表达式 r (x) n = f (x) = − − n k k k x x k f x 0 0 0 ( ) ( ) ! ( ) 出发，逐次对等式 两端进行求导运算，可依次得到 r (x) n  = f (x) − = − − − n k k k x x k f x 1 1 0 0 ( ) ( ) ( 1)! ( ) ， r (x) n  = f (x) − = − − − n k k k x x k f x 2 2 0 0 ( ) ( ) ( 2)! ( ) ， …… ( ) ( ) r x n n = ( ) ( ) 0 ( ) ( ) f x f x n n − ， ( ) ( 1) r x n n + = ( ) ( 1) f x n+ 。 定理 10.4.1 设 f (x)在 O( 0 x , r)上任意阶可导，则 f (x) = = − n k k k x x k f x 0 0 0 ( ) ( ) ! ( ) + r (x) n ， xO( 0 x , r)， 其中 r (x) n = ! 1 n  − + x x n n f t x t t 0 ( )( ) d ( 1)

令x=x,便有 rn(x0)=r2(x0)=r(x)=…=r0(x)=0。 逐次应用分部积分法,可得 (x)=r,(x)-2(x)=m()dt ∫()d(t-x)=「r(x-dr 2/()d(-x)2÷1 2(x-1)2dt ∫r"(Ox-myd=1∫r(x-ydr

令 x = 0 x ，便有 ( ) 0 r x n = ( ) 0 r x n  = ( ) 0 r x n  == ( ) 0 ( ) r x n n = 0。 逐次应用分部积分法，可得 r (x) n =r (x) n - ( ) 0 r x n =   x x n r t t 0 ( )d =   − x x n r t t x 0 ( )d( ) =   − x x n r t x t t 0 ( )( )d = - 2! 1   − x x n r t t x 0 2 ( )d( ) = 2! 1 0 2 ( )( ) d x n x r t x t t  −  …… = ! 1 n  − + x x n n n r t x t t 0 ( )( ) d ( 1) = ! 1 n  − + x x n n f t x t t 0 ( )( ) d ( 1)