§3正项级数 正项级数 定义9.3.1如果级数∑xn的各项都是非负实数,即 xn≥0,n=1,2 则称此级数为正项级数
正项级数 定义 9.3.1 如果级数∑ ∞ n=1 n x 的各项都是非负实数，即 xn ≥ 0，n = 1,2,…， 则称此级数为正项级数。 §3 正项级数
§3正项级数 正项级数 定义9.3.1如果级数∑xn的各项都是非负实数,即 xn≥0,n=1,2 则称此级数为正项级数。 显然,正项级数∑xn的部分和数列{Sn}是单调增加的,即 n=1 x1 根据单调数列的性质,立刻可以得到 定理9.3.1(正项级数的收敛原理)正项级数收敛的充分必要 条件是它的部分和数列有上界 若正项级数的部分和数列无上界,则其必发散到+∞
显然，正项级数∑ ∞ n=1 n x 的部分和数列{ n S }是单调增加的，即 n S =∑ = n k k x 1 ≤ ∑ + = 1 1 n k k x = n+1 S ， n = 1,2,…， 根据单调数列的性质，立刻可以得到 定理 9.3.1（正项级数的收敛原理） 正项级数收敛的充分必要 条件是它的部分和数列有上界。 若正项级数的部分和数列无上界，则其必发散到+ ∞ 。 正项级数 定义 9.3.1 如果级数∑ ∞ n=1 n x 的各项都是非负实数，即 xn ≥ 0，n = 1,2,…， 则称此级数为正项级数。 §3 正项级数
例.31级数∑h 是正项级数。它的部分和数 n+ 列的通项 所以正项级数分mW的在 k n In 2 kvk(k-1)(k+ =In 2-In k n+1
例 9.3.1 级数 2 2 1 ln ( 1)( 1) n n n n n n ∞ = ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎣ − + ⎦ ∑ 是正项级数。它的部分和数 列的通项 1 2 2 1 ln ( 1)( 1) n n k k k S k k k + = ⎡ ⎤ = ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ − + ∑ 1 2 1 ln ln 1 n k k k k k + = ⎛ ⎞ + < − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ − ∑ 2 ln 2 ln ln 2 1 n n + =− < + ， 所以正项级数 2 2 1 ln ( 1)( 1) n n n n n n ∞ = ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎣ − + ⎦ ∑ 收敛
比较判别法 定理932(比较判别法)设∑xn与∑是两个正项级数,若存 n=1 n=1 在常数A>0,使得 xn≤Ay (1)当∑y收敛时,∑xn也收敛; (2)当∑xn发散时,∑yn也发散
比较判别法 定理 9.3.2(比较判别法) 设∑ ∞ n=1 n x 与∑ ∞ n=1 n y 是两个正项级数，若存 在常数 A > 0，使得 xn ≤A n y , n = 1,2,…， 则 (1)当∑ ∞ n=1 n y 收敛时，∑ ∞ n=1 n x 也收敛； (2)当∑ ∞ n=1 n x 发散时，∑ ∞ n=1 n y 也发散
比较判别法 定理932(比较判别法)设∑xn与∑是两个正项级数,若存 n=1 在常数A>0,使得 x.≤A (1)当∑y收敛时,∑xn也收敛; (2)当∑xn发散时,∑yn也发散 证设级数∑xn的部分和数列为{Sn},级数∑yn的部分和数列 为{Tn},则显然有 Sn≤ATn,n=1,2,… 于是当{}有上界时,{Sn}也有上界,而当{Sn}无上界时,{Tn}必定 无上界。由定理9.3.1即得结论
证 设级数∑ ∞ n=1 n x 的部分和数列为{ Sn }，级数∑ ∞ n=1 n y 的部分和数列 为{Tn }，则显然有 Sn ≤ATn , n = 1,2,…。 于是当{Tn }有上界时，{ Sn }也有上界，而当{ Sn }无上界时，{Tn }必定 无上界。由定理 9.3.1 即得结论。 比较判别法 定理 9.3.2(比较判别法) 设∑ ∞ n=1 n x 与∑ ∞ n=1 n y 是两个正项级数，若存 在常数 A > 0，使得 xn ≤A n y , n = 1,2,…， 则 (1)当∑ ∞ n=1 n y 收敛时，∑ ∞ n=1 n x 也收敛； (2)当∑ ∞ n=1 n x 发散时，∑ ∞ n=1 n y 也发散
注由于改变级数有限个项的数值,并不会改变它的收敛性或发 散性(虽然在收敛的情况下可能改变它的“和”),所以定理932的 条件可放宽为:“存在正整数N与常数A>0,使得xn≤Ayn对一切n>N 成立
注 由于改变级数有限个项的数值，并不会改变它的收敛性或发 散性(虽然在收敛的情况下可能改变它的“和”)，所以定理 9.3.2 的 条件可放宽为：“存在正整数 N 与常数 A>0，使得 xn ≤A n y 对一切 n >N 成立
注由于改变级数有限个项的数值,并不会改变它的收敛性或发 散性(虽然在收敛的情况下可能改变它的“和”),所以定理932的 条件可放宽为:“存在正整数N与常数A>0,使得xn≤Ayn对一切n>N 成立”。 例9.3.2判断正项级数>2,的敛散性 解容易看出当n>3时成立 n+3 2 由∑的收敛性,可知∑”+3收敛
例 9.3.2 判断正项级数∑ ∞ = − + 1 3 2 3 n nn n 的敛散性。 解 容易看出当 n > 3 时成立 nn n − + 3 2 3 2 1 n 0，使得 xn ≤A n y 对一切 n >N 成立
例9.33判断正项级数∑sm的敛散性。 n 解当x∈0.时,成立不等式sinx≥2x,所以当n≥2时, 丌2丌2 SIn n t n 由于∑是发散的,可知∑sm匹发散 n
例 9.3.3 判断正项级数 1 π sin n n ∞ = ∑ 的敛散性。 解 当 ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ π ∈ 2 x ,0 时，成立不等式 sin x ≥ 2 π x ，所以当 n ≥ 2 时， sin n π ≥ 2 π ⋅ n π = n 2 ， 由于 ∑ ∞ =1 1 n n 是发散的，可知 1 π sin n n ∞ = ∑ 发散
定理932(比较判别法的极限形式)设∑x与∑y是两个正 n=1 项级数,且 yn 则 1)若0≤1<+,则当∑y收敛时,∑xn也收敛; (2)若0<1+,则当∑y发散时,∑x也发散。 n=1 所以当0<1<+∞时,∑x与∑y同时收敛或同时发散
定理 9.3.2'（比较判别法的极限形式 ） 设 ∑ ∞ n =1 n x 与 ∑ ∞ n =1 n y 是两个 正 项级数，且 limn→∞ n n y x = l (0 ≤ l ≤ + ∞ )， 则 （ 1）若 0 ≤ l < + ∞ ，则当 ∑ ∞ n =1 n y 收敛时， ∑ ∞ n =1 n x 也收敛； （ 2）若 0 < l ≤ + ∞ ，则当 ∑ ∞ n =1 n y 发散时， ∑ ∞ n =1 n x 也发散。 所以当 0 < l < ∞+ 时， ∑ ∞ n =1 n x 与 ∑ ∞ n =1 n y 同时收敛或同时发散
证下面只给出(1)的证明,(2)的证明类似 由于lm=1N n→0 时 因此 X y 由定理9.32即得所需结论
证 下面只给出（1）的证明，（2）的证明类似。 由于lim n→∞ n n y x = l N 时， n n y x < l+1， 因此 xn < (l+1) n y 。 由定理 9.3.2 即得所需结论