《数学分析》课程电子教案（PPT课件）第五章（5.2）L'Hospital法则

§2 HOspita法则 待定型极限和 L'Hospital法则 n= m b axtaix'+++a li Im x) x+6 x++6,x+6 0.nm 我们将这种类型的极限称为一待定型,简称一型 待定型极限除了型以外,还有型、0.∞型 型、。型 1型、0型等几种。我们先讨论如何求型和型的极限,其余几 种类型的极限都可以化成这两种类型进行计算

待定型极限和L'Hospital法则 lim x→ a x a x a x a b x b x b x b n n n n m m m m + + + + + + + + − − − − 1 1 1 0 1 1 1 0   = a b n m n m n m n n , , , , , , =             0 我们将这种类型的极限称为   待定型，简称   型。 待定型极限除了   型以外，还有 0 0 型、0型、∞ ∞型、 0型、 1  型、0 0 型等几种。我们先讨论如何求 0 0 型和   型的极限，其余几 种类型的极限都可以化成这两种类型进行计算。 §2 L’Hospital 法则

定理5.2.1(L' Hospital法则)设函数f(x)和g(x)在(a,a+上可 导(d是某个正常数),且g(x)≠0。若此时有 lim f(x)=lim g(x)=0 X→a X→)a 或 lim g(x) 且 im(x) 存在(可以是有限数或∞),则成立 x→a g'(x) f(x)= lim/(x) X→a g(x

定理5.2.1（L'Hospital法则） 设函数 f (x) 和 g(x) 在 (a, a + d ] 上可 导( d 是某个正常数)，且g(x)  0。若此时有 lim ( ) lim ( ) x a x a f x g x → + → + = = 0 或 lim ( ) x a g x → + = ， 且 lim ( ) x a ( ) f x → + g x   存在（可以是有限数或∞），则成立 lim ( ) ( ) lim ( ) x a x a ( ) f x g x f x → + → + g x =  

证这里仅对im=A为有限数时来证明 x-a+g(x) 先证明limf(x)=limg(x)=0的情况。 x→a x→a 补充定义f(a)=8(a)=0,则f(x)和g(x)在[a+d上连续,在 aa+d上满足 Cauchy中值定理的条件,因而对于任意x∈(a,a+d),存 在ξ∈(a,a+d),满足 f(x)f(x)-f(a)f"(2) g(x) g(x)-g(a) g(5 当x→>a+时显然有ξ→a+。两端令x→a+,即有 lim f(x) lm(5 lm y(r) x-a+ g(x)5>+g(5 x)a+g()

证 这里仅对 lim ( ) x a ( ) f x → + g x   = A为有限数时来证明。 先证明 lim ( ) lim ( ) x a x a f x g x → + → + = = 0 的情况。 补充定义 f (a) = g(a) = 0，则 f (x)和 g(x)在a,a + d上连续，在 a,a + d上满足Cauchy中值定理的条件，因而对于任意 x  (a,a + d) ,存 在 (a,a + d) ，满足 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f x f x f a f g x g x g a g   −  = = −  。 当 x → a +时显然有 → +a 。两端令 x → a +，即有( ) ( ) lim ( ) ( ) lim ( ) ( ) lim g x f x g f g x f x x a a x a   =   = → + → +  → +  

下面证明limg(x)=∞时的情况。 x→)a f(x) f(x)-f(xo) f(xo g(x) glx) g(x) g(x)-g(x0)f(x)-f(x),f(x0) g(r 8(x)-g(x0)g(x 1-8(x)()-/(x)+xn) g(x)」g(x)-8(x0)g(x) 于是, 8(x)4=∥1-8(x)(x)-f(x)f(x) 8(x)」g(x)-g(x)g(x) ≤-28(x)f(x)-f(x) A+ 8(x)g(x)-g(x) gx)

下面证明 lim ( ) x a g x → + = 时的情况。 f x g x f x f x g x f x g x ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = − + 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 g x f x g x g x f x f x g x g x g x + − −       − = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 0 0 0 0 g x f x g x g x f x f x g x g x + − −       = − 。 于是， A g x f x − ( ) ( ) A g x f x g x g x f x f x g x g x + − − −       = − ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 0 0 0 0 0 g x f x Ag x A g x g x f x f x g x g x − − + − −  − 

因为1m(x)=A,所以对于任意>0,存在p>0(p<d),当 X→a g'( 0<x-a<p时, A<8 g(x) 取x=a+p,由 Cauchy中值定理,对于任意x∈(a,x),存在 5∈(x,x)c(a,a+p)满足 f(x)-f(x0)f(5) g(x)-g(x0)g(5 于是得到 f(r)f\%o/-Al f"(5) <E 8(x)-g(x0) 又因为lmg(x)=∞,所以可以找到正数。<p,当0<x-a<8时,成立 g(x <a g(x) g(x

因为 lim ( ) x a ( ) f x → + g x   = A，所以对于任意  0，存在   0 (   d )，当 0 − x a  时， −     A g x f x ( ) ( ) 。 取 0 x a = +  ，由Cauchy中值定理，对于任意 ( , ) 0 x  a x ，存在 ( , ) ( , )   x x0  a a +  满足 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f x f x f g x g x g   −  = −  ， 于是得到    −    − = − − A g f A g x g x f x f x ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 。 又因为 lim ( ) x a g x → + = ，所以可以找到正数   ，当0 − x a  时，成立   − −  ( ) ( ) ( ) 2, ( ) ( ) 1 0 0 0 g x f x Ag x g x g x

综上所述,即知对于任意>0,存在δ>0,当0<x-a<δ时, A≤l (x0)f(x)-f(x) f(xo)-Ag(xo) g(x)g(x)-g(xo) g(x) <2E+E=3 所以 lim A= lir x→a+ x→a十 g'(x) 证毕 以上结论在x→a±、x→a或x→∞(包括+∞和-∞)时都是成立 的

综上所述，即知对于任意  0，存在  0，当0 − x a  时， A g x f x − ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 0 0 0 0 0 g x f x Ag x A g x g x f x f x g x g x − − + − −  −   + = 2 3    ， 所以 lim ( ) ( ) lim ( ) x a x a ( ) f x g x A f x → + → + g x = =   。 证毕 以上结论在 x → a 、x →a 或 x → （包括+∞和-∞）时都是成立 的

例5.2.1求im cOS 2x x→>0 解这是型。 因为(1-os2x)2 2sin x cosx2(x→0),由 Hospital法则,就 可以得到 s 2x lim 2 x→0 般可以写成如下格式: -coS 2x cOS 2x m =lim 2 sin x cos x SIn x =lim =2lim . lim cos x=2 x→>0

例5.2.1 求 2 0 1 cos 2 lim x x x − → 。 解 这是 0 0 型。 因为 2 2sin cos ( ) (1 cos 2 ) 2 = →  −  x x x x x （ x →0），由L'Hospital法则，就 可以得到 2 1 cos 2 lim 2 0 = − → x x x 。 一般可以写成如下格式： 2 2 0 0 0 0 0 1 cos 2 (1 cos 2 ) lim lim ( ) 2sin cos sin lim 2lim lim cos 2. x x x x x x x x x x x x x x x → → → → → − −  =  = =  =

arctan x 例522求1im2 x→+0 SIn 解由 L'Hospital法则得, T arctan x lim lim x→)+ x→)+0 SIn CoS lim x→+01+x lim cos

例5.2.2 求 π arctan 2 lim 1 sin x x x →+ − 。 解 由L'Hospital法则得， π arctan 2 lim 1 sin x x x →+ −        −      + − = →+ 2 2 1 1 cos 1 1 lim x x x x 1. 1 lim 1 lim cos 1 2 2 = +        = →+ →+ x x x x x

若使用了 L'Hospita法则之后,所得到的m(x)仍是Q型或 x→a g'(x) 型,并且函数∫(x)和g(x)依然满足定理5.2.1的条件,那么可以再次 使用 L Hospital法则,讨论lm"(的极限情况,依次类推,直到求 g"(x) 出极限为止

若使用了L'Hospital法则之后，所得到的 lim ( ) x a ( ) f x → + g x   仍是 0 0 型或   型，并且函数 f (x)和g(x)依然满足定理5.2.1的条件，那么可以再次 使用L'Hospital法则，讨论 lim ( ) x a ( ) f x → + g x   的极限情况，依次类推，直到求 出极限为止

若使用了 L'Hospita法则之后,所得到的m(x)仍是Q型或 x→a g'(x) 型,并且函数∫(x)和g(x)依然满足定理5.2.1的条件,那么可以再次 使用 L Hospital法则,讨论lm"(的极限情况,依次类推,直到求 g"(x) 出极限为止 例5.2.3求 lim x x→>0 解这是型,由 L'Hospita法则 X- tan x sec x lim = lim (仍是。型,再用 L'Hospital法则) x→ 2 sec x tan x =Im lim( 6x x> 3 x coS' x

例5.2.3 求 3 0 tan lim x x x x − → 。 解 这是 0 0 型，由L'Hospital法则 2 2 0 3 0 3 1 sec lim tan lim x x x x x x x − = − → → （仍是 0 0 型，再用L'Hospital法则） x x x x 6 2sec tan lim 2 0 − = → 3 0 1 sin 1 1 lim( ) . x 3 cos 3 x → x x = −   = − 若使用了L'Hospital法则之后，所得到的 lim ( ) x a ( ) f x → + g x   仍是 0 0 型或   型，并且函数 f (x)和g(x)依然满足定理5.2.1的条件，那么可以再次 使用L'Hospital法则，讨论 lim ( ) x a ( ) f x → + g x   的极限情况，依次类推，直到求 出极限为止