《数学分析》课程电子教案（PPT课件）第九章 数项级数（9.3）正项级数

§3正项级数 正项级数 定义9.3.1如果级数∑xn的各项都是非负实数,即 xn≥0,n=1,2 则称此级数为正项级数

正项级数 定义 9.3.1 如果级数  n=1 n x 的各项都是非负实数，即 x n  0，n = 1,2,…， 则称此级数为正项级数。 §3 正项级数

§3正项级数 正项级数 定义9.3.1如果级数∑xn的各项都是非负实数,即 xn≥0,n=1,2 则称此级数为正项级数 显然,正项级数∑xn的部分和数列{Sn}是单调增加的,即 Sn=∑xk≤∑xk=Sm,n=1,2,…, 根据单调数列的性质,立刻可以得到 定理9.3.1(正项级数的收敛原理)正项级数收敛的充分必要 条件是它的部分和数列有上界 若正项级数的部分和数列无上界,则其必发散到+∝

显然，正项级数   n=1 n x 的部分和数列{ n S }是单调增加的，即 n S == n k k x 1   + = 1 1 n k k x =Sn+1， n = 1,2,…， 根据单调数列的性质，立刻可以得到 定理 9.3.1（正项级数的收敛原理） 正项级数收敛的充分必要 条件是它的部分和数列有上界。 若正项级数的部分和数列无上界，则其必发散到 +。 §3 正项级数 正项级数 定义 9.3.1 如果级数  n=1 n x 的各项都是非负实数，即 x n  0，n = 1,2,…， 则称此级数为正项级数

例931级数∑1m-xn+D 是正项级数。它的部分和数 列的通项 k k+1 n+2 Nk(k-1)k+1)点(“k In 2 In 2 n+1 所以正项级数∑7m=Dn+ 收敛

例 9.3.1 级数 2 2 1 ln ( 1)( 1) n n n n n n  =       − +  是正项级数。它的部分和数 列的通项 1 2 2 1 ln ( 1)( 1) n n k k k S k k k + =   =     − +  1 2 1 ln ln 1 n k k k k k + =   +  −     −  2 ln 2 ln ln 2 1 n n + = −  + ， 所以正项级数 2 2 1 ln ( 1)( 1) n n n n n n  =       − +  收敛

比较判别法 定理932(比较判别法)设∑x与∑是两个正项级数,若存 在常数A>0,使得 x.≤A (1)当∑yn收敛时,∑xn也收敛; n=1 (2)当∑xn发散时,∑yn也发散

比较判别法 定理 9.3.2(比较判别法) 设   n=1 n x 与   n=1 n y 是两个正项级数，若存 在常数 A  0，使得 x n A n y , n = 1,2,…， 则 (1)当  n=1 n y 收敛时，  n=1 n x 也收敛； (2)当   n=1 n x 发散时，  n=1 n y 也发散

比较判别法 定理932(比较判别法)设∑x与∑是两个正项级数,若存 在常数A>0,使得 x.≤A (1)当∑yn收敛时,∑xn也收敛; n=1 (2)当∑xn发散时,∑yn也发散。 证设级数∑xn的部分和数列为{Sn},级数∑yn的部分和数列 n=1 为{Gn},则显然有 ATn,n=1,2, 于是当{n}有上界时,{Sn}也有上界,而当{Sn}无上界时,{T}必定 无上界。由定理9.3.1即得结论

证 设级数   n=1 n x 的部分和数列为{ n S }，级数   n=1 n y 的部分和数列 为{Tn }，则显然有 n S ATn , n = 1,2,…。 于是当{Tn }有上界时，{ n S }也有上界，而当{ n S }无上界时，{Tn }必定 无上界。由定理 9.3.1 即得结论。 比较判别法 定理 9.3.2(比较判别法) 设   n=1 n x 与   n=1 n y 是两个正项级数，若存 在常数 A  0，使得 x n A n y , n = 1,2,…， 则 (1)当  n=1 n y 收敛时，  n=1 n x 也收敛； (2)当   n=1 n x 发散时，  n=1 n y 也发散

注由于改变级数有限个项的数值,并不会改变它的收敛性或发 散性(虽然在收敛的情况下可能改变它的“和”),所以定理9.3,2的 条件可放宽为:“存在正整数N与常数A>0,使得xn≤Ayn对一切n>N 成立

注 由于改变级数有限个项的数值，并不会改变它的收敛性或发 散性(虽然在收敛的情况下可能改变它的“和”)，所以定理 9.3.2 的 条件可放宽为：“存在正整数 N 与常数 A 0，使得x n A n y 对一切 n N 成立

注由于改变级数有限个项的数值,并不会改变它的收敛性或发 散性(虽然在收敛的情况下可能改变它的“和”),所以定理9.3,2的 条件可放宽为:“存在正整数N与常数A>0,使得xn≤Ayn对一切n>N 成立”。 例932判断正项级数∑”+3的敛散性。 解容易看出当n>3时成立 n+3 2 由∑n2的收敛性,可知∑2n收敛

例 9.3.2 判断正项级数   = − + 1 3 2 3 n n n n 的敛散性。 解 容易看出当 n  3 时成立 n n n − + 3 2 3 2 1 n  ， 由  =1 2 1 n n 的收敛性，可知  = − + 1 3 2 3 n n n n 收敛。 注 由于改变级数有限个项的数值，并不会改变它的收敛性或发 散性(虽然在收敛的情况下可能改变它的“和”)，所以定理 9.3.2 的 条件可放宽为：“存在正整数 N 与常数 A 0，使得x n A n y 对一切 n N 成立

例933判断正项级数∑sin的敛散性 解当x∈0,时,成立不等式sinx≥2x,所以当n≥2时, 2 SIn n 7t n 由于∑是发散的,可知∑sn发散

例 9.3.3 判断正项级数 1 π sin n n  =  的敛散性。 解 当         2 x 0, 时，成立不等式 sin x  2 π x ，所以当 n 2 时， sin n   2 π  n  = n 2 ， 由于   =1 1 n n 是发散的，可知 1 π sin n n  =  发散

定理9.3.2(比较判别法的极限形式)设∑x与∑yn是两个正 项级数,且 im=l(0≤7≤+∞), n→00 (1)若0≤1<+∞,则当∑y收敛时,∑x也收敛; (2)若0<l≤+∞,则当∑yn发散时,∑x也发散 所以当0<1<+∞时,∑x与∑y同时收敛或同时发散

定理 9.3.2'（比较判别法的极限形式） 设  n=1 n x 与  n=1 n y 是两个正 项级数，且 lim n→ n n y x = l (0  l  + )， 则 （1）若 0  l  +，则当  n=1 n y 收敛时，  n=1 n x 也收敛； （2）若 0  l  +，则当  n=1 n y 发散时，  n=1 n x 也发散。 所以当 0 l +时，  n=1 n x 与  n=1 n y 同时收敛或同时发散

证下面只给出(1)的证明,(2)的证明类似 由于lim=lN 时, 因此 X.< y 由定理9.32即得所需结论

证 下面只给出（1）的证明，（2）的证明类似。 由于lim n→ n n y x = l  + ，由极限的性质知，存在正整数 N，当 n N 时， n n y x  l+1， 因此 x n  (l+1) n y 。 由定理 9.3.2 即得所需结论