§2定积分的基本性质 性质1(线性性)设f(x)和g(x)都在[ab上可积,k1和k2是常数 则函数k1f(x)+k2g(x)在[a,b上也可积,且有 Tk,f(x)+k2g(x)]dx=k f(x)dx +k2 g(x)dx 证对[a,b的任意一个划分 a=x0, l≤i≤n im∑[f(5)+k28()Ax=km∑f(5)Ax+klm∑g(5)x kL. f(x)dx+k2 g(x)
性质 1（线性性） 设 f (x)和 g( x)都在[a, b]上可积， 1 k 和 2 k 是常数。 则函数k f x k g x 1 2 ( ) + ( )在[a, b]上也可积，且有 1 2 1 2 [ ( ) ( )]d ( )d ( )d b b b a a a k f x k g x x k f x x k g x x + = + 。 证 对[a, b]的任意一个划分 ， a = x0 x1 x2 xn = b 和任意点 [ , ] i i 1 i x x − ，成立等式 = = = + = + n i i i n i i i n i i i i k f k g x k f x k g x 1 2 1 1 1 1 2 [ ( ) ( )] ( ) ( ) 。 令 max( ) 0 1 = → i i n x ， 1 2 1 2 0 0 0 1 1 1 lim [ ( ) ( )] lim ( ) lim ( ) n n n i i i i i i i i i i k f k g x k f x k g x → → → = = = + = + 1 2 ( )d ( )d b b a a = + k f x x k g x x ， §2 定积分的基本性质
由定义,kf(x)+k2g(x)在[a,b]上可积,且 CIKs(x)+kg(x)]dx=k, f(x)dx+k, g(r)dr
由定义，k f x k g x 1 2 ( ) + ( )在[a, b]上可积，且 1 2 1 2 [ ( ) ( )]d ( )d ( )d b b b a a a k f x k g x x k f x x k g x x + = +
由定义,kf(x)+k2g(x)在[a,b]上可积,且 CIKs(x)+kg(x)]dx=k, f(x)dx+k, g(r)dr 推论若f(x)在[a,b上可积,而g(x)只在有限个点上与f(x)的取 值不相同,则g(x)在[a,b上也可积,并且有 f(x)dx= g(x)dr 这就是说,若在有限个点上改变一个可积函数的函数值,并不影 响其可积性和积分值
推论 若 f (x) 在 [a, b] 上可积，而 g( x) 只在有限个点上与 f (x) 的取 值不相同，则 g( x)在[a, b]上也可积，并且有 ( )d ( )d b b a a f x x g x x = 。 这就是说，若在有限个点上改变一个可积函数的函数值，并不影 响其可积性和积分值。 由定义，k f x k g x 1 2 ( ) + ( )在[a, b]上可积，且 1 2 1 2 [ ( ) ( )]d ( )d ( )d b b b a a a k f x k g x x k f x x k g x x + = +
性质2(乘积可积性)设f(x)和g(x)都在[a,b上可积,则f(x),g(x) 在[a,b上也可积 证由于f(x)和g(x)都在[a,b上可积,所以它们在[a,b]上有界 因此存在常数M,满足 (x)≤M和|g(x)|≤ 对[a,b的任意划分 x1<x,<…<xn=b 设和是[x1,x中的任意两点,则有 If(g()-f(g() ≤f(x)-f(x)|g(x)|+|f(X)|·|g(x)-g(x) [|(x)-f(x)|+|()-g(x)
性质 2（乘积可积性） 设 f (x)和 g( x)都在[a, b]上可积，则 f (x) g(x) 在[a, b]上也可积。 证 由于 f (x)和 g( x)都在[a, b]上可积，所以它们在[a, b]上有界。 因此存在常数 M ，满足 | f (x)| M 和 | g(x) | M, x [a, b]。 对[a, b]的任意划分 a = x0 x1 x2 xn = b， 设x 和 ~ x 是[x , x ] i−1 i 中的任意两点，则有 | ( ) ( ) ( ) ( ) | ˆ ˆ | ( ) ( ) | | ( ) | | ( ) | | ( ) ( ) | ˆ ˆ ˆ ( ) ( ) ( ) ( ) . ˆ ˆ f x g x f x g x f x f x g x f x g x g x M f x f x g x g x − − + − − + −
记f(x)·8(x)在小区间[x,x上的振幅为a,f(x)和g(x)在小区间 x21,x,上的振幅分别为a和a”,则上式意味着 ≤M(c+), 因此 0≤∑AxsM∑oAx+∑oAx) 令λ=max(Ax)→>0,不等式的右端趋于零。由极限的夹逼性,得到 lim>o,△x=0, 根据 Riemann可积的充分必要条件,即知f(x)·g(x)在[a,b可积 要注意的是,一般说来 f(x)g(x)dx+ f(x)dx g(x)d
记 f (x) g(x) 在小区间 [x , x ] i−1 i 上的振幅为i ， f (x) 和 g( x) 在小区间 [x , x ] i−1 i 上的振幅分别为i 和i ，则上式意味着 ( ) i i i + M ， 因此 1 1 1 0 ( ) n n n i i i i i i i i i x M x x = = = + 。 令 1 max( ) 0 i i n x = → ，不等式的右端趋于零。由极限的夹逼性，得到 0 1 lim 0 n i i i x → = = ， 根据 Riemann 可积的充分必要条件，即知 f (x) g(x)在[a, b]可积。 要注意的是，一般说来 ( ) ( ) ( ) ( )d ( )d ( )d b b b a a a f x g x x f x x g x x
性质3(保序性)设f(x)和g(x)都在[ab上可积,且在[a,b]上恒有 f(x)≥g(x),则成立 f(x)dx2 g(x)di 证我们只要证明对[a,b上的非负函数f(x),成立 f(x)dx≥0。 由于在{a,b上f(x)≥0,因此对[a,b的任意一个划分 x0<x1<x2<…<xn=b 和任意点5∈[x-1,x],有 ∑f(5)x≥0。 令=max(Ax)→0,即得到 l≤i≤n J(x)x=im∑f(5)Ax20
性质 3（保序性）设 f (x)和 g( x)都在[a, b]上可积，且在[a, b]上恒有 f (x) g(x)，则成立 ( )d ( )d b b a a f x x g x x 。 证 我们只要证明对[a, b]上的非负函数 f (x)，成立 ( )d 0 b a f x x 。 由于在[a, b]上 f (x) 0，因此对[a, b]的任意一个划分 a = x0 x1 x2 xn = b 和任意点 1 [ , ] i i i x x − ，有 1 ( ) 0 n i i i f x = 。 令 1 max( ) 0 i i n x = → ，即得到 0 1 ( )d lim ( ) 0 n b i i a i f x x f x → = =
性质4(绝对可积性)设f(x)在{a,b上可积,则f(x)在[a,b上 也可积,且成立 f(x)dx≤f(x)|dxo 证由于对于任意两点籴和x,都有 If(il-If(x)l slf(i)-f(x)l 仿照性质2的证明即可证得|f(x)在[a,b上可积 又因为对任意x∈[a,b],成立 f(x)≤f(x)≤f(x), 由性质3得到 ∫1()dsx)dxs∫nx)dr 这就是 f(xdx
性质 4（绝对可积性）设 f (x)在[a, b]上可积，则 | f (x) | 在[a, b]上 也可积，且成立 ( )d | ( ) | d b b a a f x x f x x 。 证 由于对于任意两点x 和~ x ，都有 | | ( )| | ( ~)| | | ( ) ( ~ f x − f x f x − f x ) | ， 仿照性质 2 的证明即可证得 | f (x) | 在[a, b]上可积。 又因为对任意 x [a,b]，成立 − | f (x)| f (x) | f (x) | ， 由性质 3 得到 | ( ) | d ( )d | ( ) | d b b b a a a − f x x f x x f x x ， 这就是 ( )d | ( ) | d b b a a f x x f x x
要注意的是,性质4的逆命题不成立,也就是说,由(x)在[a,b 上的可积性并不能得出f(x)在[a,b上的可积性 反例 x为有理数 f(x)= x∈[0,]。 1,x为无理数
要注意的是，性质 4 的逆命题不成立，也就是说，由 | f (x) | 在 [a, b] 上的可积性并不能得出 f (x)在[a, b]上的可积性。 反例： − = 1, , 1, , ( ) 为无理数 为有理数 x x f x x [0,1]
性质5(区间可加性)设f(x)在[a,b上可积,则对任意点c∈,b], f(x)在a,]和c,b上都可积;反过来,若f(x)在[a,q]和[c,b上都可积, 则f(x)在{ab上可积。此时成立 X)ax f(x)dx+ f(x)da 证先假定f(x)在{a,b上可积,设c是[a,b中任意给定的一点。 由定理7.1.3,对任意给定的E>0,存在[a,b的一个划分 a=x0<x1<x2<…<xn=b, 使得满足 △x.<E 我们总可以假定c是其中的某一个分点x,否则只要在原有划分中插 入分点c作成新的划分,由 Darboux和的性质(引理7.1.1),上面的 不等式仍然成立
性质 5（区间可加性）设 f (x)在[a, b]上可积，则对任意点c [a, b]， f (x)在[a, c]和[c, b]上都可积；反过来，若 f (x)在[a, c]和[c, b]上都可积， 则 f (x)在[a, b]上可积。此时成立 ( )d ( )d ( )d b c b a a c f x x f x x f x x = + 。 证 先假定 f (x)在[a, b]上可积，设c 是[a, b]中任意给定的一点。 由定理 7.1.3，对任意给定的 0，存在[a, b]的一个划分 a = x0 x1 x2 xn = b， 使得满足 1 n i i i x = 。 我们总可以假定c是其中的某一个分点 xk ，否则只要在原有划分中插 入分点c作成新的划分，由 Darboux 和的性质（引理 7.1.1），上面的 不等式仍然成立
将 x0<x1<x<……<xh=C 0 和 c=xk<xkl<xkr<.<xn= b 分别看成是对[a,c和[c,b作的划分,则显然有 ∑OAx<E和∑oAx<E, 由定理7.1.3,f(x)在[a,q]和[c,b上都是可积的
将 a x x x x c = 0 1 2 k = 和 c = xk xk+1 xk+2 xn = b 分别看成是对[a, c]和[c, b]作的划分，则显然有 1 k i i i x = 和 1 n i i i k x = + ， 由定理 7.1.3， f (x)在[a, c]和[c, b]上都是可积的
