§3导数四则运算和反函数求导法则 从定义出发求导函数 一些简单的函数可以直接通过导数的定义来求导函数: 常数函数y=C的导数恒等于零。 例4.3.1求y=sinx的导函数。 解m(x+△x)-snx=2cosx+ △ SIn ,由cosx的连续性与 △x△x (Ax→0),可知 22 sIn lim sin(x+Ax)-sin x =im cos/r+r lim cOSx, Ax→0 2)△x→0△x 根据定义,即得 (sin x)=cos x
从定义出发求导函数 一些简单的函数可以直接通过导数的定义来求导函数： 常数函数 y = C的导数恒等于零。 例4.3.1 求 y = sin x的导函数。 解 2 sin 2 sin( ) sin 2cos x x x x x x + − = + ，由cos x的连续性与 ( 0) 2 ~ 2 sin → x x x ，可知 0 sin( ) sin lim x x x x → x + − 2 2 sin lim 2 lim cos 0 0 x x x x x x = + → → =cos x， 根据定义，即得 (sin x) = cos x。 §3 导数四则运算和反函数求导法则
例4.3.2求y=lnx的导函数。 解n(x+Ax)-hx=h x+△x =ln1+ 由h Ax)△x -(Ax→>0),可知 △x In 1+ lim ln(x+△x)-nx =-lim ↑x→0 x4x→0 根据定义,即有 (n x)
例4.3.2 求 y = ln x 的导函数。 解 = + + + − = x x x x x ln( x x) ln x ln ln 1 , 由ln 1 ~ ( → 0) + x x x x x ，可知 0 0 ln 1 ln( ) ln 1 1 lim lim x x x x x x x x x x x x → → + + − = = ， 根据定义，即有 (ln x) x = 1
例4.3.3求y=e的导函数。 解利用等价关系式e-1~△x(4x→0),可得 e lim lim Ax→0△x 即有 进一步,利用等价关系a-1~Axha(a>0,a≠1),可得 (a'=(n a ) a
例4.3.3 求 x y = e 的导函数。 解 利用等价关系式 e 1~ ( 0) x x x − → ，可得 0 0 e e e 1 lim e lim e x x x x x x x x x x + → → − − = = ， 即有 (e ) e x x = 。 进一步，利用等价关系 −1 ~ ln ( 0, 1) a x a a a x ，可得 (a ) (ln a)a x x =
例4.3.3求y=e的导函数。 解利用等价关系式e-1~△x(4x→0),可得 e lim lim Ax→0△x Ax→0 即有 进一步,利用等价关系a-1~Axha(a>0,a≠1),可得 (a'=(n a ) a 注意:y=e的导函数恰为它的本身,这就是高等数学中讨论指数 函数和对数函数时经常将底数取成e的缘故。以后会知道,若一个函 数的导函数等于它本身,那么这个函数与y=e至多相差一个常数因 子,即它必为 Ce 的形式
注意： y x = e 的导函数恰为它的本身,这就是高等数学中讨论指数 函数和对数函数时经常将底数取成e的缘故。以后会知道，若一个函 数的导函数等于它本身，那么这个函数与 y x = e 至多相差一个常数因 子，即它必为 y C x = e 的形式。 例4.3.3 求 x y = e 的导函数。 解 利用等价关系式 e 1~ ( 0) x x x − → ，可得 0 0 e e e 1 lim e lim e x x x x x x x x x x + → → − − = = ， 即有 (e ) e x x = 。 进一步，利用等价关系 −1 ~ ln ( 0, 1) a x a a a x ，可得 (a ) (ln a)a x x =
例4.3.4求幂函数y=x2(x>0)的导函数,其中a为任意实数。 解利用等价关系1+x1-1-N(Ax→0,有 x △x x|1+ im(x+△r)y2-x2 m Ax->0 △ =x lim 于是得到 (x)=ax
例4.3.4 求幂函数 y x a = ( x 0 )的导函数,其中a为任意实数。 解 利用等价关系 x a x x x a − 1+ 1 ~ (x →0),有 , 1 1 lim 1 1 lim ( ) lim 1 0 1 0 0 − → − → → = − + = − + = + − a a x a a a x a a x ax x x x x x x x x x x x x x x x 于是得到 (x ) ax a a = −1
注意:对于具体给定的实数a,幂函数y=x“的定义域与可导范 围可能扩大,例如 y=x(n为自然数)的定义域为(-∞,+∞),它的导函数为 y=nx",x∈(-0,+∞); y=1(n为自然数)的定义域为(-,0)0.+0),它的导函数为 n nH,x∈(-∞,0)∪(0,+∞); y=x3的定义域为(-∞,+∞),它的导函数为 2 ,x∈(-∞,0)(0,+∞) y=x2的定义域为[0+∞),它的导函数为
注意：对于具体给定的实数a，幂函数 y x a = 的定义域与可导范 围可能扩大，例如： n y x = （n为自然数）的定义域为( , ) − + ，它的导函数为 1 , ( , ) n y nx x − = − + ； 1 n y x = （n为自然数）的定义域为( ,0) (0, ) − + ，它的导函数为 1 , ( ,0) (0, ) n n y x x + − = − + ； 2 3 y x = 的定义域为( , ) − + ，它的导函数为 3 2 , ( ,0) (0, ) 3 y x x = − + ； 1 2 y x = 的定义域为0,+)，它的导函数为 1 , (0, ) 2 y x x = +
求导的四则运算法则 定理4.3.1设f(x)和g(x)在某一区间上都是可导的,则对任意 常数c1和2,它们的线性组合c1f(x)+c2g(x)也在该区间上可导,且满 足如下的线性运算关系 ICIf(x)+c2g(x)]=cif'(x)+c2g(x 证由f(x)和g(x)可导性,根据定义,可得 [Gf(x)+c28(x)]=lir cf(x+△x)+c2(x+△x)]-[f(x)+c2g(x) Ax→0 Ax lim f(x+△x)-f(x) tc. lim g(x+△x)-g(x) Ax→0 (x)+c2g(x) 证毕
求导的四则运算法则 定理4.3.1 设 f (x)和 g( x)在某一区间上都是可导的,则对任意 常数c1和c2 ，它们的线性组合c f x c g x 1 2 ( ) + ( )也在该区间上可导，且满 足如下的线性运算关系 [c f (x) c g x)] c f (x) c g x) 1 + 2 1 2 ( = + ( 。 证 由 f (x)和 g( x)可导性,根据定义，可得 c f x c g x 1 2 ( ) ( ) + = 1 2 1 2 0 ( ) ( ) ( ) ( ) lim x c f x x c g x x c f x c g x → x + + + − + = 1 0 ( ) ( ) lim x f x x f x c → x + − + 2 0 ( ) ( ) lim x g x x g x c → x + − = 1 2 c f x c g x ( ) ( ). + 证毕
求导的四则运算法则 定理4.3.1设f(x)和g(x)在某一区间上都是可导的,则对任意 常数c1和2,它们的线性组合c1f(x)+c2g(x)也在该区间上可导,且满 足如下的线性运算关系 ICIf(x)+c2g(x)]=cif'(x)+c2g(x 证由f(x)和g(x)可导性,根据定义,可得 4(x)+2g(=lm/(x+A+8+)-/()+g Ax→0 Ax f(x+△x)-f(x) g(x+△x)-g(x) Im tc. lim (x)+c2g(x) 证毕 对于函数cf(x)+c2g(x)的微分,也有类似的结果 d[c f(x)+cg(x)=cd[f(x)+c,d[g(x)]
对于函数 c f x c g x 1 2 ( ) + ( )的微分，也有类似的结果： [ ( ) )] [ ( )] [ )] 1 2 1 2 d c f x +c g(x = c d f x +c d g(x 。 求导的四则运算法则 定理4.3.1 设 f (x)和 g( x)在某一区间上都是可导的,则对任意 常数c1和c2 ，它们的线性组合c f x c g x 1 2 ( ) + ( )也在该区间上可导，且满 足如下的线性运算关系 [c f (x) c g x)] c f (x) c g x) 1 + 2 1 2 ( = + ( 。 证 由 f (x)和 g( x)可导性,根据定义，可得 c f x c g x 1 2 ( ) ( ) + = 1 2 1 2 0 ( ) ( ) ( ) ( ) lim x c f x x c g x x c f x c g x → x + + + − + = 1 0 ( ) ( ) lim x f x x f x c → x + − + 2 0 ( ) ( ) lim x g x x g x c → x + − = 1 2 c f x c g x ( ) ( ). + 证毕
因为log。x In x,由定理4.3.1和对数函数的导数公式,有 xIn a 例4.3.5求y=5 slog, x+3√x的导函数(a>0,a≠1) 解 y=(5lgnx+3y=5(0gx)+3xy=53 xlna2√x
因为 a x x a ln ln log = ，由定理4.3.1和对数函数的导数公式，有 ( ) x a x a x a ln 1 (ln ) ln 1 log = = 。 例4.3.5 求 y x x = 5log a + 3 的导函数 (a 0, a 1)。 解 5 3 (5log 3 ) 5(log ) 3( ) . ln 2 a a y x x x x x a x = + = + = +
定理4.3.2设f(x)和g(x)在某一区间上都是可导的,则它们的 积函数也在该区间上可导,且满足 If(x).g(x=f(x)g(x)+f(x)g(x); 相应的微分表达式为 u[f(x)·g(x)]=g(x)l[f(x)]+∫(x)l[g(x)。 证因为 f(x+△x)g(x+△x)-f(x)·g(x) f(x+△x):g(x+△x)-f(x+△x)·g(x)+[f(x+△x)·8(x)-f(x)·g(x) Ax =f(x+△x) g(x+△x)-g(x) x+△ +g(x) △x △x 由f(x)和g(x)可导性(显然f(x)也具有连续性),即可得到 f(x) g(x),=lim f(x+Ax).g(x+ Ax)-f(x)g(x) △ =limf(x+△x)lim g(x+△x)-g(x) +g(x)im<(x+△x)-f(x) Ax→0 △x→0 f(x)g(x)+f(x)g(x) 证毕
定理4.3.2 设 f (x)和 g( x)在某一区间上都是可导的,则它们的 积函数也在该区间上可导，且满足 [ f (x) g(x)] = f (x)g(x) + f (x)g(x)； 相应的微分表达式为d[ f (x) g(x)] = g(x)d[ f (x)]+ f (x)d[g(x)]。 证 因为 ( ) ) ( ) ) [ ( ) ) ( ) )] [ ( ) ) ( ) )] ) ) ( ) ( ) ( ) ) , f x x g x x f x g x x f x x g x x f x x g x f x x g x f x g x x g x x g x f x x f x f x x g x x x + ( + − ( + ( + − + ( + + ( − ( = ( + − ( + − = + + ( 由 f (x)和 g( x)可导性（显然 f x( ) 也具有连续性），即可得到 0 0 0 0 ( ) ) ( ) ) [ ( ) ( )] lim ) ) ( ) ( ) lim ( ) lim ) lim x x x x f x x g x x f x g x f x g x x g x x g x f x x f x f x x g x x x → → → → + ( + − ( = ( + − ( + − = + + ( 。 = + f x g x f x g x ( ) ( ) ( ) ( ). 证毕