§4定积分在几何计算中的应用 应用一元函数的定积分可解决求平面图形的面积、求曲线的弧长、 求某些特殊的几何体的体积、求旋转曲面的面积等等类型的问题
应用一元函数的定积分可解决求平面图形的面积、求曲线的弧长、 求某些特殊的几何体的体积、求旋转曲面的面积等等类型的问题。 §4 定积分在几何计算中的应用
§4定积分在几何计算中的应用 应用一元函数的定积分可解决求平面图形的面积、求曲线的弧长、 求某些特殊的几何体的体积、求旋转曲面的面积等等类型的问题 求平面图形的面积 考虑由连续曲线y=f(x),直线 y=f(r) x=a,x=b和y=0(即x轴)所围区域 L X 的面积。 当fx)>0时,面积为∫f(x)dx 百f(x)<0时,面积为∫-f(x)dx 图7.4.1 当f(x)在区间b上不保持定号 时,所要求的面积(如图7.4.1中的阴影部分的面积)应为 S=f(x)|dx
求平面图形的面积 考虑由连续曲线 y = f (x) ，直线 x = a ，x = b和 y = 0（即x 轴）所围区域 的面积。 当 f (x) 0时，面积为 ( )d b a f x x ； 当 f (x) 0时，面积为 [ ( )]d b a − f x x 。 当 f (x) 在区间[a,b] 上不保持定号 时，所要求的面积（如图 7.4.1 中的阴影部分的面积）应为 | ( ) | d b a S f x x = 。 §4 定积分在几何计算中的应用 应用一元函数的定积分可解决求平面图形的面积、求曲线的弧长、 求某些特殊的几何体的体积、求旋转曲面的面积等等类型的问题。 a c b
夹在连续曲线y=f(x)和y=g(x)之间, 左右由直线x=a,x=b界定的那部分区域 的面积(图7.4.2)为 s= If(x)-g(x)ldx g(x) 图74.2
夹在连续曲线 y = f (x) 和 y = g(x) 之间， 左右由直线 x = a ， x = b界定的那部分区域 的面积(图 7.4.2)为 | ( ) ( ) | d b a S f x g x x = −
夹在连续曲线y=f(x)和y=g(x)之间, 左右由直线x=a,x=b界定的那部分区域 的面积(图7.4.2)为 s= If(x)-g(x)ldx g(x) 例7.4.1计算由曲线y=x2和x=y2 图74.2 所围区域的面积。 y 解曲线y=x2和x=y2的交点坐标 y=x 为(00)和(,1),而当x∈[0,],√x≥x2(图 y=√x 7.4.3), 因此,所求的面积为 x Xvx--x 0 图7.4.3
例 7.4.1 计算由曲线 y = x 2 和 x = y 2 所围区域的面积。 解 曲 线 y = x 2 和 x = y 2 的交点坐标 为 (0,0) 和 (1,1) ，而当 x [0,1] ， x x 2 (图 7.4.3)， 因此，所求的面积为 1 2 0 ( )d x x x − 3 1 3 1 3 2 1 0 3 = = x x − x 。 夹在连续曲线 y = f (x) 和 y = g(x) 之间， 左右由直线 x = a ， x = b界定的那部分区域 的面积(图 7.4.2)为 | ( ) ( ) | d b a S f x g x x = −
例7.4.2设(x,y)是等轴双曲线x2-y2=1上的任意一点,求由 双曲线与连接点(x,y)和原点的线段,连接点(x,-y)和原点的线段所 围成的曲边三角形的面积t(图7.4.4)。 图7.4.4
例 7.4.2 设(x, y) 是等轴双曲线x y 2 2 − = 1上的任意一点，求由 双曲线与连接点(x, y) 和原点的线段，连接点(x,− y)和原点的线段所 围成的曲边三角形的面积t (图 7.4.4)
例7.4.2设(x,y)是等轴双曲线x2-y2=1上的任意一点,求由 双曲线与连接点(x,y)和原点的线段,连接点(x,-y)和原点的线段所 围成的曲边三角形的面积t(图7.4.4)。 解不妨设x>0, 2J, Vu-1du xy x+√x xy-xy+In(x+y)=In(x+y) 由此得到x+y=e,由于x2-y2=1, 两式相除便有x-y=e-,于是解得 (x,y) e +e c ht 2 e -e sht 图7.4.4
解 不妨设 x 0， t = 2 2 1 1 d 2 xy x u u − − ( 1 ln| 1|) 2 2 = x y − x x − − x + x − = xy − xy + ln (x + y ) = ln (x + y )。 由此得到 x y t + = e ，由于 x y 2 2 − = 1， 两式相除便有 x y t − = − e ，于是解得 x t y t t t t t = + = = − = − − e e ch e e sh 2 2 ， 。 例 7.4.2 设(x, y) 是等轴双曲线x y 2 2 − = 1上的任意一点，求由 双曲线与连接点(x, y) 和原点的线段，连接点(x,− y)和原点的线段所 围成的曲边三角形的面积t (图 7.4.4)
注我们知道三角函数又统称为圆函数,这是因为,若在单位圆 上取点(x,y)和(x,-y),类似地考虑由圆弧与连接点(x,y)和原点的线 段,连接点(x,-y)和原点的线段所围成的扇形(图7.4.5),设扇形的 面积为t,则有熟知的结论 x= cost y=Snt。 两相比较,就不难明白,为什么要把 y=shx、y=chx统称为双曲函数,并分别冠以 双曲正弦和双曲余弦的名称。 图7.4.5
注 我们知道三角函数又统称为圆函数，这是因为，若在单位圆 上取点(x, y) 和(x,− y)，类似地考虑由圆弧与连接点(x, y) 和原点的线 段，连接点(x,− y)和原点的线段所围成的扇形(图 7.4.5)，设扇形的 面积为t ，则有熟知的结论 x t y t = = cos sin ， 。 两 相 比 较 ， 就 不 难 明 白 ， 为 什 么 要 把 y = sh x、y = ch x 统称为双曲函数，并分别冠以 双曲正弦和双曲余弦的名称
若y=f(x),x∈[a,b是用参数形式 x=x(t) y=y(t), t∈[T1,72 表达的,x()在[1,T2]上具有连续导数,且x(1)≠0。那么用换元法可以 证明,由连续曲线y=f(x),直线x=a,x=b和y=0(即x轴)所围 区域的面积为 s=ly(Ox(o)ldt
若 y f x = ( ) ， x a b [ , ] 是用参数形式 x x t y y t t T T = = ( ), ( ), [ , ] 1 2 表达的，x(t)在[ , ] T1 T2 上具有连续导数，且 x (t) 0。那么用换元法可以 证明，由连续曲线 y = f (x)，直线 x = a ， x = b和 y = 0（即 x 轴）所围 区域的面积为 2 1 | ( ) ( ) | d T T S y t x t t =
例7.4.3求椭圆+=1的面积。 解利用对称性,只求第一象限的那一块面积(图 7.4.6)。将椭圆写成参数方程形式 x= a cos t bsin t 则当x从0变到a时,t从变到0,所以 T abl. sint(cost)'dt =ab sin tdt=ab 4 S=πab。 图74.6
例 7.4.3 求椭圆 x a y b 2 2 2 2 + = 1的面积。 解 利用对称性，只求第一象限的那一块面积(图 7.4.6)。将椭圆写成参数方程形式 x a t y b t = = cos , sin , 则当 x 从 0 变到a 时，t 从 2 变到 0，所以 π 2 0 sin (cos ) d 4 S = ab t t t π 2 2 0 = ab t t sin d = 4 ab， 即 S = ab。 图7.4.6 y b a x
例7.4.4求旋轮线(摆线) x=a(t-sin t) y=a(1 t∈[O,2π与x轴所围 区域的面积(图7.4.7) 解S=an(-cos?)d=a「(1-2cos1+ 1+cos 2t dt=3ma2。 x 图74.7
例 7.4.4 求旋轮线（摆线） x a t t y a t t = − = − ( sin ), ( cos ), [ , ] 1 0 2 与 x 轴所围 区域的面积(图 7.4.7)。 解 2π 2 2 0 S a t t = − (1 cos ) d 2π 2 0 1 cos 2 1 2cos d 2 t a t t + = − + = 3 2 a 。 0 x y a 图7.4.7
