习题15.1 1.求下列极限: (1)lim (2) lim 2.设∫(x,y)当y固定时,关于x在{ab]上连续,且当y→y0-时,它关于y单 调增加地趋于连续函数叭(x),证明 lim f(x, y)dr=p(r)dr 3.利用交换积分顺序的方法计算下列积分 (1) dx(b>a>0); Inx (2)|2ln 1+ asin dx (1>a>0) asinx sinx 4.求下列函数的导数 (1)(y)= dx y- cos ry (2)(y)= dx (3)F(=dx sin( 5.设(y)=(x+y)(x,其中为可微函数,求rU) 6.设F(y)=(x1y=xd(a<b),其中fx)为可微函数,求F(y 7.设函数f(x)具有二阶导数,F(x)是可导的,证明函数 u(, )=2V(x-an)+/(x+a ]+2ar-aF(v) 满足弦振动方程 a-u au Ot 以及初始条件(x,0)=f(x),(x0)=F(x)。 ot 8.利用积分号下求导法计算下列积分: (a'-sin x)dx (a>1) In(1-2a cos x+a dx (ak1); (3)2 In(a2sin'x+b2 cos2 x)dx 9.证明:第二类椭圆积分习 题 15.1 1． 求下列极限： （1） ∫ + → + + α α α 1 0 2 2 0 1 lim x dx ； （2） ∫ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + + →∞ 1 0 1 1 lim n n n x dx 。 2． 设 f (x, y) 当 y 固定时，关于 x在[a,b]上连续，且当 y → y0 − 时，它关于 单 调增加地趋于连续函数 y φ(x) ，证明 ∫ = ∫ → − b a b a y y lim f (x, y)dx (x)dx 0 φ 。 3． 利用交换积分顺序的方法计算下列积分： （1） ( 0) ln 1 sin ln 1 0 > > − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∫ dx b a x x x x b a ； （2） (1 0) 1 sin sin 1 sin ln 2 0 > > − + ∫ a x dx a x a x π 。 4． 求下列函数的导数： （1） = ∫ − ； 2 2 ( ) y y x y I y e dx （2） ∫ = 2 cos ( ) y y dx x xy I y ； （3） ∫ ∫ 。 + − = + − x t x t t F(t) dx sin(x y t )dy 2 2 2 0 2 5． 设 = ∫ + ，其中 为可微函数，求 y I y x y f x dx 0 ( ) ( ) ( ) f I′′( y)。 6． 设 F( y) f (x) | y x | dx (a b) ，其中 为可微函数，求 。 b a = − < ∫ f (x) F′′( y) 7． 设函数 f (x) 具有二阶导数， F(x)是可导的，证明函数 [ ] ∫ + − = − + + + x at x at F y dy a u x t f x at f x at ( ) 2 1 ( ) ( ) 2 1 ( , ) 满足弦振动方程 2 2 2 2 2 x u a t u ∂ ∂ = ∂ ∂ ， 以及初始条件 ( ,0) ( ), (x,0) F(x) t u u x f x = ∂ ∂ = 。 8．利用积分号下求导法计算下列积分： （1） ln( sin ) ( 1) 2 0 2 2 − > ∫ a x dx a π ； （2） ln(1 2 cos ) (| | 1) ； 0 2 − + < ∫ α α α π x dx （3）∫ + 2 0 2 2 2 2 ln( sin cos ) π a x b x dx 。 9．证明：第二类椭圆积分 1