(2)由定理,存在可逆阵P,使得 P-LAP 0入2 00 故有 P4D=0A2** 00 00 所以1,1,…,A1是A-1的全部特征值 (3)由A*=|4A-即得.同 封.例 例7称n阶方阵A存合9(x),即9(4)=0.则A的特征值也存合g(x),即 9()=0 证明称AX=AX,则g(入)X=9(4)X=0.而X≠0,所以g(入)=0.同 例8称A,B法n阶方阵,变证fAB()=fBA(入) 证明(法换) 令f(a1,a12,…,anmn)=|A,g(a1,a12,……,am)=I-AB|-|M-BA,当 f(a1,a12,…,am)≠0成A可逆,A-1ABA=BA,即AB相等角BA,所以 g(a1,a12,…,anmn)=0.故g(a1,.12,…,am)=0,即fAB(入)=fBA(入 (法二)(1)当|4≠0成,A-1(AB)A=BA,故AB教BA相等,命断成立 (2)当|4|=0成,比+4另口有n个根,故存在to∈R,使得并意t>to 成,恒有|I+A|≠0.由(1)知对并意给定的B,(tI+A)B教B(tI+A)相等,即 AI-(tI+A)B=AI-b(tI A) 令9(t)=|I-(tI+A)B--B(I+A川则deg(t)≤n,取n+1个不多的 数t1,t2,……,tn+1>to,均有g(t)=0,1≤i≤n+1,故g(t)=0.特别地9(0)=0 故|I-AB|=M-BA,.同(2) ℄,leil P, % P −1AP =   λ1 ∗ ∗ ∗ 0 λ2 ∗ ∗ · · · · · · · · · · · · 0 0 · · · λn   G^ P −1A −1P =   λ1 ∗ ∗ ∗ 0 λ2 ∗ ∗ · · · · · · · · · · · · 0 0 · · · λn   −1 =   λ −1 1 ∗ ∗ ∗ 0 λ −1 2 ∗ ∗ · · · · · · · · · · · · 0 0 · · · λ −1 n   +T λ −1 1 , λ−1 2 , · · · , λ−1 n  A−1 &Æ.mr (3) ℄ A∗ = |A|A−1 V% 2 <n  7  n a8l A N g(x), V g(A) = 0. f A &.mrQN g(x), V g(λ) = 0.   AX = λX, f g(λ)X = g(A)X = 0. 3 X 6= 0, +T g(λ) = 0. 2  8  A, B 5 n a8lo fAB(λ) = fBA(λ).  (5R) u f(a11, a12, · · · , ann) = |A|, g(a11, a12, · · · , ann) = |λI − AB| − |λI − BA|. # f(a11, a12, · · · , ann) 6= 0  A i A−1ABA = BA, V AB D(_ BA, +T g(a11, a12, · · · , ann) = 0. G g(a11, a12, · · · , ann) = 0, V fAB(λ) = fBA(λ). (54) (1) # |A| 6= 0  A−1 (AB)A = BA, G AB ` BA D(
/o (2) # |A| = 0  |tI + A| t2^ n CEGe t0 ∈ R, %V t > t0 O^ |tI + A| 6= 0. ℄ (1) p0VD,& B, (tI + A)B ` B(tI + A) D(V |λI − (tI + A)B| = |λI − B(tI + A)|. u g(t) = |λI − (tI + A)B| − |λI − B(tI + A)|, f degg(t) ≤ n, n + 1 C2& $ t1, t2, · · · , tn+1 > t0, f^ g(ti) = 0, 1 ≤ i ≤ n + 1, G g(t) = 0. .) g(0) = 0, G |λI − AB| = |λI − BA|. 2 8