注11在同构意义下,定理为 定理设φ是C上n维空间V的线性变换,则存在V的一组基,使得φ在这 组基下的矩阵是上三角阵.这时主对角线上元素是p的所有特征值 例5设A∈Kn×n,g(x)∈K[x], (1)若λ是A的特征值,则g(入)是9(4)的特征值 (2)若A,入 是A的全部特征值,则g(1),9(A2),…,9(An)是g(A)的 全部特征值 证明(1)因AX=AX,则A2X=A2X,从而4X=XX,且(sA2+tA)X (s2+t))x,故g(A)X=9(入)X,即X是g(A)对应于g(入)的特征向量.9(入)为 g(A)的特征值 (2)因为A有n个特征值,故相似于上三角阵,即有P∈K×n,使 P-lAP 0入 00 计算可得 (P-lAP)=P-A'P 0入 00 从而 (A)P=g(P-AP) 09(A2) 0 0 g(An 故g(4)的全部特征值是g(A1),9(A2),…,9(An) 例6设A∈Kx且|4≠0,设A的特征值为A1,入 (1)A≠0,1≤i≤m; (2)A1,21,…,A是A-1的全部特征值; (3)|AA1,|42,…,|Az是A*的全部特征值 证明(1)因|4=AA2…An即得! 11 e2FVW?,l5   ϕ  C  n 6j[ V &CKRfe V &R}S% ϕ ek }S?&dl_lkx0_C ) ϕ &+^.mr  5  A ∈ Kn×n , g(x) ∈ K[x], (1)  λ  A &.mrf g(λ)  g(A) &.mr (2)  λ1, λ2, · · · , λn  A &Æ.mrf g(λ1), g(λ2), · · · , g(λn)  g(A) & Æ.mr  (1) Z AX = λX, f A2X = λ 2X, 3 AkX = λ kX,  (sAi + tAj )X = (sλi + tλj )X, G g(A)X = g(λ)X, V X  g(A) 0[_ g(λ) &.mFq g(λ) 5 g(A) &.mr (2) Z5 A ^ n C.mrGD(__lV^ P ∈ Kn×n ,  P −1AP =   λ1 ∗ · · · ∗ 0 λ2 · · · ∗ · · · · · · · · · · · · 0 0 · · · λn   W*i% (P −1AP) k = P −1A kP =   λ k 1 ∗ · · · ∗ 0 λ k 2 · · · ∗ · · · · · · · · · · · · 0 0 · · · λ k n   3 P −1 g(A)P = g(P −1AP) =   g(λ1) ∗ · · · ∗ 0 g(λ2) · · · ∗ · · · · · · · · · · · · 0 0 · · · g(λn)   G g(A) &Æ.mr g(λ1), g(λ2), · · · , g(λn). 2  6  A ∈ Kn×n  |A| 6= 0,  A &.mr5 λ1, λ2, · · · , λn. (1) λi 6= 0, 1 ≤ i ≤ n; (2) λ −1 1 , λ−1 2 , · · · , λ−1 n  A−1 &Æ.mr (3) |A|λ −1 1 , |A|λ −1 2 , · · · , |A|λ −1 n  A∗ &Æ.mr  (1) Z |A| = λ1λ2 · · · λn V% 7