结论成立;题当A为n-1阶矩阵线结论成立.对n阶矩阵A,A为p:V→ V(dimV=n,V为C上线性空间)在V的一组基下的表示矩阵.对该,A1为 φ的特征值,a1为角对应的特征向量.将a1扩为V的一组基a1,a2,…,an,令 V1=span{an},V2=span{a2,a3,……,an},则V=V⊕V.yp(a1,a2,……,an) A1 B an)(0 A 在V中定义v,使得 此线dimV2=m-1.由归度假题,在V中存在基β2,B3,…,B2,使得 v(2,B3,…,An)=(2,3,…,Bn)U, 角中U为上三角阵.P1为从a2,a3,…,an到2,β,…,An的过渡矩阵.即 (2,B,…,An)=(a2,a3,…,an)P1, 则在β2,B3,…,Bn下的表示矩阵U与角在a2,a3,…,an下的表示矩阵相似,即 U=片4B令P=(),则P可法且(,…,4)=(m2…mP 从而a1,B2,……,Bn一V的一组基, y(a1,B2,…,An)=g(a1,a2,……,an)P=(a1,a2,…,an)AP=(a1,B2,…,An)P1AP 从而 P=(b)()(bP)=() 注9数域K上的矩阵未必都相似于k上三角阵明A=(2-1)∈ 题 R上二阶可法矩阵,且PAP-1=B.则B=PAP-1 ac +2bd -2b2-a 2P+c2-2bd-ac),所以c=d= 0,故B 这样B有特征值0,与A的特征值不同.矛盾 注10命数域K上的n阶方阵所有n个特征值全在K中,则必存在K上n 阶可法阵P,使P-1AP为上三角阵bxo# A 5 n − 1 adlbxo0 n adl A, A 5 ϕ : V → V (dimV = n, V 5 C CKj[) e V &R}S?&Ædl0? ϕ, λ1 5 ϕ &.mr α1 5 0[&.mFq^ α1 k5 V &R}S α1, α2, · · · , αn, u V1 = span{α1}, V2 = span{α2, α3, · · · , αn}, f V = V1 ⊕ V2. ϕ(α1, α2, · · · , αn) = (α1, α2, · · · , αn)  λ1 β 0 A2  . e V2 v,W ψ, % ψ(α2, α3, · · · , αn) = (α2, α3, · · · , αn)A2.  dimV2 = n − 1. ℄IZe V2 veS β2, β3, · · · , βn, % ψ(β2, β3, · · · , βn) = (β2, β3, · · · , βn)U, v U 5_l P1 5 α2, α3, · · · , αn $ β2, β3, · · · , βn &J.dlV (β2, β3, · · · , βn) = (α2, α3, · · · , αn)P1, f ψ e β2, β3, · · · , βn ?&Ædl U ` e α2, α3, · · · , αn ?&ÆdlD(V U = P −1 1 A2P1. u P =  1 0 0 P1  , f P i (α1, β2, · · · , βn) = (α1, α2, · · · , αn)P, 3 α1, β2, · · · , βn  V &R}S ϕ(α1, β2, · · · , βn) = ϕ(α1, α2, · · · , αn)P = (α1, α2, · · · , αn)AP = (α1, β2, · · · , βn)P −1AP, 3 P −1AP =  1 0 0 P1   λ β 0 A2   1 0 0 P  =  λ βP 0 U  . 2 ! 9 $a K &dl7 -D(_ K _l A =  0 −1 2 0  ∈ R 2×2 .  P =  a b c d   R 4aidl PAP −1 = B. f B = PAP −1 = 1 ad−bc  a b c d   0 −1 2 0   d −b −c a  =  ac + 2bd −2b 2 − a 2 2d 2 + c 2 −2bd − ac  , +T c = d = 0, G B =  ⋆ ⋆ 0 0  . kO B ^.mr 0, ` A &.mr2z1 2 ! 10 $a K & n a8l+^ n C.mrÆe K vf e K  n ail P,  P −1AP 5_l 6