当λ1=1时, -201 A1-4)=-2-11 010 2-21 000 所以属于特征值λ=1的特征向量是X1=(k,0,2k),0≠k∈K 当A2=A3=2时, (2-A)=-201→-201 所以属于特征值A2=A3=2的特征向量是(k,k,2k),0≠k∈K 例4在有理数城上求(1-)的特征值 解λ12=±,无有理特征值 四.上三角标准型及其应用 定理任一复方阵必(复)相似于一上三角阵 证明法一(矩阵方法) 设A∈Cmx,对n作归纳法.当n=1时,结论显然.设对n-1阶成立.对 n阶方阵A,A至少有一特征值A∈C,相应的一个特征向量为X1∈Cnx1,即 AX1=入1X1 将X1扩为Cnx1的一组基X1,X2,…,Xn,令B1=(X1,X2,…,Xn),则P1是复可 逆阵,且AP=B(0 因为A1是C上n-1阶方阵,由归纳假设,存在n-1阶复可逆阵P使 P21A1P2为上三角阵L,令P=B 0 P 则P是复可逆阵,且 P-4P=( 法二(线性变换角度).先将其“翻译”为线性变换描述形式.对n作归纳法. 当n=1时,A视作φ:V→V(其中dimV=1)在V的一组基下的表示矩阵,# λ1 = 1  (λ1I − A) =   −2 −1 1 −2 −1 1 −2 −2 1   →   −2 0 1 0 1 0 0 0 0   , +T"_.mr λ1 = 1 &.mFq X1 = (k, 0, 2k) ′ , 0 6= k ∈ K. # λ2 = λ3 = 2  (λ2I − A) =   −1 −1 1 −2 0 1 −2 −2 2   →   1 −1 0 −2 0 1 0 0 0   , +T"_.mr λ2 = λ3 = 2 &.mFq (k, k, 2k) ′ , 0 6= k ∈ K.  4 e^l$a  0 −1 1 0  &.mr  λ1,2 = ±i, ;^l.mr '_ zHU [\  R>8l (>) D(_R_l   ( ).  A ∈ C n×n , 0 n I5# n = 1 bxB0 n − 1 ao0 n a8l A, A t^R.mr λ1 ∈ C, D[&RC.mFq5 X1 ∈ C n×1 , V AX1 = λ1X1. ^ X1 k5 C n×1 &R}S X1, X2, · · · , Xn. u P1 = (X1, X2, · · · , Xn), f P1 >i l AP1 = P1  λ1 ∗ 0 A1  . Z5 A1  C  n − 1 a8l℄IZe n − 1 a>il P2  P −1 2 A1P2 5_l L, u P = P1  1 0 0 P2  , f P >il P −1AP =  λ1 ∗ 0 L  .  (
). A^ ￾6X
5CKR#I0 n I5 # n = 1  A  ϕ : V → V ( v dimV = 1) e V &R}S?&Ædl 5