其中1≤k≤m,和号 表示对满足i<i<…<k的所有可能的 至n中的整数i1,l2,…,k求和,特别地 b1 bn=(-1)4 证明留做”挑战习题”,也可参阅有关参考书 特征值与特征向量的计算 第一步:求∫A(入)=|A-4 第二步:求fA()的所有根其中在K上的根为特征值; 第三步:对每个特征值λ0,求(01-4)X=0的基础解系X1,X2…,X,则 k1X1+k2X2+…+k3X3,其中k不全为0,为所求对应λ的特征向量 例2求0ab的特征值与特征向量1,a,d两两互异,b≠0 解 fA(入) A-a-b=(X-1)-a)(-d) 00 0 当A1=1时,A1-A=01-a-b,X1=0,k≠0 001-d a-100 0 当A=a时,A21-A=00-b X k|,k≠ 00a-d 0 d-100 当A3=d时,A3I-A=0d k,k≠0 例3求22 的特征值与特征向量. 解 f4(x)=-2x-2v 1 ≤ k ≤ n, LK X 1≤i1<i2<···<ik≤n Æ0y| i1 < i2 < · · · < ik &+^i& 1 t n v&n$ i1, i2, · · · , ik L.) b1 = − Xn i=1 aii, bn = (−1)n |A|.  v~ ” 0h=/ ”, Qid^Hh! 2 .mr`.mFq&W* +R fA(λ) = |λI − A|; +4 fA(λ) &+^E ve K &E5.mr +0{C.mr λ0,  (λ0I − A)X = 0 &S > X1, X2, · · · , Xs, f k1X1 + k2X2 + · · · + ksXs, v ki Æ5 0, 5+0[ λ0 &.mFq  2    1 0 0 0 a b 0 0 d   &.mr`.mFq 1, a, d ppPY b 6= 0.  fA(λ) =       λ − 1 λ − a −b λ − d       = (λ − 1)(λ − a)(λ − d). # λ1 = 1  λ1I − A =   0 0 0 0 1 − a −b 0 0 1 − d   , X1 =   k 0 0   , k 6= 0. # λ2 = a  λ2I − A =   a − 1 0 0 0 0 −b 0 0 a − d   , X2 =   0 k 0   , k 6= 0. # λ3 = d  λ3I − A =   d − 1 0 0 0 d − a −b 0 0 0   , X3 =   0 b d−a k k   , k 6= 0.  3    3 1 −1 2 2 −1 2 2 0   &.mr`.mFq  fA(λ) =       λ − 3 −1 1 −2 λ − 2 1 −2 −2 λ       = (λ − 1)(λ − 2)2 . 4