注5相似矩阵有相同的特征值,反之未必. 例1设A= B 则A与B有相同的特征值,但它们不相 似事实上,若A相似于B,则存在可逆阵P=(,使得PBP1=A.故有 d -b 1/△ 10 d 01 △+ 这里△=ad-bc≠0.易见a=c=0,△=0.矛盾 注6若A相似于三角阵U,则U的对角元即为A的特征值 注7设φ是n维空间V的线性变换,在某一组基下的矩阵为A,定义φ的特 征多项式为A的特征多项式,记f().即f()=fA()).因为φ在不同基下的矩 阵是相似的,相似的矩阵有相同的特征多项式,所以这样的定义是合理的 注8设A=(a1)nxn,fA(入)=|-A|=+a1-1 考虑|-4的展开式,可得到 (a11+a2+…+ann)=-tr(A),an=(-1)4 设fA(A)=(X-A1)(X-A2)…(A-An),由韦达定理知 a1=-(A1+A2+…+An),an=(-1)21)2…入 因而 tr(4)=A1+A+…+An,|4|=A1A2…An 般地,有如下定理: 定理设A=(a1)nxn2,A的特征多项式 则 b=(-1) 1<i1<i2<…<ik<n! 5 D(dl^D2&.mr7q7  1  A =  1 0 0 1  , B =  1 1 0 1  , f A ` B ^D2&.mr",}D ( A D(_ B, feil P =  a b c d  , % PBP −1 = A. G^ 1 △  a b c d   1 1 0 1   d −b −c a  = 1 △  △ − ac a2 −c 2 △ + ac  =  1 0 0 1  , km △ = ad − bc 6= 0. U\ a = c = 0, △ = 0. z1 ! 6  A D(__l U, f U &0_ V5 A &.mr ! 7  ϕ  n 6j[ V &CKReR}S?&dl5 A, ,W ϕ &. m2E5 A &.m2EX fϕ(λ). V fϕ(λ) = fA(λ). Z5 ϕ e2S?&d lD(&D(&dl^D2&.m2E+TkO&,WNl& ! 8  A = (aij )n×n, fA(λ) = |λI − A| = λ n + a1λ n−1 + · · · + an−1λ + an hw |λI − A| &ggi%$ a1 = −(a11 + a22 + · · · + ann) = −tr(A), an = (−1)n |A|.  fA(λ) = (λ − λ1)(λ − λ2)· · ·(λ − λn), ℄4,lp a1 = −(λ1 + λ2 + · · · + λn), an = (−1)nλ1λ2 · · · λn. Z3 tr(A) = λ1 + λ2 + · · · + λn, |A| = λ1λ2 · · · λn. R)^?,l   A = (aij )n×n,A &.m2E fA(λ) = |λI − A| = λ n + b1λ n−1 + · · · + bn−1λ + bn, f bk = (−1)k X 1≤i1<i2<···<ik≤n         ai1i1 ai1i2 · · · ai1ik ai2i1 ai2i2 · · · ai2ik · · · · · · · · · · · · aiki1 aiki2 · · · aikik         3