定义2设A∈Kmxm,若存在0≠X∈Km×,A∈K,使得AX=AX,则称入 为A的一个特征值,ⅹ称为A关于特征值λ的特征向量 定义3设A∈Kn×n,A为A的一个特征值,V={X∈K×1|AX=AX} 称为A的属于特征值入的特征子空间 注3设φ∈C(V),φ在V的组基51,2,…,5n下矩阵为A,a∈V,a在 51,52,…,5n下的坐标向量为X.则有 Aa=A(51,52,……,5n)X=(51,52,…,5n)AX, )=(51,52,……,n)X)=9(51,52,……,5n)X=(51,52,…,5n)AX, 所以φ(a)=分AX=AX. 特征多项式 定义4设A∈K×n,称 JAI-AI 122 为A的特征多项式,记为f4(入 注4设λ是A的特征值,则存在0≠X∈Kmx,使AX=AX,所以(AI A)X=0.故|I-A=0,即入是fA(从)的根.反之,若入是fA(入)的根且A∈K, 则由(X-A)X=0可知(MI-A)X=0有非零解,即存在0≠X∈Kmx,使 AX=AX.所以fA()的在K上的根是A的特征值 命题2∫A(入)=f4( 证明|-4=|I-A1.口 命题3设A,B∈K×n,A相似于B,则fA(A)=fB().所以A和B有相同的 特征值. 证明因为A与B相似,故存在可逆阵P∈Kmx,使B=P-1AP.所以 fB()=JAI-B= JAP-P-P-API=IP-(AI-A)Pl=JAI-Al=fA(A).O 2  A ∈ Kn×n , e 0 6= X ∈ Kn×1 , λ ∈ K, % AX = λX, f λ 5 A &RC.mr X 5 A H_.mr λ &.mFq  3  A ∈ Kn×n , λ 5 A &RC.mr Vλ = {X ∈ Kn×1 | AX = λX} 5 A &"_.mr λ &.m{j[ ! 3  ϕ ∈ L(V ), ϕ e V &R}S ξ1, ξ2, · · · , ξn ?dl5 A, α ∈ V , α e ξ1, ξ2, · · · , ξn ?&￾ Fq5 X. f^ λα = λ(ξ1, ξ2, · · · , ξn)X = (ξ1, ξ2, · · · , ξn)λX, ϕ(α) = ϕ((ξ1, ξ2, · · · , ξn)X) = ϕ(ξ1, ξ2, · · · , ξn)X = (ξ1, ξ2, · · · , ξn)AX, +T ϕ(α) = λα ⇔ AX = λX. 4.m2E  4  A ∈ Kn×n ,  | λI − A | =         λ − a11 −a12 · · · −a1n −a21 λ − a22 · · · −a2n · · · · · · · · · · · · −an1 −an2 · · · λ − ann         5 A &.m2EX5 fA(λ). ! 4  λ  A &.mrfe 0 6= X ∈ Kn×1 ,  AX = λX, +T (λI − A)X = 0. G |λI − A| = 0, V λ  fA(λ) &E7q λ  fA(λ) &E λ ∈ K, f℄ (λI − A)X = 0 ip (λI − A)X = 0 ^:s Ve 0 6= X ∈ Kn×1 ,  AX = λX. +T fA(λ) &e K &E A &.mr  2 fA(λ) = fA ′(λ).  |λI − A| = |λI − A′ |. 2  3  A, B ∈ Kn×n ,A D(_ B, f fA(λ) = fB(λ). +T A L B ^D2& .mr  Z5 A ` B D(Geil P ∈ Kn×n ,  B = P −1AP. +T fB(λ) = |λI − B| = |λP −1P − P −1AP| = |P −1 (λI − A)P| = |λI − A| = fA(λ). 2 2