厦门大学高等代数教案网站IP地址:59.77.1.116;域名: gdjpkc. xmu. edu.cn 第六章特征值 §6.1特征值和特征向量 教学目的和要求掌握特征值与特征向量,特征子空间,特征多项式的概念,掌 握复数域上的矩阵可以相似于上三角矩阵并应用于讨论问题.掌握判断和计算特征 值和特征向量的方法.注意矩阵与线性变换的对应结论.注意特征值的概念与数域 有关 特征值与特征向量 定义1设φ是n维线性空间V的线性变换.若存在A∈K,0≠a∈V,使 g(a)=Aa,则称入为线性变换φ的一个特征值,a称为φ关于特征值λ的特征 向量 注1设α是φ的属于特征值λ的特征向量,则α不是φ的属于另一个特征 值μ的特征向量.否则Aa=y(a)=a.所以(A-1)a=0,A≠p,所以a=0矛 盾 命题1设φ是n维线性空间V的线性变换,λ是φ的特征值,则 VA={a∈v|g(a)=a} 是V的子空间,且是φ不变子空间,称为φ的属于特征值λ的特征子空间. 证明V由φ的关于λ的所有特征向量和零向量组成,易证知V对于加法和数 乘封闭,因而是V的子空间.对于任意的a∈W,φ(a)∈V且y(y(a))=g(λa)= λ(a).所以φ(a)∈V,故认是φ不变子空间.口 注2设α是φ的关于λ的特征向量,β是φ的关于μ的特征向量,A≠p, 则a+β不是φ的特征向量.(留作思考题) 在同构意义下,我们有| MB(!%` 3i IP *s 59.77.1.116; b￾ gdjpkc.xmu.edu.cn $%' &() §6.1 .mrL.mFq  j:.mr`.mFq.m{j[.m2E&j :>$a&dliTD(__dl[\_-x8/j: /LW*.m rL.mFq&85yVdl`CKR&0[bxyV.mr&`$a ^H R.mr`.mFq  1  ϕ  n 6CKj[ V &CKRe λ ∈ K, 0 6= α ∈ V ,  ϕ(α) = λα, f λ 5CKR ϕ &RC.mr α 5 ϕ H_.mr λ &.m Fq ! 1  α  ϕ &"_.mr λ &.mFqf α  ϕ &"_tRC.m r µ &.mFq=f λα = ϕ(α) = µα. +T (λ − µ)α = 0, λ 6= µ, +T α = 0 z 1  1  ϕ  n 6CKj[ V &CKR λ  ϕ &.mrf Vλ = {α ∈ V | ϕ(α) = λα}  V &{j[ ϕ- {j[5 ϕ &"_.mr λ &.m{j[  Vλ ℄ ϕ &H_ λ &+^.mFqLsFq}Uop Vλ 0_Y5L$ < Z3 V &{j[0_V& α ∈ Vλ, ϕ(α) ∈ V  ϕ(ϕ(α)) = ϕ(λα) = λϕ(α). +T ϕ(α) ∈ Vλ, G Vλ  ϕ- {j[ 2 ! 2  α  ϕ &H_ λ &.mFq β  ϕ &H_ µ &.mFq λ 6= µ, f α + β  ϕ &.mFq (v&h/). e2FVW?9}^ 1