傅氏变换习题解答 习题 1.试证:若f()满足傅氏积分定理的条件,则有 f(o= a(o)cos oddo+ b(o)sin oddo 其中 f∫(r) coordi, b(o)=f(r)sin ordr GE /(=f(r)e e drei"do=/(r)(cosoT-jsin or)cos oddo f(r)(cosor-jsin or)jsin drdo=fo -a/()cos ordr cos ordo f(r)sin ordr sin ordo= af)cos odo+o b(@)sin ordo 因∫f() sin@r cos otdrdo为a奇函数,∫f() cos or cos ofdrdo为o偶函数 2.试证:若f(满足傅氏积分定理的条件,当f()为奇函数时,则有 f(=ba)sin(otHo 其中 b(o)=2厂rr(i(r)dr 当f()为偶函数时,则有 f(=ao)cos(or o 其中 r f(e)cos(or)dr 证设f()是奇函数 f(=f()e io drea"do=/(r)(cos ar-jsin or)drei"do (may+0,(是的奇函数 1*b(o)(cos ot jsin on)do="b(o)sin otda 设f()是偶函数傅氏变换习题解答 习题一 1．试证：若 f (t)满足傅氏积分定理的条件，则有 0 0 f ( )t a(ω) cosω ωtd b(ω)sinωtdω +∞ +∞ = + ∫ ∫ 其中 1 ( ) ( ) cos , 1 ( ) ( )sin a f b f d d ω τ ωτ π τ ω τ ωτ τ π +∞ −∞ +∞ −∞ = = ∫ ∫ 证 ( ) ( ) ( ) 1 1 j j (cos jsin ) cos 2 2 t f t f e d e d f ωτ ω τ τ ω τ ωτ ωτ ωtdτ d π π +∞ +∞ +∞ +∞ − −∞ −∞ −∞ −∞ = = − ∫ ∫ ∫ ∫ ω ( ) ( ) ( ) 0 0 0 1 1 + (cos jsin )jsin cos cos 2 1 + sin sin ( ) cos ( )sin f td d f d td f d td a td b td τ ωτ ωτ ω τ ω τ ωτ τ ω ω π π τ ωτ τ ω ω ω ω ω ω ω ω π +∞ +∞ +∞ +∞ −∞ −∞ −∞ +∞ +∞ +∞ +∞ −∞ −∞ − = = + ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 因 f t ( ) τ ω sin τ cosω dτ dω ω ， 。 +∞ ∫−∞ 为 的奇函数 f t ( ) τ ω cos τ cosω dτ dω ω +∞ ∫−∞ 为 的偶函数 2．试证：若 f (t)满足傅氏积分定理的条件，当 f (t)为奇函数时，则有 f ( )t b(ω) (ωt)dω ∫ +∞ = 0 sin 其中 ( ) ( ) ( ) 0 2 b f ω τ ω sin τ d π +∞ = ∫ τ 当 f ( )t 为偶函数时，则有 f ( )t a(ω)cos(ωt)dω ∫0 +∞ = 其中 ( ) ( ) ( ) 0 2 a f ω τ ω cos τ d π +∞ = ∫ τ 证 设 f ( )t 是奇函数 ( ) ( ) 1 j j 2 t f t f e d e d ωτ ω τ τ ω π +∞ +∞ − −∞ −∞ = ∫ ∫ ( )( ) 1 j cos jsin 2 t f d e d ω τ ωτ ωτ τ ω π +∞ +∞ −∞ −∞ = − ∫ ∫ ( ) j 0 1 sin j t f d e d ω τ ωτ τ ω π +∞ +∞ −∞ = ∫ ∫ ( ) 1 j 2j t b e d ω ω ω +∞ −∞ = ∫ 。（b(ω) 是ω 的奇函数） ( )( ) ( ) 0 1 cos jsin sin 2j b t ω ω ωt dω b ω ωtd +∞ +∞ −∞ = + = ∫ ∫ ω 设 f ( )t 是偶函数