傅氏变换习题解答 习题 1.试证:若f()满足傅氏积分定理的条件,则有 f(o= a(o)cos oddo+ b(o)sin oddo 其中 f∫(r) coordi, b(o)=f(r)sin ordr GE /(=f(r)e e drei"do=/(r)(cosoT-jsin or)cos oddo f(r)(cosor-jsin or)jsin drdo=fo -a/()cos ordr cos ordo f(r)sin ordr sin ordo= af)cos odo+o b(@)sin ordo 因∫f() sin@r cos otdrdo为a奇函数,∫f() cos or cos ofdrdo为o偶函数 2.试证:若f(满足傅氏积分定理的条件,当f()为奇函数时,则有 f(=ba)sin(otHo 其中 b(o)=2厂rr(i(r)dr 当f()为偶函数时,则有 f(=ao)cos(or o 其中 r f(e)cos(or)dr 证设f()是奇函数 f(=f()e io drea"do=/(r)(cos ar-jsin or)drei"do (may+0,(是的奇函数 1*b(o)(cos ot jsin on)do="b(o)sin otda 设f()是偶函数
傅氏变换习题解答 习题一 1．试证：若 f (t)满足傅氏积分定理的条件，则有 0 0 f ( )t a(ω) cosω ωtd b(ω)sinωtdω +∞ +∞ = + ∫ ∫ 其中 1 ( ) ( ) cos , 1 ( ) ( )sin a f b f d d ω τ ωτ π τ ω τ ωτ τ π +∞ −∞ +∞ −∞ = = ∫ ∫ 证 ( ) ( ) ( ) 1 1 j j (cos jsin ) cos 2 2 t f t f e d e d f ωτ ω τ τ ω τ ωτ ωτ ωtdτ d π π +∞ +∞ +∞ +∞ − −∞ −∞ −∞ −∞ = = − ∫ ∫ ∫ ∫ ω ( ) ( ) ( ) 0 0 0 1 1 + (cos jsin )jsin cos cos 2 1 + sin sin ( ) cos ( )sin f td d f d td f d td a td b td τ ωτ ωτ ω τ ω τ ωτ τ ω ω π π τ ωτ τ ω ω ω ω ω ω ω ω π +∞ +∞ +∞ +∞ −∞ −∞ −∞ +∞ +∞ +∞ +∞ −∞ −∞ − = = + ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 因 f t ( ) τ ω sin τ cosω dτ dω ω ， 。 +∞ ∫−∞ 为 的奇函数 f t ( ) τ ω cos τ cosω dτ dω ω +∞ ∫−∞ 为 的偶函数 2．试证：若 f (t)满足傅氏积分定理的条件，当 f (t)为奇函数时，则有 f ( )t b(ω) (ωt)dω ∫ +∞ = 0 sin 其中 ( ) ( ) ( ) 0 2 b f ω τ ω sin τ d π +∞ = ∫ τ 当 f ( )t 为偶函数时，则有 f ( )t a(ω)cos(ωt)dω ∫0 +∞ = 其中 ( ) ( ) ( ) 0 2 a f ω τ ω cos τ d π +∞ = ∫ τ 证 设 f ( )t 是奇函数 ( ) ( ) 1 j j 2 t f t f e d e d ωτ ω τ τ ω π +∞ +∞ − −∞ −∞ = ∫ ∫ ( )( ) 1 j cos jsin 2 t f d e d ω τ ωτ ωτ τ ω π +∞ +∞ −∞ −∞ = − ∫ ∫ ( ) j 0 1 sin j t f d e d ω τ ωτ τ ω π +∞ +∞ −∞ = ∫ ∫ ( ) 1 j 2j t b e d ω ω ω +∞ −∞ = ∫ 。（b(ω) 是ω 的奇函数） ( )( ) ( ) 0 1 cos jsin sin 2j b t ω ω ωt dω b ω ωtd +∞ +∞ −∞ = + = ∫ ∫ ω 设 f ( )t 是偶函数
allelo doJo q(o cos oddo a(o)是o的偶函数。(注也可由1题推证2题) 3.在题2中,设/y)≈J1,|t1 l0,|t1 试算出a(o),并推证 2,ItKI +oo sin (cos ot d t1 0,|t卜1 证f()是偶函数 do)2∫0 f()cosordt-=2 sin or ()=∫0o sin o cos (t cos oddo= z IK1 所以 top SIn o cos o do=f( 丌0+1 t=1 t卜1 习题二 1.求矩形脉冲函数/()A,0≤1≤r 的傅氏变换 0,其他 F(a)=[(]/(e comdt=o Ae iodt A Jo 2.求下列函数的傅氏积分 0.-∞1 sin2t.t≥0 (3)f()= 01
( ) ( ) 1 j j 2 t f t f e d e d ωτ ω τ τ ω π +∞ +∞ − −∞ −∞ = ∫ ∫ ( )( ) 1 j cos jsin 2 t f d e d ω τ ωτ ωτ τ ω π +∞ +∞ −∞ −∞ = − ∫ ∫ ( ) ( ) j 0 1 cos 2 t a e d a td ω ω ω ω ω +∞ +∞ −∞ = = ∫ ∫ ω a(ω)是ω 的偶函数。（注也可由 1 题推证 2 题） 3．在题 2 中，设 ( ) ，试算出 1, | | 1 0, | | 1 t f t t ⎧ ≤ = ⎨ ⎩ > a(ω)，并推证 0 , | | 1 2 sin cos , ||1 4 0, ||1 t t d t t π ω ω π ω ω +∞ ⎧ ⎪ ⎩ ∫ 证 f (t)是偶函数 ( ) ( ) ∫ = = + ∞ = ω ω ω π ω π ω π ω 2 sin 0 2 sin 1 cos 0 2 t a f t tdt ( ) ( ) ∫ ∫ +∞ = +∞ = ω ω ω ω π ω ω ω d t t a td sin cos 0 2 cos 0 f 所以 ( ) 0 | | 1 2 sin cos 0 1 | | 1 2 2 2 4 0 | | t t d f t t t π ω ω π π π ω ω +∞ ⎧ 1 ⎪ ⎩ ∫ = 。 习题二 1． 求矩形脉冲函数 , 0 ( ) 0, A t f t ⎧ ≤ ≤τ = ⎨ ⎩ 其他 的傅氏变换。 解 F( ) ω = ¶ ( ) ( ) j j 0 t t f t f t e dt Ae dt ω ω τ − − +∞ ⎡ ⎤ = = ⎣ ⎦ −∞ ∫ ∫ j i j 0 1 1 j j j t e e e A A A τ ω ωτ ωτ ω ω ω − − − − − = = = − − 2． 求下列函数的傅氏积分： （1） ( ) （2） （3） 2 2 2 1 , 0, 1 t t f t t ⎧ − 1 ( ) ⎩ ⎨ ⎧ ≥ − < = 0, | | 1 1 , | | 1 2 t t t f t
f()= ∫0)e-da0=-- e-iedteedo 厂(- I (+ sin ot (2t cos ot 2sin at ! sin ot cos male do 2(sin @-ocosoledo=- 4 r+oo sin @-@coso cos oddo (2)f()= 0,t0),证明 cos or d (2)f() =e cost 证明[+4os)=cs
( ) ( ) 1 i i 2 t t f t f t e dte d ω ω ω π +∞ +∞ − −∞ −∞ = ∫ ∫ ( ) 1 2 i i 1 1 1 2 t t t e dte d ω ω ω π +∞ − −∞ − = − ∫ ∫ ( ) 1 2 i 0 1 1 cos t t tdte d 1 2 i 2 3 0 1 sin 2 cos 2sin sin t t t t t t t e d ω ω ω ω ω ω π ω ω ω ω +∞ −∞ ⎡ ⎤ ⎛ ⎞ = − ⎢ ⎥ ⎜ ⎟ − + ⎣ ⎦ ⎝ ⎠ ∫ ] ω ω ω π +∞ −∞ = − ∫ ∫ ( ) i 3 1 2 sin cos t e d ω ω ω ω ω π ω +∞ −∞ − = ∫ 3 0 4 sin cos cos td ω ω ω ω ω π ω +∞ − = ∫ （2） ( ) 满足傅氏积分定理的条件，其傅氏积分公式为 ⎩ ⎨ ⎧ ≥ 0 ），证明 | | 2 2 0 cos 2 t t d e ω π β ω β ω β +∞ − = + ∫ （2） f ( )t = e−|t| cost ，证明 ( ) ∫ +∞ − = + + 0 | | 4 2 cos 2 cos 4 2 t d e t π t ω ω ω ω
3101b明广mDm体 t卜丌 解(1)F0)=5(0)1-ch-2 -l"===2—d -(B-ie)r -(B-ie) +e-(B+ie) ldt (B-io)-(B 2B B-i0 B+io B2+02 f()的积分表达式为 0)=2ok 2B d cos ot+isin ordo B B- cos ot 即 do= B+@4 2B (2)Fo)=s() coste lex [-1+1(-yj 2|1+i(1-a)1-i(1+0)-1+i(1-a)-1-i( 2a2+4 21+(0-0)+1-(0+o)1-1(-0)+1+(0+o)=+4 f()的积分表达式为 202+4 4+4 丌10a4+4 因此有+2w2()=2sr (3)F(o)=s[(]/(e io"dt=l sin te"idt=[ sin r cos ot-isin o lt=-2i sint sin ordt i sing+o) sin(+opr-sin(l-o)r-o sin(l-or SIn (T f()的积分表达式为
（3） ( ) 证明 ⎩ ⎨ ⎧ > ≤ = 0, | | , sin , | | , π π t t t f t 2 0 sin sin sin , | | 2 1 0, | | t t t d t π ωπ ω π ω ω π +∞ ⎧ ⎪ ≤ = ⎨ − ⎪ ⎩ > ∫ 解 （1） F( )t = ¶ ( ) | |t i t f t e e dt β ω +∞ − − −∞ ⎡ ⎤ = ⎣ ⎦ ∫ = i i 0 0 2 cos 2 2 t t t t e e e tdt e dt ω ω β β ω − +∞ +∞ − − + = ∫ ∫ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) i i i i 0 0 0 i i t t t t e e e e dt β ω β ω β ω β ω β ω β ω +∞ + − − − − +∞ − − − + = + ⎡ ⎤ = + ⎣ ⎦ − − − + ∫ ∞ 2 2 112 i i β β ω β ω β ω = + = − + + f (t)的积分表达式为 ( ) ( ) ∫ +∞ −∞ = ω ω π ω f t F e d i t 2 1 ( ) 2 2 1 2 cos isin 2 t t d β ω ω ω π β ω +∞ −∞ = + + ∫ 2 2 0 2 cos td β ω ω π β ω +∞ = + ∫ 即 | | 2 2 0 cos 2 t t d e ω π β ω β ω β +∞ − = + ∫ （2） F( ) ω = ¶ [ ] ( ) ∫ ∫ +∞ −∞ − − − +∞ −∞ − − + = = e dt e e f t e te dt e t t t t ωt t iω i i | | i | | 2 cos ( ) ( ) ( ) ( ) { } 0 0 1 i 1 1 i 1 1 i 1 1 i 1 0 0 1 2 t t t e dt e dt e dt e dt ω ω ω t +∞ +∞ ⎡ + − ⎤ ⎡ − + ⎤ ⎡ ⎤ − + − ⎡− − + ⎤ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ −∞ −∞ = + + + ∫∫∫ ∫ ω = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 1 i 1 1 i 1 1 i 1 1 i 1 0 0 2 1 i 1 1 i 1 1 i 1 1 i 1 t t t t e e e e ω ω ω ω ω ω ω +∞ +∞ ⎡ ⎤ + − ⎡ − + ⎤ ⎡ ⎤ − + − ⎡− − + ⎤ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ −∞ −∞ ⎧ ⎫ 1 ⎪ ⎪ ⎨ ⎬ + + + + − − + − + − − − + ⎪ ⎪ ⎩ ⎭ ω ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1 2 1 i 1 ω 1 i 1 ω ω 1 i 1 1 i 1 ω ⎡ ⎤ = + ⎢ ⎥ + + + − − + − − + + ⎣ ⎦ 2 4 2 4 4 ω ω + = + f (t)的积分表达式为 ( ) ( ) ω ω ω π ω ω π ω ω f t F e d e d t i t 4 2 i 4 2 4 2 1 2 1 ∫ ∫ +∞ −∞ +∞ −∞ + + = = ∫ +∞ + + = 0 4 2 cos 4 1 2 4 ω ω ω ω π td 因此有 ( ) ∫ +∞ − = = + + 0 | | 4 2 cos 2 2 cos 4 2 td f t e t π π t ω ω ω ω （3） F( ) ω = ¶ ( ) ( ) i i sin t t f t f t e dt te dt π ω ω π +∞ − − −∞ − ⎡ ⎤ = = ⎣ ⎦ ∫ ∫ ( ) ∫ ∫ = − = − − π π π ω ω ω 0 sin t cos t isin t dt 2i sin tsin tdt = [ ] ( ) ( ) ∫ + − − π ω ω 0 i cos 1 t cos 1 t dt ( ) ( ) ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − + + = ω ω ω ω π π 1 sin 1 1 sin 1 i 0 0 t t ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 sin 1 sin 1 sin 1 sin 1 i ω ω π ω ω π ω π ω ω π − + − + − − − − = 2 1 sin 2 i ω ωπ − = − f (t)的积分表达式为 ( ) ( ) ∫ ∫ +∞ −∞ +∞ −∞ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = = − ω ω ωπ π ω ω π ω ω f t F e d e d t i t 2 i 1 sin 2i 2 1 2 1
20动tisn 20* or sin ot 因此有“xm=号={2mx 0,|t卜>x 4.已知某函数f()的傅氏变换为F()=52,求该函数f0 解f0=1-Fod=n(oako ~s0m,如m(,(1- I too sin o +msin(1+no+ cos oddo= 而由 2a=2得 当n>0时,C当d=C如ho=d= top sin u@ 当u<0时, do 当u=o时← sinuo do=0.所以由*)式有 ItKI ()={1.1+ 0,|t卜 5.已知某函数的傅氏变换为F(O)=m[b(+a)+o(a-a),求该函数f()。 解1()=CF(yd0n()+80-myld =COS@o! t<0 6.求符号函数(又称正负号函数)sgnt= 的傅氏变换。 解符号函数不满足傅氏积分定理的条件,显然[| sent dt→+∞不收敛。按照如下方式推广傅氏 变换的定义。首先注意到可取f()={01=0,且sgnt=limf,(),F[sgnl= lim Fl(O),而 n→a n→ f(1)满足傅氏积分定理的条件,且 Flo]=[(0]/(e dt=S e"ne"in dt-engerindt
( ) ∫ ∫ +∞ +∞ −∞ − + = − − = 0 2 2 1 2 sin sin cos isin 1 i sin ω ω ωπ ω π ω ω ω ω ωπ π d t t t d 因此有 ( ) ∫ +∞ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ > ≤ = = 0 − 2 0, | | sin , | | 2 1 2 sin sin π π π π ω ω ωπ ω t t t d f t t 4．已知某函数 f (t)的傅氏变换为 F( ) ω = sinω ω ，求该函数 f (t)。 解 ( ) ( ) ( ) ∫ ∫ +∞ −∞ +∞ −∞ = = ω + ω ω ω ω π ω ω π ω f t F e d t t d t cos isin sin 2 1 2 1 i ( ) 0 1 sin 1 sin(1 ) sin 1 cos 2 2 t t td d ω ω ω ω ω ω π ω π ω +∞ +∞ −∞ + + − = = ∫ ∫ ( ) ( ) ∫ ∫ +∞ +∞ − + + = 0 0 sin 1 2 sin 1 1 2 1 ω ω ω π ω ω ω π d t d t （*） 而由 ∫ +∞ = 0 2 sin π dx x x 得 当u > 0时，∫ ∫ ∫ +∞ +∞ +∞ = = = 0 0 0 2 sin sin sin π ω ω ω ω ω ω dx x x du u u d u 当u = 的傅氏变换。 解 符号函数不满足傅氏积分定理的条件，显然 不收敛。按照如下方式推广傅氏 变换的定义。首先注意到可取 ，且 | sgn t d| t +∞ −∞ → +∞ ∫ / / , 0 ( ) 0 0 0 t n n t n e t f t t e t − ⎧ > ⎪ = = ⎨ ⎪− < ⎩ sgn lim ( ) n n t f t →∞ = ， [sgn ] lim [ ( )]，而 df n n F t F f t →∞ = ( ) nf t 满足傅氏积分定理的条件，且 [ ] Fn ω = ¶ ( ) ( ) 0 i / i / 0 t t n t t n n i t f t f t e dt e e dt e e dt ω ω +∞ +∞ − − − −∞ −∞ ⎡ ⎤ = = − ⎣ ⎦ ∫ ∫ ∫ − ω
n 故Fo=f()]=mFo ≠0 +o2(0 注:一般地,若im(x)=f(x),且f(x)古典意义下的傅氏变换Fol=[f1(0)],(m=12,)都 存在,且当n→+∞,函数族{F[m]}收敛,则称该极限为∫(x)在极限意义下的傅氏变换,即 FloJ=slf(x)]= lim Flo] 7.求函数∫(1)=[O6(t+a)+D(-a)+6(+)+(-的傅氏变换。 解F(a)=S[/( 6(+a)cd+」(t dt+ 8.求函数∫()= coSt sin t的傅氏变换。 解F(o)=5[()=cssm-d=Csm2ch=厂2 9.求函数f()=sin3t的傅氏变换 解F)-()=sinl-t 4J(3sint-sin 3r )e-e dr [3(+1)-36(-1)-(+3)+o(-3) 10.求函数∫()=sin(5t+)的傅氏变换 AF F(o)=M/(e" dt= sin(5/+)e"iadt=5(sin 5t+3 cos 5)e"iadt =izo(a+5)-6(0-5+yz(o(a+5)+6(0-5)=2[(3+i)(a+5)+(3-i)6(o-5) 11.证明δ-函数是偶函数,即()=(-1
= 1 1 1 1 i i n n ω ω − + − = 2 2 2 i 1 n ω ω − ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ + ⎝ ⎠ 故 F[ ] ω =¶ ( ) 2 2 2 2 i , 0 lim [ ] i 1 0, 0 n n f t F n ω ω ω ω ω ω →∞ ⎧ − ⎪ ≠ ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ = = = ⎨ ⎛ ⎞ + ⎩ ⎪ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 注： 一般地，若 lim ( ) ( ) n n f x f x →+∞ = ，且 ( ) nf x 古典意义下的傅氏变换 [ ] Fn ω = ¶ ⎡ ⎤ fn (t) ⎣ ⎦ ，( 1 都 存在，且当 ，函数族{ [ n = ,2,") n → +∞ F ω]}收敛，则称该极限为 f (x) 在极限意义下的傅氏变换，即 F[ ] ω =¶[ ( )] lim [ ] n n f x F ω →+∞ = 7．求函数 1 ( ) [ ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 a a f t = δ δ t + a + −t a + + δ t + − δ t ] 2 的傅氏变换。 解 F( ) ω = ¶ [ ] f ( )t ( ) ( ) 1 i i 2 t t t a e dt t a e dt ω ω δ δ +∞ +∞ − − −∞ −∞ ⎡ = + + − ⎢⎣∫ ∫ i i 2 2 a a t t t e dt t e dt ω ω δ δ +∞ +∞ − − −∞ −∞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎤ + + ⎜ ⎟ + ⎜ − ⎟ ⎥ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎦ ∫ ∫ i i i i 2 2 1 2 a a a a e e e e ω ω ω ω − − ⎛ ⎞ = + ⎜ ⎟ + + ⎝ ⎠ cos cos 2 a a ω = + ω 8．求函数 f ( )t = costsin t 的傅氏变换。 解 F( ) ω = ¶ ( ) i cos sin t f t t te dt ω +∞ − −∞ ⎡ ⎤ = ⎣ ⎦ ∫ ∫ ∫ +∞ −∞ − − +∞ −∞ − − = = e dt e e te dt t t t ωt iω i 2 i 2 i 2 2i 1 sin 2 2 1 ( ) ( ) ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ = − ∫ ∫ +∞ −∞ − + +∞ −∞ − − e dt e dt i 2 t i 2 t 4i 1 ω ω [ ] 2 ( ) 2 2 ( 2 4i 1 = − πδ ω + − πδ ω − ) [ ] ( ) 2 ( 2 2 i = δ ω + −δ ω − π ) 9．求函数 3 f ( )t = sin t 的傅氏变换。 解 F( ) ω = ¶ ( ) 3 i sin t f t te dt ω +∞ − −∞ ⎡ ⎤ = ⎣ ⎦ ∫ = 1 i (3sin sin 3 ) 4 t t t e dt ω +∞ − −∞ − ∫ i [3 ( 1) 3 ( 1) ( 3) ( 3)] 4 π = + δ ω − δ ω − −δ ω + +δ ω − 。 10．求函数 ( ) sin(5 ) 3 f t t π = + 的傅氏变换。 解 ( ) ( ) i i 1 sin(5 ) (sin 5 3 cos5 ) 3 2 t t F f t e dt t e dt t t e dt ω ω π iωt ω +∞ +∞ +∞ − − −∞ −∞ −∞ = = + = + ∫ ∫ ∫ − 1 3 i [ ( 5) ( 5)] [ ( 5) ( 5)] [( 3 i) ( 5) ( 3 i) ( 5) 2 2 2 π = + π δ ω −δ ω − + π δ ω + +δ ω − = + δ ω + + − δ ω − ] 11．证明δ −函数是偶函数，即δ ( )t t = δ (− )
证设∫(x)为任意一个在(-∞,+∞)无穷次可微的函数,则 ∫b(-)(h=(m)/(-u)m=f0),又由。-函数的筛选性质知a0)0d=f(0),知 6(-1)f(n)d=6()f()d,故-函数是偶函数。 12.证明:若e0]=F(o),其中q(1)为一实函数,则 sIcoso(0]=a[F(o)+F(-o)], slsinp(]I [F()-F(-)] 其中F(-)为F(-O)的共轭函数 证因为cm=cosq()+ Jsin ga(),e-=cosg()-jsig() 所以 cosp(O) (*) sin o(=eledo-e-iefo) 但 -小-=--h=c+h=F(o) 由本题()、()式得 lcos o]=(seo]+se-ioo1: =F(o)+FFo] ssin o(]=I(sleo0I-s[e-ieo]: = F()-FF-oj 13.证明周期为T的非正弦函数f()的频谱函数为F(O)=2∑cn6(a-a0),其中Cn为f(1)的傅氏级 数展式中的系数。 证设m2=2z,则周期为T的非正弦函数f()的傅氏级数的复指数形式为:f()=∑c;em 0)/()=(c-=c-e-"h=「cmh ∑ c2n6(0-m)=2∑c1o(-mm) 14.求如图所示的三角形脉冲的频谱函数
证 设 f (x) 为任意一个在( , −∞ +∞) 无穷次可微的函数，则 δ δ ( )t f (t)dt (u) f ( u)du f (0) +∞ +∞ −∞ −∞ − = − = ∫ ∫ ，又由 δ − 函数的筛选性质知 ，知 ，故 δ ( )t f ( )t dt f (0) +∞ −∞ = ∫ δ δ ( t f ) ( )t dt ( )t f ( )t dt +∞ +∞ −∞ −∞ − = ∫ ∫ δ −函数是偶函数。 12．证明：若¶[ ] j ( ) ( ) t e F ϕ = ω ，其中ϕ(t) 为一实函数，则 ¶ 1 [cos ( )] [ ( ) ( )], 2 ϕ t F = + ω ω F − ¶ 1 [sin ( )] [ ( ) ( )], 2j ϕ t F = ω ω − F − 其中 F( ) −ω 为 F(−ω)的共轭函数。 证 因为 ( ) ( ) (t) j cos jsin t e t ϕ = + ϕ ϕ ， ( ) ( ) ( ) j cos jsin t t t ϕ ϕ ϕ − e = − 所以 ( ) ( ) ( ) 2 cos （*） i t i t e e t ϕ ϕ ϕ − + = ( ) ( ) ( ) 2i sin i t i t e e t ϕ ϕ ϕ − − = （**） 但 ¶ [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ∫ ∫ +∞ −∞ − − +∞ −∞ − − − e = e e dt = e e dt iϕ t iϕ t iωt iϕ t i ω t = F(−ω) 由本题(*)、(**)式得 ¶ [ ( )] 2 1 cosϕ t = {¶ ( ) [ ]+ t eiϕ ¶ ( ) [ ] t e−iϕ } = [F( ) ω + F(−ω)] 2 1 ] {¶ ( ) [ ]− t eiϕ ¶ ( ) [ ] t e−iϕ } = [F( ) ω − F(−ω)] 2i 1 ¶ [ ( ) 2i 1 sinϕ t = 13．证明周期为 T 的非正弦函数 f (t)的频谱函数为 0 ( ) 2 ( ) n n F ω π δ c ω ω +∞ =−∞ = ∑ − ，其中cn 为 f (t)的傅氏级 数展式中的系数。 证 设 T π ω 2 0 = ,则周期为 T 的非正弦函数 f (t) 的傅氏级数的复指数形式为: ( ) 0 in t n f t c e ω +∞ −∞ = ∑ F( ) ω = ¶ ( ) ( ) i t f t f t e dt ( 0 ) 0 in t i t i n t n n c e e dt c e dt ω ω ω ω +∞ +∞ +∞ +∞ − − − −∞ −∞ −∞ −∞ = = ∫ ∫ ∑ ∑ ω +∞ − −∞ ⎡ ⎤ = ⎣ ⎦ ∫ n n 2 2 ( ) 0 0 ( ) n c n c n ω ω πδ ω ω π δ ω ω + +∞ − =−∞ = − ∑ ∑ = − 14．求如图所示的三角形脉冲的频谱函数。 O t f t( ) 2 τ 2 τ − A
t|r/2 解f()=-24 t+A,0≤1≤r/2,则f()的频谱函数为 +A,-r/2≤t≤0 r/22A C-t+A)e dt+L(t+A)e- dt 2A 2-2e 2 +ioT -2+2e 2+ioT 4A 20 2 15.求作如图所示的锯齿形波的频谱图。 f() .3T 解如图可知,在一个周期T内的表达式为f()=210≤t<7),它的傅氏级数的复指数形式为: f()=∑Cem 可见f()的傅氏系数为 f() I r h t2 h f( erol in r c-a --[-ineoay] 它的频谱为 4=2|C=h,42=21C=2=b nOTn丌 其中 这样对应不同的频率得出各次谱波的振幅,因此频谱图如图所示
解 0, | | / 2 2 ( ) , 0 / 2 2 , / 2 t A f t t A t A t A t τ τ τ τ τ ⎧ ⎪ > ⎪ ⎪ = −⎨ + ≤ ≤ ⎪ ⎪ + − ≤ ≤ ⎪ ⎩ 0 ，则 f (t)的频谱函数为 F(ω)=¶ ( ) 0 / 2 i i / 2 0 2 2 ( ) ( ) A A t t f t t A e dt t A e τ ω ω τ τ τ − − − ⎡ ⎤ = + + − + ⎣ ⎦ ∫ ∫ dt i i 2 2 2 2 2 2 2 2 i 2 2 i 4 1 cos 2 2 A e e A ωτ ωτ 2 ωτ ωτ τ ω ω τω ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ − + − + + ⎛ ⎞ = − = ⎜ ⎟ − ⎝ ⎠ ⎣ ⎦ ωτ 15．求作如图所示的锯齿形波的频谱图。 h f (t) O T 2T 3T t -3T -2T -T -3T ( ) t( ) t T T h 解 如图可知,在一个周期 T 内的表达式为 f t = 0 ≤ < ,它的傅氏级数的复指数形式为: 可见 的傅氏系数为 ( ) ∑ +∞ =−∞ = n n t n f t C ei ω f ( )t ( ) 2 2 1 1 0 0 0 2 0 2 t h T h tdt T h T f t dt T C T T T = = = = ∫ ∫ f ( )t e dt T C T n t n ∫ = 0 1 i ω ∫ − = T n t te dt T h T 0 1 i ω ∫ − = T in t te dt T h 0 2 ω ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + − = ∫ − − e dt n n e t T h T n t T n t 0 i 0 i 2 i 1 i ω ω ω ω ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − + − = − − 2 2 i i 2 1 i ω ω ω ω n e n Te T h n T n T ( ) 1, 2," i = n = ± ± n T h ω 它的频谱为 A0 = 2 | C0 |= h , ω nπ h n T h A = Cn = = 2 2 | | 0 , 其中 = = ( ) = 1,2,… 2 n T n n n π ω ω 这样对应不同的频率得出各次谱波的振幅,因此频谱图如图所示
h. 16.求高斯(Gms)分布函数0)=moeo的频谱函数 解教科书中P0,例2已解得钟形脉冲函数eB的傅氏变换为A,e,本题中A 所以 r()=[(O)]= 习题三 若F()=[(O)]F(o)=s[1()],a,B是常数,证明(线性性质) s[a1()+B1(0)=aF(a)+BF(o) [aF(o)+BF(o]=af(+Bf2(0 证s[af()+B()=[a1(0)+p()-ad=af()e-+(0)e-t =aF1(0)+BF2(o) 2.若F()=(),证明(对称性质(0)=)厂F()-d,即F()=27/() 证因()=「"F(o)"do,令x=-1,f(-)=1「"F(ol"do 令t=O,则f(-0)= F(e di F(),即[F()]=2nf(-o) (*)式中令一1=0,则f(a)=厂 F(-n)ed-Ds、1 ∫"F(-1)-d=12sFo),即 [F(-1)]=2rf(o) 3若2(0,a为非零常数.,证明(相似性质)5(m-=1{ 证设a>0,有5(a)-al-h=厂rae="1(a)=1olw=Fg
h A O ω 2ω 3ω 4ω ω 16．求高斯（Gauss）分布函数 2 2 2 1 ( ) 2 t f t e σ πσ − = 的频谱函数 解 教科书中 P10，例 2 已解得钟形脉冲函数 的傅氏变换为 2 t Ae−β 2 / 4 A e π ω β β − ，本题中 1 2 A πσ = ， 2 2 1 σ β = ，所以 F(ω)=¶ ( ) 2 2 2 2 2 i 2 1 2 t t f t e e dt e σ ω σ ω πσ +∞ − − − −∞ ⎡ ⎤ = = ⎣ ⎦ ∫ 习题三 1．若 1 F ( ) ω = ¶ ⎡ ⎤ f1 ( )t ⎣ ⎦ ， 2 F ( ) ω =¶ ⎡ ⎤ f2 (t) ⎣ ⎦ ，α,β 是常数，证明（线性性质）： ¶ 1 2 ( ) ( ) 1 2 ⎡ ⎤ α f t + = β α f t F ( ) ω + β F ( ) ⎣ ⎦ ω ， ¶ [ ] ( ) ( ) 1 1 2 1 2 α ω F F ( ) β ( ) ω α f t β f − + = + t 。 i t 证 ¶ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) i i 1 2 1 2 1 2 t t f t f t f t f t e dt f t e dt f t e ω ω α β α β α β +∞ +∞ +∞ − − −∞ −∞ −∞ ⎡ ⎤ + = ⎡ ⎤ + = + ⎣ ⎦ ∫ ∫ ⎣ ⎦ ∫ dt − ω 1 2 = + αF F ( ) ω β (ω) 2．若 F( ) ω = ¶ [f ( )t ]，证明（对称性质）： 1 j ( ) ( ) 2 t f F t e dt ω ω π +∞ − −∞ ± = ∫ ∓ ，即¶[ ( F t ∓ )] = 2π f (±ω) 。 证 因 1 i ( ) ( ) 2 t f t F e ω ω dω π +∞ −∞ = ∫ ，令 x = −t ， 1 -i ( ) ( ) 2 t f t F e ω ω dω π +∞ −∞ − = ∫ （*） 令t = ω ，则 1 1 -i ( ) ( ) 2 2 t f F t e dt ω ω π π +∞ −∞ − = = ∫ ¶[ ( F t)]，即¶[ ( F t)] = 2π f (－ω) ； （*）式中令 －t = ω ，则 1 1 -i -i ( ) ( ) ( ) 2 2 t t f F t e d t F t e d ω ω ω 1 2 t π π π +∞ +∞ −∞ −∞ = = ∫ ∫ － （－ ） － ＝ ¶ ，即 ¶[ ( [ ( F t)] F t － )] = 2π f (ω) 。 3．若 F( ) ω = ¶ [ ] f ( )t ， a 为非零常数，证明（相似性质）¶[ ] 1 ( ) | | f at F a a ⎛ ⎞ ω = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠。 证 设 a > 0 ，有¶ -i -i -i 1 1 1 [ ( )] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) at u t a a f at f at e dt f at e d at f u e du F a a a ω ω ω a +∞ +∞ +∞ ω −∞ −∞ −∞ = = = = ∫ ∫ ∫ ；
同理a>0时,f(a)=fan)-d=Jf(an“dan)=-(nl°ah 综上,乳f(a=F 4.若F(o)=[/(,证明(象函数的位移性质) s[F(o干a)=ef(),即F(o干a)=eyf( iEs[e*o/()]=e f((e o"dt=/(e eio"dt=F(@%) 5.若F(o)=S[(,证明(象函数的微分性质):F(a)=[-jf() 证 F(o do do f(eio= fide dt =[-jyf()e dr=s[-juf(() 6.若F(a)=[f(,证明(翻转性质) F(-o)=[(-) 证F(-0)=」f()c=J(-le(-)-(-l=[() 7.若F(a)=[f(,证明:S[f() cost=[F(a-an)+F(o+ slf(sino ]=[F(O-Oo)-F(o+Oo) eJeb' te- Jer !cos@ l=f() =21F(o-a)+F+an) sL(sin O/=L/( jo' -jetc [F(O-00)-F(+0 8.利用能量积分」UOb=1F(o)l,求下列积分的值 ∞(1+x2)2 解(1) 广xh22厂(m3)a厂= sin x ox 1+okx+
同理 a > 0 时，¶ -i -i -i 1 1 1 [ ( )] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) at u t a a f at f at e dt f at e d at f u e du F a a a ω ω ω a +∞ +∞ +∞ ω −∞ −∞ −∞ = = = − = − ∫ ∫ ∫ ； 综上，¶[ ] 1 ( ) | | f at F a a ⎛ ⎞ ω = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠。 4．若 F( ) ω = ¶ [f ( )t ]，证明（象函数的位移性质）： ¶ [ ] ( ) 0 1 j 0 ( ) t F e f ω ω ω − ± ∓ = 0 t ，即 F( ) ¶ ( ) 0 j [ ] t e f t ± ω ω ∓ω = 。 证 ¶ ( ) ( ) ( ) 0 0 0 j j j j( ) 0 [ ] ( t t t t e f t e f t e dt f t e dt F ω ω ω ω ω ω ω ) +∞ +∞ ± ± − − −∞ −∞ = = = ∫ ∫ ∓ ∓ 。 5．若 F( ) ω = ¶ [f ( )t ]，证明（象函数的微分性质）： ( ) d F d ω ω = ¶[ j − tf (t)]。 证 ( ) d F d ω ω = ( ) ( ) ( ) j j j t j d d t t f t e dt f t e dt tf t e dt d d ω ω ω ω +∞ +∞ +∞ − − −∞ −∞ −∞ = = − ∫ ∫ ∫ − tf ( )t ] − ω ＝¶[ j 。 6．若 F( ) ω = ¶ [f ( )t ]，证明（翻转性质） F(−ω) = ¶[ ] f (−t) 证 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) i i t t F f t e dt f t e d t ω ω ω +∞ +∞ − − − − − −∞ −∞ − = = − − ∫ ∫ = ( ) i t f t e dt ω +∞ − −∞ − = ∫ ¶ ⎡ ⎤ f (−t) ⎣ ⎦ 。 7．若 F( ) ω = ¶ [f ( )t ]，证明：¶ 0 0 1 [ ( ) cos ] [ ( ) ( )] 2 f t ω t = − F ω ω + F ω +ω0 ， ¶ 0 0 1 [ ( )sin ] [ ( ) ( )] 2j f t ω t = − F ω ω − F ω +ω0 。 证 ¶ ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 j j j j( ) j( ) 0 1 [ ( ) cos ] 2 2 t t e e t t t f t t f t e dt f t e dt f t e d ω ω ω ω ω ω ω ω − +∞ +∞ +∞ − − − − + −∞ −∞ −∞ + t ⎡ ⎤ = = + ⎢⎣ ⎥⎦ ∫ ∫ ∫ 0 0 1 [ ( ) ( )] 2 = − F ω ω ω + F +ω ； ¶ ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 j j j j( ) j( ) 0 1 [ ( )sin ] 2j 2j t t e e t t t f t t f t e dt f t e dt f t e dt ω ω ω ω ω ω ω ω − +∞ +∞ +∞ − − − − + −∞ −∞ −∞ − ⎡ ⎤ = = − ⎢⎣ ⎥⎦ ∫ ∫ ∫ 0 0 1 [ ( ) ( )] 2j = − F ω ω ω − F +ω 。 8．利用能量积分 2 1 [ ( )] | ( ) | 2 2 f t dt F ω dω π +∞ +∞ −∞ −∞ = ∫ ∫ ，求下列积分的值： （1） 2 1 cos x dx x +∞ −∞ − ∫ ； （2） 4 2 sin x dx x +∞ ∫−∞ ； （3） 2 2 1 (1 ) dx x +∞ −∞ + ∫ ； （4） ( ) 2 2 2 1 x dx x +∞ −∞ + ∫ 解 （1） 2 1 cos x dx x +∞ −∞ − ∫ =2 2 2 2 sin sin 2 x x dx dx x x +∞ +∞ −∞ −∞ ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∫ ∫ ∫ +∞ −∞ = 2π 1 ¶ dω x x 2 sin ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ （*） ¶ dx x x x e dx x x x x x ∫ ∫ +∞ −∞ +∞ − = = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ 0 i sin cos 2 sin sin ω ω ( ) ( ) dx x x x ∫ +∞ + + − = 0 sin 1 ω sin 1 ω （**）