1定义:f(x12x2…,xn)=XAX是一个实二次型,若对于任 何非零的向量(1,2,…,Cn),恒有f(1c2…Cn)>0(<0) 则称f(x1x2…xn)是正定(负定)二次型,而其对应的矩阵 A称为正定(负定)矩阵; 矩阵的正定与负定是怎样定义的? 若恒有f(c1C2,…,Cn)≥0(≤0则称二次型是准正(负)定 二次型,其对应的矩阵4称为准正(负)定二次型; 若f(c12C2,…,Cn)有大于零,也有小于零,则称二次型是不 定二次型,其对应的矩阵称为不定二次型
二次型的分类 1.定义： ),,,( 21 n L xxxf X AX T = 是一个实二次型，若对于任 何非零的向量 21 L ccc n T ,),,,( 恒有 )0(0),,,( 21 L cccf n > < 称为正定（负定）矩阵； 则称 是正定 负定 二次型 而其对应的矩阵 A ,)(),,,( 21 n L xxxf 矩阵的正定与负定是怎样定义的？ , ;)( ),0(0),,,( )( 21 二次型 其对应的矩阵 称为准正 负 定二次型 若恒有 则称二次型是准正 定负 A cccf L n ≤≥ , . ,),,,( , 21 定二次型 其对应的矩阵称为不定二次型 若 L cccf n 有大于零 也有小于零 则称二次型是不
2.二次型正定的判别法: 别法用定义。 例1:见教材。 例2:设A,B均为n阶正定阵,证明A+B也为n阶正定阵 证:∵A,B为n阶正定阵,VXn1≠O,→XA>0,XBx>0 X(A+B)X>0→A+B为n阶正定阵。 判别法I:用标准形。 定理1:实二次型 f(x1,12,,xn)=d1x+d2x2+…+anx2 n"n 正定的充要条件为d1(=12,…,m)都是正数。一显然。 定理2:可逆线性变换不改变二次型的正定性
2.二次型正定的判别法： 判别法 I：用定义。 例1：见教材。 例2：设 , 均为nBA 阶正定阵,证明 + 也为nBA 阶正定阵. 证：Q , 为nBA 阶正定阵, 判别法 II：用标准形 。 定理1：实二次型 2 2 22 2 21 11 ),,,( n nn L L+++= xdxdxdxxxf 正定的充要条件为 i = L nid ),,2,1( 都是正数。 显然。 为nBA 阶正定阵。 定理2：可逆线性变换不改变二次型的正定性。 ⇒ + , .0,0 ×1 >⇒≠∀∴ BXXAXXOX > T T n XBAX >+∴ 0)( T
证明定二次型f(x1x2,…,xn)=XAX经可逆线性 变换X=CY变成新变元的二次型 g(V1,y2…,yn)=YBY,B=CAC,或A=(C-)BC 对任何Y7=(k1,k2,…,kn)≠O,由X=CY有Y=CX, 2|=C12由于k1k2…k,不全为零由克莱姆法 则方程组有非零解X。=(c1, g(k1,k2,…kn)=YBy=(CX。)B(CX) =X。(C)BC-X。=X。AX。=f(c1,c2,…,Cn)>0 从而g(1,y2…,yn)是正定的
11 21 21 ,),,,( )(, ),,,( −− = = = = = BCCAACCBBYYyyyg CYX AXXxxxf T T T n T n 或 变换 变成新变元的二次型 正定二次型 经可逆线性 L 证明： L ,),,,( , 1 21 XCYCYXOkkkY T n T − 对任何 = L 由 有 ==≠ 2 1 1 − = ⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞ ⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛ C kkknM ⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞ ⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛ nxxxM21 则 方程组有非零解 由于 不全为零 由克莱姆法 , ,,, , 21 n L kkk T ncccX ),,,( o = 21 L BYYkkkg T 21 L n ),,,( = o XBCCX o T T 11)( −− = 0),,,( = = 21 n > T oo L cccfAXX )()( 1 1 o XCBXC o − T − = 从而 21 L yyyg n 是正定的 ),,,(
定理3:实二次型f(x1,x2…,xn)=xAX正定的充要条件 为∫的标准形中n个系数全为正数。 推论1:二次型f(x2x2…,xn)=HAX正定的充要条件 为矩阵A的全部特征值都是正数 推论2:若A正定则A>0 推论3:若A正定,则A与单位阵合同即有可逆阵C,使 C AC=E 证:由推论2及A正定存在正交矩阵Q,使 412…,n为矩阵A QAQ=0 AQ= ∧的特征值,且都为 正数
21 L n ),,,( = T AXXxxxf 正定的充要条件 为 f 的标准形中 n个系数全为正数。 为矩阵 的全部特征值都是正数 。 推论 二次型 正定的充要条件 A AXXxxxf T 21 L n ),,,(:1 = 定理 3：实二次型 推论 若 正定 则 AA > .0,:2 推论 若 正定,:3 则AA 与单位阵合同,即有可逆阵 C,使 EACCT = == − AQQAQQ 1 T Λ= ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ λn λ O 1 正数。 的特征值 且都为 为矩阵 , ,, 1 L λλ n A 证 ：由推论 2 及 A正定,存在正交矩阵 Q，使
→C1AC1=C1AC1=E 必须掌握这 推论的证明。 CI(Q A0C1=(QC1A(QC1=E 判别法I:用特征值。 例3:设A为正定阵,证明A-1,A都是正定阵 A为正定阵,→A的特征值全大于零, A-1,A*的特征值全大于零,∴A,A都是正定阵 判别法I:用顺序主子式。 定义:位于矩阵A的最左上角的1,2…,m阶子式,称为矩阵 A的1,2…n阶顺序主子式。 △;表示第阶顺序主子式
⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = n C λ λ 1 1 1 1 O ECCCC T 1111 =Λ=Λ⇒ EQCAQCCAQQC TT T ⇒ 1 = 11 1)()()( = 必须掌握这一 推论的证明 。 判别法 III：用特征值 。 :3 ,, . 设例 A为正定阵 证明 1 AA ∗− 都是正定阵 Q A为正定阵,⇒ A的特征值全大于零, 判别法 IV：用顺序主子式 。 定义：位于矩阵A的最左上角的1,2,···, n阶子式，称为矩阵 A 的1,2,···, n 阶顺序主子式 。 表示第 i阶顺序主子式. Δ i , , ∴ 1 AA ∗− 的特征值全大于零 , . ∴ 1 AA ∗− 都是正定阵
定理4二次型f(x1x2…,x1)=xA正定的充要条件 为矩阵4的各阶顺序主子式都大于零,即△1>0 例4:t为何值时,二次型正定? f(x1,2x2,x3)=5x1+x2+3+4x1x2-2x1x3-2x2x3 A=21-141=5>0,△2= 52 △3=14=2 →1>2时,△3>0.∴t>2时,二次型正定 请记住,这类题就这样做!
定理4： , ),,,( 21 为矩阵 的各阶顺序主子式都大于零 二次型 正定的充要条件 A AXXxxxf T L n = Δ > .0 即 i 例 :4 t为何值时,二次型正定? 323121 2 3 2 2 2 1321 5),,( −−+++= 224 xxxxxxtxxxxxxf ,05 Δ1 = > ,01 12 25 2 >==Δ t A 11 112 125 3 −− − − ==Δ = t − 2 t 时 3 >Δ>⇒ .0,2 ∴t > 时,2 二次型正定. 请记住，这类题就这样做！ ⎟⎟⎟⎠⎞ ⎜⎜⎜⎝⎛ −− −− = t A 11 112 125